精品解析：陕西西安市益新中学2026-2027学年上学期九年级10月阶段学情自测数学试题

九年级数学 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．不是一元二次方程，不符合题意； D．化简后为，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】将方程通过配方法变形为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由，可得，结合已知，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式大于 0 ，即可求解本题． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得： ， 综上，且， 故选：B． 5. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的握手问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，列出一元二次方程，求出m的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ， ， 解得（不符合题意，舍去）． 故选D． 6. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 7. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．连接，，由正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵和都是正方形， ∴，，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 8. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题需依据相似三角形的判定定理，对每个选项中涂色三角形与的边、角关系逐一分析，判断是否满足相似条件． 【详解】选项A中， 则． 涂色三角形与： ，； ，． 边的比例：，， 即． 又是与的公共角， 可得， 即选项A中涂色三角形与相似． 选项B中，，则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 但与并非对应夹角，不满足相似判定条件， 故选项B不相似． 选项C中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项C不相似． 选项D中，， 则． 涂色三角形为，对比的边： ，， 边的比例不相等，且无对应相等的角， 故选项D不相似． 故选A 【点睛】本题核心是运用相似三角形的判定定理（重点为“两边对应成比例且夹角相等”），通过分析各选项中涂色三角形与的边比例、角的关系，确定相似性．解题关键在于准确识别对应边、对应角，并验证比例与角度条件． 9. 如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键． 由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：点，分别是的三等分点， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点P作交于E，连接，证明出四边形是平行四边形，得到的最小值为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点P作交于E，连接， ∵，， ∴， ，点P是的中点， 点是的中点，则，， 则，且， 四边形为平行四边形， ， ， 当在线段上时，的值最小，最小值为， 故选：D． 二、填空题（6×3=18分） 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入原方程得 计算整理得 解得． 12. 已知，那么的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 13. 已知一位美女身高154cm，穿上高跟鞋后，肚脐至足底的长度约100cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是_________．（精确到1cm） 【答案】8cm##8厘米 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：设她穿的高跟鞋的高度是xcm， 则， 解得， ∴她穿的高跟鞋约是8cm． 故答案为：8cm． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 14. 如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，，再求出，则，然后由菱形面积求出，则，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∵菱形的面积， ， ， 在中，由勾股定理得：； 故答案为： 15. 如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出的长度，再利用角平分线定义和等腰三角形的性质及判定即可求出，设参数，利用三角形相似构造线段比例相等，列关于的方程，解出，再根据勾股定理即可求出长度． 【详解】解：过点作于，如图所示， 为正方形， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， 在中，． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴，． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， （1）当k为何值时，方程有实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22＝4，求k的值． 【答案】（1）当k≤时，方程有实数根；（2）k＝0． 【解析】 【分析】（1）要使方程有实数根，必须△≥0，即4（k﹣1）2﹣4k2≥0；（2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2. 【详解】解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0 即4（k﹣1）2﹣4k2≥0 解得k≤，∴当k≤时，方程有实数根． （2）由韦达定理得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2 ∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝4（k﹣1）2﹣2k2 ＝2k2﹣8k+4， ∵x12+x22＝4， ∴2k2﹣8k+4＝4 解得k1＝0，k2＝4， 由（1）知k≤，∴k＝4不合题意， ∴k＝0． 【点睛】熟记一元二次方程根判别式和根与系数的关系. 19. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点D即为所求； 【解析】 【分析】过点A作直线的垂线，则，那么，此时，则，故． 【详解】略 20. 对于实数，定义一种运算“”为：，例如：．若，求出的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据，得，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 则， ∴或， 故． 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证得四边形是平行四边形，再证得四边形是矩形，得，即可证得平行四边形是菱形； （2）先证得是等边三角形，得，利用勾股定理求得，结合矩形的性质可得、，再通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由（1）可得：四边形是矩形， ，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 22. 某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 【答案】（1）第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为 （2）当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元 【解析】 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据第一周的销量为 50 件和第三周的销量为 72 件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元， 由题意得，， 整理得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 【答案】（1）当时，的面积为9 （2）或时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、相似三角形的性质在动态几何中的应用．抓住动点的运动起点、运动方向和运动速度是解题关键． （1）根据题意分别表示出，即可建立一元二次方程求解； （2）根据，分类讨论和两种情况即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意知：， ∵的面积为9， ∴， 解得：， 即当时，的面积为9 【小问2详解】 解：∵， ∴与相似时，有和两种情况， ①当时，，解得： ②当时，时，解得： 当或时，与相似． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 25. 某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为 【解析】 【分析】由题意可得，，，，，，，则，，证明，，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴铁塔的高度为． 26. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可知，，证明，可知，即，即可证明； （2）①由勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得到，根据正方形的性质得到，进而得到，由可知，根据等角对等边得到，可得，进而计算即可； ②作，垂足为点K，根据等腰三角形三线合一可知平分，根据角平分线的性质可知，即，则当点H，P，K三点共线时，的值最小，最小值为，由正方形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴； ②作，垂足为点K， ∵，， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴， ∴当点H，P，K三点共线时，的值最小， 此时，的最小值为， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（10×3=30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 14 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 6 4. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. “握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 9 D. 10 6. 如图，四边形是菱形，，，于，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 7. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形纸片中，．剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（6×3=18分） 11. 已知方程的一个根为，则的值为__________． 12. 已知，那么的值是 _____． 13. 已知一位美女身高154cm，穿上高跟鞋后，肚脐至足底的长度约100cm，若她穿上高跟鞋后达到黄金比例身材，则她穿的高跟鞋约是_________．（精确到1cm） 14. 如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 15. 如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题（72分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0， （1）当k为何值时，方程有实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，且x12+x22＝4，求k的值． 19. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 对于实数，定义一种运算“”为：，例如：．若，求出的值． 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）连接，若，，求的长． 22. 某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． （1）求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 25. 某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 26. 如图1，已知正方形的边长为4，点E，F分别是，上的动点，满足，连接点，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，连接与交于点H，恰好点G是的中点． ①求的长； ②如图3，点P为上一点，，垂足为点Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $