精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

川大附中高2025级高二上学期10月月考试题（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分 1. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A. 普查 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样 D. 非以上三种抽样方法 2. 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼状图： 则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入是建设前的倍 C. 新农村建设后，养殖收入不变 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 6. 如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 7. 在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 甲、乙两队进行冰壶比赛，约定三局两胜，每局必须决出胜负，负者下一局执后手，胜者下一局执先手.已知甲队执先、后手胜乙队的概率分别为，，且，记事件E，F，G和H分别为甲以第一局执先手、第一执后手、第二局执先手和第二局执后手获胜，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分 9. 一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（    ） A. 平均数是3 B. 平均数是8 C. 方差是11 D. 方差是36 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B. 过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，共15分 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 13. 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是______. 14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 17. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 19. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球球心到直线的距离； （3）若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高2025级高二上学期10月月考试题（数学） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分 1. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样本，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A. 普查 B. 分层抽样 C. 简单随机抽样 D. 非以上三种抽样方法 【答案】B 【解析】 【分析】根据所研究的对象差异性很大，要使样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层抽样． 【详解】解：因为所研究的总体中差异很大，为了让样本具有代表性，最合理的抽样方法是分层抽样． 故选：B． 2. 已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 3. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907．由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功， 故3例心脏手术全部成功的概率为：． 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为，点关于平面的对称为点，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称特征求出点坐标，再利用两点间距离公式求解. 【详解】点关于原点的对称点，点关于平面的对称点， 所以. 故选：A 5. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼状图： 则下面结论中正确的是（ ） A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入是建设前的倍 C. 新农村建设后，养殖收入不变 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】D 【解析】 【分析】设建设前经济收入为，则建设后经济收入为，根据饼图计算出新农村建设前后各项收入，逐项分析可得合适的选项. 【详解】设建设前经济收入为，则建设后经济收入为， 由题中饼图可知，建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为； 建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为. 对于A选项，新农村建设后，种植收入增加，A选项错误； 对于B选项，新农村建设后，其他收入是建设前的倍，B选项错误； 对于C选项，新农村建设后，养殖收入增加，C选项错误； 对于D选项，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为，超过了经济收入的一半，D选项正确. 故选：D. 6. 如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 从而，， 设平面的法向量为 则，即 令，则， 为平面的法向量 故点到平面的距离 故选. 7. 在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先将用，，表示出来，再通过已知的向量倍数关系将其转化为用，，表示，然后利用在平面上，与平面内向量共面的性质求解. 【详解】因为是的重心，所以， 将代入得， 因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得， 且，同时与共线， 设（为实数），则， 因此，，，又因为，即，解得， 故，即. 故选：B. 8. 甲、乙两队进行冰壶比赛，约定三局两胜，每局必须决出胜负，负者下一局执后手，胜者下一局执先手.已知甲队执先、后手胜乙队的概率分别为，，且，记事件E，F，G和H分别为甲以第一局执先手、第一执后手、第二局执先手和第二局执后手获胜，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，求出各事件的概率，作差比较大小得出答案. 【详解】由题意，甲可能比赛两局获胜也可能比赛三局获胜， 其中有胜胜、负胜胜、胜负胜三种情况，根据互斥事件的概率公式， 则， ， ， ， 因为 ，而， 所以，即，故A错误； 因为， 即，故BC错误； 因为所以， 因为， 所以，故D正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分 9. 一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（    ） A. 平均数是3 B. 平均数是8 C. 方差是11 D. 方差是36 【答案】BD 【解析】 【详解】代入平均数和方差公式，即可求解. 【分析】，，，…，的平均数为，方差为，则，， 所以数据，，…，的平均数为， 方差为. 故选：BD. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对； 对于B选项，若与相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 在三棱锥中，点到平面的距离为定值 B. 过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 D. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，C，用空间向量求解；对于B，可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于D，设球心，由求解球心坐标即可． 【详解】以A为坐标原点，分别以直线AB，AD，为x，y，z轴建系如图： 可得，，，，，， 得到，， 设， 则， ，则， 设面的一个法向量为， 则，， 令，得，，， 对于A：P到平面的距离为，故A正确； 对于B：连接，，四边形为平行四边形， ，又面，面， 面，同理可证面， 又，面面， 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故B错误； 对于C：设直线与面所成角为， 则， ，，， 直线与面所成角的正弦值的范围为，故C正确； 对于D：当点P为中点时， 设三棱锥的外接球球心， ， ，解得， 外接球半径R满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，共15分 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解． 【详解】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个， 又，则样本数据的分位数为． 故答案为：7． 13. 某个比赛中甲乙两人通过初赛的概率分别为和，两人独立参加初赛，其中恰有一人通过的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】恰好有一人通过的概率为， 故答案为： 14. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面上的动点.且平面，则点的轨迹长为__________.点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再确定点的轨迹，计算长度即可；再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离作答. 【详解】在正方体中，连接，如图，对角面为矩形， 因为点分别是棱的中点，则，而， 即平面截正方体所得截面为梯形，显然过点与平面平行的平面交平面、平面 分别于，因此，连，平面、平面与平面分别交于，， 因此，而，即四边形为平行四边形，于是， 即点M为的中点，同理为中点，，因为动点始终满足平面， 于是平面，又在侧面上，所以点的轨迹是线段，轨迹长为； 以点D为原点建立空间直角坐标系，则， 则，令， 则有，， 于是点到直线的距离， 当且仅当时取等号，所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 16. 揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值并估计样本的平均数； （2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率． 【答案】（1），68.5 （2）78.6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点 × 本组频率”再求和，得到样本平均数. （2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1. （3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 则平均数为 ； 【小问2详解】 由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员， 即求第80百分位数， 又， ， 则分数线在内，且设分数线为x， 可得， 解得，即获奖分数线为78.6. 【小问3详解】 由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从中抽取4人，记为， 从中抽取2人，记为， 所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的分数在的情况有，，，， ，，，，，共9种， 故所求概率. 17. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点． （1）证明平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在三棱柱中，连接，由分别为的中点，得且， 而且，又为的中点，则且，于是且， 因此四边形是平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面. （2）取中点，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令， 取中点，连接，而为中点，则，有底面， 由正，得，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，令直线与平面所成的角为， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 18. 为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜． （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【答案】（1）游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求游戏一，游戏二的获胜概率； （2）先求出游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数，利用古典概型求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式可求先玩游戏二或先玩游戏三时获得科技徽章的概率，从而求出游戏三获胜的概率的范围，据此可求值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 19. 如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球球心到直线的距离； （3）若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 【答案】（1）在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理，面面垂直的性质，及线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），求出，再根据三棱锥各棱的关系，将其扩成长方体，从而找到其外接球球心，再借助面面垂直的性质，建立以为原点的空间直角坐标系，进而利用空间中点到直线的距离公式求解即可； （3）结合（2）的空间直角坐标系，及条件求出平面的法向量，再结合（1）得到平面的一条法向量，进而利用空间向量夹角的余弦值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． 【小问3详解】 结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $