精品解析：天津市武清区杨村第一中学2026-2027学年高一第一次学业质量检测数学试卷

天津市武清区杨村一中 2026~2027 学年度第一学期第一次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 已知集合 ，，，则 =（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先求 在 中的补集，再与 求并集． 【解答】解：，， ， ． 2. 命题“，”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原命题是“对任意实数 ，”， 其否定为“，”． 3. 已知集合 且 ，则集合的真子集个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，进而求出真子集个数. 【详解】由集合且，得， 所以的真子集个数为. 4. 已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【详解】取 ，，，，则 ，故A错误； ，，两边同除以 得 ，故B正确； 取 ，，，，则 ，故C错误； 由知，，所以， 在不等式的两边同时乘以得， 然后在不等式的两边同时乘以得，故D错误． 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件，则为的真子集， 所以. 6. 已知集合，且，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 7. 关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次不等式的解集确定 、 的符号与关系，即可得解． 【详解】 的解集为 ， ，且 ，即 ． 即 ， ，，解得 或 ， 即不等式 的解集为. 8. 若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按 、、 讨论；“解集不为空集”意味着存在使不等式成立． 【详解】①当时， 不成立，解集为，不合题意； ②当时，抛物线开口向上，要使 有解， 需 ，； ③当时，抛物线开口向下，充分大时函数值为负，解集必不为空集，符合． 综上所述，或． 9. 下列说法中正确的个数是（　　） ①的最小值为 ②的最小值为 ③已知，则 ④已知，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】①令 ，则原式 ，等号成立时，取不到， 故的最小值不是，故①错误； ②，当时取等号，故②正确； ③，，，，当时取等，故③正确； ④，当 时取等号，故④正确． 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 不等式 的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式可化为 ，即 ， 也即，解得， 故不等式 的解集为. 11. 已知 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值集合为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】两个集合相等，元素必须完全一样，分两种情况对应，但都要检验元素互异． 【详解】由，得， 若且，则或，，此时集合中有重复元素，不符合； 若且，则，而，解得， 此时，，符合题意， 所以的取值集合为． 12. 设 为全集，集合，，若 ，则实数 的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】，． ①当 ，即 时，，符合题意； ②当 ，则 ，要需 且 ，， 结合 得 ． 综上所述，． 13. 若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】最高次项系数含参数，必须先讨论 ； 时要求开口向下且判别式小于 0． 【详解】①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 且 ， 解得 ． 综上所述，． 14. 已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】先用 把 化成关于的式子求最小值，再把与 配成“积为定值”． 【解答】由 得 ，，，，． 令 ，则 ，当时，即时等号成立， ，记 ，， 则原式 ， 而 ， 原式， 当 （即 ）、（即 ）时取等号，最小值为 ． 故答案为：． 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义求解即可. （2）先求出集合，结合列不等式求解即可． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 由，得，所以. 要使，只需，解得． 故的取值范围为. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解求出集合，根据绝对值不等式求出集合；再根据交集、补集及并集的定义求解即可. （2）根据充分不必要条件得到，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 由，得，所以，即． 由，得，即. 当时，，所以. 又，所以． 【小问2详解】 因为 “”是“”的充分不必要条件，所以． 所以，解得． 故实数的取值范围为. 17. 若命题 ：，，命题 ：，． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 、 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）； （2） 或 【解析】 【分析】（1）将原题转化为，，再根据函数的单调性求最大值即可； （2）分别求出、为真和假时的范围，再分“ 真 假”和“ 假 真”两种情况讨论即可得解． 【小问1详解】 为真命题时，可转化为在上恒成立， 即，， 令，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以函数在上的最大值为， 所以； 【小问2详解】 由（1）知真：；则假：； 为真时，，解得 或 ；则假：； ①若真假，即， 解得； ②若假真，即 ，解得； 综上所述， 或 ． 18. 已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）， 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1），； （2）①当 时，解集为 ； ②当 时，解集为 ； ③当 时，解集为 ． （3） 【解析】 【分析】（1）解集的两个端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求解； （2）代入后因式分解成 后讨论的范围写出解集； （3）把 与 分开，后者分离参数求最小值． 【小问1详解】 解集为{或}， ，且 、 是 的两根， ，， 解得，． 【小问2详解】 将，代入不等式， 原不等式即 ， ． 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 当 时， 恒成立； 当 时，原不等式即 ， （当 时取等号）， ， ． 19. 已知函数 （）． （1）若 ，，不等式 的解集为 ，求 的值； （2）若方程 有两个正实数根 ，（），且满足 ，求 的最大值； （3）若 恒成立且 时，求 的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)解集端点就是两根，用韦达定理； (2)由题设推出，将目标式化为单变量函数，函数先增后减，在时取得最大值； (3) 恒成立给出 的下界，代入后用基本不等式. 【小问1详解】 ，时， 的解集为，、是两根， ，，. 【小问2详解】 方程即 ，两根为正， ，，， ，，， ．由得，， ，令，， ， 由基本不等式，，， 当且仅当，即时取等号，此时，满足条件， ， 的最大值为. 【小问3详解】 恒成立， 且 ，即． ，， ． 令 ，则 ， 再令 ，则， 当，即（此时）时取等号，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市武清区杨村一中 2026~2027 学年度第一学期第一次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分） 1. 已知集合 ，，，则 =（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 已知集合 且 ，则集合的真子集个数为（　　） A. B. C. D. 4. 已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A. 若 ，，则 B. 若 ，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，则 5. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知集合，且，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 7. 关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于 的不等式 的解集不为，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法中正确的个数是（　　） ①的最小值为 ②的最小值为 ③已知，则 ④已知，则 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 不等式 的解集为_______． 11. 已知 = {}， = {}，若 ，则实数 的取值集合为 _______． 12. 设 为全集，集合，，若 ，则实数 的取值范围是_______． 13. 若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 14. 已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 三、解答题（本题共5小题，共59分） 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 若命题 ：，，命题 ：，． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 、 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围． 18. 已知不等式 的解集为 { 或 }． （1）求 ， 的值； （2）解关于 的不等式 ； （3）， 恒成立，求 的取值范围． 19. 已知函数 （）． （1）若 ，，不等式 的解集为 ，求 的值； （2）若方程 有两个正实数根 ，（），且满足 ，求 的最大值； （3）若 恒成立且 时，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $