30.1.2 圆的切线（1） 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

30.1.2　圆的切线（第1课时） 教学目标 1．理解切线的判定定理与性质定理． 2．会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题． 3．掌握解决切线相关问题常用的辅助线作法． 教学重点 1．理解切线的判定定理与性质定理． 2．会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题． 教学难点 掌握解决切线相关问题常用的辅助线作法． 教学过程 知识回顾 直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线和圆相切？ 【答案】直线和圆的位置关系有相切、相离、相交； 根据直线和圆只有一个公共点、d＝r（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）判断直线和圆相切． 【设计意图】通过复习直线和圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫． 新知探究 一、探究学习 如图，直线l与⊙O相切于点A．考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA．接下来，研究OA与切线l的关系． 【思考】⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ 【师生活动】学生独立思考，然后师生共同归纳得出切线的性质定理． 【答案】如图，设P为直线l上不同于点A的点， ∵直线l与⊙O只有一个公共点A， ∴点P在⊙O外，从而OP＞OA， 即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线． ∴半径OA与直线l垂直．（可以用反证法证明） 【新知】切线的性质定理 文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径． 符号语言：∵OA是⊙O的半径，直线l是过点A的⊙O的切线， ∴OA⊥直线l． 【设计意图】利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用． 【师生活动】观察下面的动图，进一步理解切线的性质定理． 【设计意图】通过动图的形式，让学生对切线的性质定理有更深刻的认识． 【思考】按上述性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A，那么l⊥OA．反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗？ 【师生活动】学生独立思考，然后师生共同归纳得出切线的判定定理． 【答案】可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线，所以直线l和⊙O相切． 【新知】切线的判定定理 文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 符号语言：∵OA是⊙O的半径，直线l⊥OA于点A， ∴直线l就是⊙O的切线． 【思考】图中的直线l与⊙O相切吗？ 【师生活动】学生利用切线的判定定理进行判断． 【答案】∵图（1）中直线l经过半径外端，但不与半径垂直； 图（2）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端， ∴都不相切． 【归纳】一条直线只有同时满足定理中的两个条件“经过半径的外端”“垂直于这条半径”时，才是圆的切线，千万不能只凭一个条件就判定一条直线是圆的切线． 【设计意图】结合反例加深学生对切线判定定理的理解． 【问题】已知⊙O和⊙O上的一点A，如何过点A作出圆的切线？ 【师生活动】教师引导学生总结画圆的切线的准确方法． 【答案】 作法：①连接OA； ②过点A作直线l与OA垂直． 则直线l就是所求作的切线． 【师生活动】观察下面的动图，进一步理解圆的切线的画法． 【设计意图】通过动图的形式，演示画切线的方法，让学生更深刻地感受切线判定定理的题设和结论，再次加深学生对定理的理解． 【问题】在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的． 【师生活动】学生独立思考，然后回答问题． 【答案】 【设计意图】通过展示实际生活中的图片，让学生感受切线与现实有着密切的联系． 二、典例精讲 【例1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【师生活动】学生独立完成，然后全班交流． 【分析】根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了．而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE＝OD． 【答案】证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA． ∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB． 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线． ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径． 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE， ∴AC与⊙O相切． 【设计意图】通过例1，加深学生对切线判定定理与性质定理的认识． 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB长为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点F，OE⊥BC，求弦BF的长． 【师生活动】学生独立思考，然后回答问题． 【答案】解：连接OD． ∵⊙O与AC相切， ∴OD⊥AC． 又∵∠C＝90°，OE⊥BC， ∴四边形CDOE是矩形． ∵OD＝OB＝2， ∴CE＝OD＝2． ∵BC＝3， ∴BE＝1． ∴BF＝2． 【归纳】解决切线相关问题常用的辅助线作法： 当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作过这一点的半径，证明直线垂直于半径； 如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径． 已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线． 【设计意图】通过例1与例2，归纳出解决切线相关问题常用的辅助线作法． 课堂小结 板书设计 一、切线的性质定理 二、切线的判定定理 三、解决切线相关问题常用的辅助线作法 课后任务 完成教材第98页练习第1～2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $