精品解析：天津市第二十中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026—2027学年度第一学期高一年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，．若，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或或2 3. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，．下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知命题：，．若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若实数（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 9. 若集合满足“对任意，都有”，则称为“稀疏集”．已知，则的子集中是稀疏集的个数为（ ） A. 48 B. 64 C. 96 D. 128 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 10. 满足的集合M共有___________个. 11. 已知集合，．若，则实数的取值范围是______________________________． 12. 已知：实数满足（）；：实数满足．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________． 13. 若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________． 14. 已知集合，则的非空子集中所有元素之和为3的倍数的集合个数为____________． 15. 已知，，且，则的最小值为____________． 三、解答题（本大题共1小题，共19分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高一年级数学第一次月考 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于集合： 由，因式分解得， 解得，所以集合. 对于集合：， 全集，则. 所以. 2. 已知集合，．若，则实数的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得或，再结合集合中的元素具有互异性求解. 【详解】由，，且，可得， 当时，解得或， 若，则出现重复元素2，舍去； 时，满足要求. 当时，解得或， 同理不满足集合元素互异性，舍去； 时，，满足要求. 当时，不满足集合元素互异性，舍去， 综上，符合条件的的值为0或. 3. 设集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为，所以. 由，解得. 所以的取值范围是. 4. 设集合，，．下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合：由，需满足，解得. 即，表示数集. 集合：由，因为，，所以. 即，表示数集. 集合：表示抛物线上所有点的集合，是一个点集. 选项A：，，显然，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C、D：因为集合是数集，集合是点集，集合是数集，不同类集合之间不存在包含关系，故C、D错误. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得不等式解集对应的集合，结合是的真子集，即可求解. 【详解】由不等式，解得，设为集合 又由，解得，设为集合， 则是的真子集，所以是充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知命题：，．若为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为假命题，所以命题为真命题. 所以，恒成立. 所以不大于，的最小值. 所以. 7. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，，可得. 对于A，取，，，， ，，此时，故A错误； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，，. 由，两边同时乘以，得到. 又，两式相乘得，于是，故C正确； 对于D，取，，，， 此时，故D错误. 8. 若实数（，），则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求分式拆分化简，结合已知等式得到两个正数的和为定值，利用基本不等式求解最小值。 【详解】对任意，，有，，因此. 由已知，可得，令，，则，，且. 此时只需求的最小值，即. 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立.  代入得，即. 验证等号成立条件：当时，结合得，即，，满足的已知条件，等号可取。 故的最小值为. 9. 若集合满足“对任意，都有”，则称为“稀疏集”．已知，则的子集中是稀疏集的个数为（ ） A. 48 B. 64 C. 96 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】将集合的元素按“元素与其2倍”的从属关系分组为独立链，分别计算每组符合稀疏集要求的子集数，再用分步乘法计数原理求总个数. 【详解】首先对按“成2倍关系的元素归入同一组”的规则分组，得到4个相互独立的组： 组1：，要求子集内不存在两元素成2倍关系，枚举得符合条件的子集共8种：； 组2：，符合条件的子集共3种：； 组3：，符合条件的子集共2种：； 组4：，符合条件的子集共2种：. 根据分步乘法计数原理，满足条件的稀疏集总个数为. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 10. 满足的集合M共有___________个. 【答案】7 【解析】 【分析】根据集合的基本关系，可得集合M包含，且集合M是的真子集，即可得出集合M的个数. 【详解】由题意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集， 所以或或或或或或, 即集合M共有个. 故答案为： 11. 已知集合，．若，则实数的取值范围是______________________________． 【答案】(2，3) 【解析】 【详解】集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴，解得2<a<3，实数的取值范围是(2，3)． 12. 已知：实数满足（）；：实数满足．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】，即， 因为，所以不等式解集为， ，解得，则其解集为， 因为是的充分不必要条件，则是的真子集， 则，解得. 13. 若不等式对一切恒成立，则的最小值是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】分离参数，将问题转化为求函数最大值的问题，则问题得解. 【详解】不等式对一切成立， 等价于对于一切成立． 设，则． 因为函数在区间上是增函数， 所以，所以，所以的最小值为． 故答案为：. 【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 14. 已知集合，则的非空子集中所有元素之和为3的倍数的集合个数为____________． 【答案】23 【解析】 【分析】按元素除以的余数把分成三类，先确认中元素可任意取，、中分类计数后排除空集． 【详解】把中的元素按除以所得的余数分为三类：、、； 从中取元素不影响和除以的余数，故这一部分有种取法； ①、各选1个元素，方法数有种. ②、各选2个元素，方法数有1种. ③、各选0个元素，方法数有1种. 所以总的方法数有种. 15. 已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】转化所求的形式，利用“1”的代换的方法，结合基本不等式求得最小值. 【详解】观察，可知， 其中 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 三、解答题（本大题共1小题，共19分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3）当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据方程无解可求实数的取值范围. （2）问题转化为根据是的真子集分情况讨论求实数的取值范围. （3）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论，解不等式. 【小问1详解】 由题意，方程无实根. 当时，方程可化为，故不合题意； 当时，由或，此时. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 因，所以. 由（1）得，① 当或时，，是的真子集； ② 当时，是的真子集； 设， ③当时，由方程的两根都在区间内， 则，解得； ④当时，函数的对称轴，则方程的两根不可能都在区间内，不合题意. 综上，当时，“”是“”的充分不必要条件. 【小问3详解】 当时，不等式可化为； 当时，，所以不等式的解集为； 当时，由或， 因为，所以. 所以不等式的解集为； 当时，由或，且， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得； 当时，，所以不等式的解集为. 综上可得，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $