4.1.2 指数函数的性质与图象知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.1.2 指数函数的性质与图象　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 从实数指数幂到指数函数：概念、图象与性质 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 通过碳 14 测年等情境，理解指数函数的概念，知道指数函数解析式的特征； ② 会用描点法画指数函数的图象，了解列表、描点、连线的画图步骤； ③ 掌握指数函数的定义域、值域与单调性，知道它的图象过定点 (0,1)； ④ 理解底数对图象的影响，能利用单调性比较大小、解简单的不等式。 重点 指数函数的概念；图象与性质（一定、二域、三增减）；利用单调性比较大小。 难点 为什么规定底数 a>0 且 a≠1；底数对图象位置的影响；不同底数时比较大小的方法。 二、情境引入：碳 14 与半衰期 考古中常用碳 14 推断文物的年代。生物体死亡后，体内的碳 14 按一定的规律减少：大约每经过 5730 年，碳 14 的剩余量就减少为原来的一半（这个时间称为碳 14 的半衰期）。 如果以生物体死亡时的碳 14 含量为 1，设死亡 x 年后的剩余量为 y，那么 x 与 y 的对应关系如下： 死亡年数 x（年） 剩余量 y 0 5730 11460 17190 由此可以写出剩余量 y 关于死亡年数 x 的解析式： 这里指数是 —— 它表示「经过了多少个半衰期」。 试一试：按上表的规律，生物死亡 22920 年后，体内碳 14 的剩余量约为最初的多少？ 答案：（22920 是 4 个半衰期，连乘 4 个 ）。 思考两个问题： 问题 1　如果半衰期约为 5730 年，那么生物死亡 5730 年、11460 年、17190 年后，体内碳 14 的剩余量分别约为最初的多少？ 问题 2　一般地，若某种物质 C 每 5730 年剩余为原来的 a 倍（a>0），死亡 x 年后的剩余量 y 与 x 之间有怎样的关系？ 试一试：由上面的对应关系验证，当 x=11460 时，半衰期个数为 2，剩余量为 ，与 相等。 答案：问题 1 中三个剩余量依次为 、、；问题 2 的关系为 。若记 n 为半衰期个数，则 （n 为非负整数）。 注意：上面的函数中，自变量 x 出现在指数位置上，底数是常数。这类「底数为常数、指数含自变量」的函数，就是本节要研究的指数函数。 三、指数函数的概念 指数函数的定义：一般地，函数 称为指数函数，其中 a 是常数，a>0 且 a≠1。 图 1　指数函数概念的获得 由图 1 的获得过程可以看出：从碳 14 测年的具体问题出发，先得到剩余量随时间变化的关系，再把「每 5730 年剩余为原来的 a 倍」一般化，就得到了形如 的函数。 为什么规定 a>0 且 a≠1 底数 a 的范围受到三方面限制，教材中逐一作了说明： ① 若 a<0：如 这类式子没有意义，函数的定义域会断断续续，无法系统研究； ② 若 a=0：当 x>0 时 ，定义域为 (0,+∞)，函数恒等于 0，性质过于简单； ③ 若 a=1：函数恒为 ，是常函数，没有研究的必要。 解析式的三个特征：① 的系数必须为 1；② 底数 a 是常数，且 a>0、a≠1；③ 指数仅含自变量 x。三条缺一不可。 练一练：判断下列函数是否是指数函数，并说明理由：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 答案：① 是指数函数（底数 2>0 且不等于 1，系数为 1）；② 不是，系数 −1 不等于 1；③ 不是，底数 −2 不大于 0；④ 不是，指数 x+1 不只含自变量 x；⑤ 不是，这是乘方 的形式，自变量在底数位置；⑥ 是指数函数（底数 满足大于 0 且不等于 1）。 四、指数函数的图象：以 为例 要研究 的图象，先取自变量的一些值，算出对应的函数值： x 函数值 y −2 −1 0 1 1 2 2 4 把表中的数对 (x, y) 描到平面直角坐标系中，再用平滑曲线把各点顺次连接起来，就得到 的图象。这种「列表、描点、连线」的方法称为描点法。 想一想：观察函数值表，当 x 取一对相反数时，函数值有什么关系？例如 x=−1 与 x=1、x=−2 与 x=2。 答案： 与 2 互为倒数， 与 4 互为倒数。一般地，，把后者改写就是 —— 自变量取互为相反数的值时，这两个函数的函数值相等，后面将看到它们的图象关于 y 轴对称。 另外，x=± 时的函数值含有根号，说明指数推广到分数以后，函数值可能出现无理数；≈1.414，≈1.732，都可以用计算器验证。 图 2　函数 y=2 的 x 次幂的取值与描点作图 仿照研究一次函数的方式，从四个方面研究 ：定义域、值域、奇偶性、单调性。 函数 的性质： ① 定义域为 R（指数 x 可取任意实数）； ② 值域为 (0,+∞)：无论 x 取正数、负数、分数还是整数，2 的正实数指数幂都是正数，所以函数值恒正，图象在 x 轴上方； ③ 非奇非偶：定义域 R 关于原点对称，但 既不等于 ，也不等于 ，例如 =，=2； ④ 是增函数（单调性见下面的论证）。 增函数可以借助实数指数幂的知识论证：任取 、∈R，且 >，则 =。因为 >0，由上一节「a>1 且 s 是正实数时，」可知 ，所以 。由增函数的定义， 是 R 上的增函数。 练一练：仿照上面的方法研究 ：取自变量 −2、−1、0、1、2 列出函数值表，说出它的定义域、值域与单调性。 答案：函数值依次为 9、3、1、、；定义域为 R，值域为 (0,+∞)；因为底数 大于 0 且小于 1，所以它是 R 上的减函数。 温馨提示：上面的列表只能给出有限个点，函数图象是由这些点连成的「趋势」；论证单调性时，用的是任取 、 作差比较的一般方法，并不依赖图象。几何直观有局限性，不能代替论证。 五、两个底数互为倒数的指数函数 把 的底数换成它的倒数，得到 。注意到 ，即自变量取互为相反数的值时，两个函数的函数值相等。 图 3　两个底数互为倒数的指数函数图象关于 y 轴对称 由图 3 的两种研究方法都可以得到： 与 的图象关于 y 轴对称，它们相交于点 (0,1)。 一般结论：① （a≠0），所以所有指数函数 的图象都过定点 (0,1)； ② 与 的图象关于 y 轴对称（自变量互为相反数时函数值相等）。 练一练：函数 与 的图象有怎样的位置关系？它们的交点是什么？ 答案：二者关于 y 轴对称；交点只有一个，是 (0,1)。 六、指数函数的性质 综合上面的研究，指数函数 （a>0 且 a≠1）有如下性质： 性质 内容 定义域 定义域为 R，指数可取任意实数。 值域 值域为 (0, +∞)， 恒成立，图象在 x 轴上方。 定点 图象过定点 (0,1)：当 x=0 时，y=（a≠0）。 单调性 当 a>1 时，函数在 R 上是增函数；当 0<a<1 时，函数在 R 上是减函数。 记忆口诀「一定、二域、三增减」： 一定：图象一定过定点 (0,1)； 二域：定义域为 R，值域为 (0,+∞)； 三增减：a>1 时是增函数，0<a<1 时是减函数。 研究一个函数，通常有三条途径：解析式（用运算与变形研究）、列表法（取自变量的值算函数值）、图象法（描点作图看趋势）。三种方法各有长处：解析式便于推理，图象直观，列表具体。对有限个点的研究可以帮助我们「猜出」性质，但严格的结论还要经过论证。 练一练：说出函数 的定义域、值域、定点与单调性。 答案：定义域为 R；值域为 (0,+∞)；图象过定点 (0,1)；因为底数 大于 0 且小于 1，所以它是 R 上的减函数。 七、底数对图象的影响 底数 a 取不同的正数时，指数函数的图象有什么规律？可以用信息技术作出 、、 与 的图象，观察它们的位置关系。 图 4　底数对指数函数图象的影响 由图 4 可以看出：五个图象都过点 (0,1)，且都在 x 轴上方。在 y 轴右侧（x>0），图象从上到下相应的底数由大变小，例如 x=1 时函数值由大到小依次为 5、3、2、、；在 y 轴左侧（x<0），图象从下到上相应的底数由大变小，例如 x=−1 时函数值由小到大依次为 、、、2、3。 位置规律：① y 轴右侧（x>0）：从上到下，底数由大变小；② y 轴左侧（x<0）：从下到上，底数由大变小。利用 x=1（右侧）或 x=−1（左侧）处函数值的大小，就能判断相应位置底数的大小。 练一练：在同一个坐标系中作出 、 与 的图象，在 x=1 处，哪个函数的图象在最上方？ 答案： 在最上方（x=1 时，5>2>）。 试一试：不画图，比较 与 的大小，并说明理由。 答案： 更大，因为指数 0.5>0，在 y 轴右侧底数越大函数值越大。 八、典型例题 例 1　比较大小（同底数，用单调性） （1）比较 与 的大小； （2）比较 与 的大小。 解：（1）因为底数 0.8 大于 0 且小于 1，函数 是 R 上的减函数。又 ，所以 。 （2）因为底数 2.5 大于 1，函数 是 R 上的增函数。又 a<a+1，所以 。 例 2　已知幂值大小，判断指数大小 已知 ，判断 与 的大小关系。 解：因为底数 大于 0 且小于 1，函数 是 R 上的减函数。由 可得 a<b。又函数 的底数 6 大于 1，是 R 上的增函数，所以 。 例 3　不同底数，借中间量比较 比较 与 的大小。 解：两个幂的底数不同，无法直接用单调性。注意到 1 是「中间量」：底数 1.5 大于 1，；底数 0.8 大于 0 且小于 1，。所以 。 例 4　解不等式 （1）解不等式 ； （2）解不等式 。 解：（1）因为 是 R 上的增函数，所以原不等式等价于 。解集为 [, +∞)。 （2）两边同除以 （它是正数，不改变不等号方向），由实数指数幂的运算性质得 ，即 。因为底数 大于 0 且小于 1，对应的函数是减函数，所以 x>0。解集为 (0, +∞)。 例 5　用定义求参数 已知函数 是指数函数，求 a 的值，并求 。 解：指数函数解析式的系数必须为 1，所以 ，即 ，解得 a=1 或 a=2。又指数函数要求底数 a>0 且 a≠1，所以 a=1 不合题意，舍去，故 a=2。此时 ，。 练一练：① 比较 与 的大小；② 已知 ，判断 a 与 b 的大小关系；③ 比较 与 的大小。 答案：① （底数 1.7>1，增函数，2.5<3）；② a>b（底数 0.2 大于 0 且小于 1，减函数，指数大的函数值小）；③ ，，所以前者大于后者。 方法小结：同底数比大小，用单调性比较指数；不同底数比大小，借中间量 1（或 0）搭桥；解不等式先化为同底数的幂，再用单调性定方向（0<a<1 时注意不等号方向）。 九、回扣情境：由碳 14 剩余量推断死亡时间 图 5　由碳 14 剩余量推断死亡时间 由图 5 可以看出：若测得某文物中碳 14 的剩余量为最初的 ，由 = 可知约经过了 4 个半衰期，即约 年，该文物约死亡于 22920 年前。 练一练：若测得碳 14 的剩余量为最初的 ，请估计该文物约有多少年历史。 答案：由 = 可知约经过了 3 个半衰期，约 年。 十、易错警示与常见结论 易错点 误区 正解 底数范围记错 认为底数只要非零就可以 指数函数规定 a>0 且 a≠1，缺一不可 忽视系数 认为系数不是 1 也是指数函数 系数必须为 1， 不是指数函数 增减性记反 认为只要底数大于 0 就是增函数 a>1 时是增函数，0<a<1 时是减函数 定点记错 认为图象过点 (1,1) 图象过定点 (0,1)，因为 值域记错 认为值域是 R 值域是 (0,+∞)， 恒成立 定义域记错 认为定义域是 (0,+∞) 定义域是 R，指数可取任意实数 比较大小出错 认为指数越大函数值一定越大 只有 a>1 时成立；0<a<1 时指数越大函数值越小 对称关系不清 认为两底数互为倒数的图象关于 x 轴对称 二者关于 y 轴对称（横坐标互为相反数时函数值相等） 十一、巩固练习 题号 题目 1 判断下列函数是否是指数函数，并说明理由：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。 2 求函数 的定义域、值域，并指出它的图象过哪个定点。 3 比较大小：① 与 ；② 与 。 4 已知 ，判断 a 与 b 的大小关系。 5 比较 与 1 的大小。 6 解不等式 。 7 已知指数函数 的图象经过点 (2,4)，求 a 的值。 8 若指数函数 在 R 上是增函数，求 a 的取值范围。 9 比较 与 的大小。 10 某生物死亡后，测得体内碳 14 的剩余量为最初的 。请估计它约死亡于多少年前（半衰期约 5730 年）。 11 计算 的值。 12 比较 与 1 的大小。 13 函数 与 的图象有怎样的位置关系？它们的交点是什么？ 14 已知 ，判断 a 与 b 的大小关系。 15 某种细胞每 30 min 由 1 个分裂成 2 个。设分裂 x 小时后的个数为 y，写出 y 关于 x 的解析式，并求 5 小时后约为多少个。 十二、参考答案 1. ① 是指数函数（底数 2>0 且不等于 1，系数为 1）；② 不是，系数 −1 不等于 1；③ 不是，底数 −2 不大于 0；④ 不是，指数 x+1 不只含自变量 x；⑤ 不是，这是乘方 的形式；⑥ 是指数函数（底数 大于 0 且不等于 1）。 2. 定义域为 R；值域为 (0, +∞)；图象过定点 (0,1)。 3. ① （底数 1.7>1，增函数，2.5<3）；② （底数 0.9 大于 0 且小于 1，减函数，−1>−2）。 4. a>b（ 是 R 上的增函数，函数值大对应指数大）。 5. （底数 3>1，增函数，0.2>0）。 6. x<3（底数 大于 0 且小于 1，减函数，不等号方向改变）。 7. a=2（由 ，且 a>0，得 a=2）。 8. a>1（a>1 时是增函数）。 9. ，，所以 大于 。 10. =，约经过了 3 个半衰期，约 3×5730≈17190 年。 11. 原式===3。 12. （底数 0.7 大于 0 且小于 1，减函数，−0.5<0）。 13. 两个图象关于 y 轴对称；交点只有一个，是 (0,1)。 14. a>b（ 是 R 上的减函数，函数值小对应指数大）。 15. 30 min=0.5 h，每小时分裂 2 次，所以 x 小时分裂 2x 次，解析式为 ；5 小时后 ，约为 1024 个。 十三、方法归纳 任务 做法 例子 判断指数函数 解析式须为 ：系数 1，底数 a>0 且 a≠1 是； 不是 画图象 列表、描点、再用平滑曲线连线 作 的图象 记性质 「一定、二域、三增减」 过 (0,1)；定义域 R、值域 (0,+∞) 比较大小（同底） 构造指数函数，用单调性比较指数 与 比较大小（不同底） 借中间量 1 搭桥，分别与 1 比较 与 解不等式 化为同底数的幂，用单调性定方向（0<a<1 时反向） 用定义求参 用「系数为 1、a≠1」列方程 指数函数的学习主线是「概念—图象—性质—应用」：从碳 14 测年情境抽象出概念，用描点法得到图象，由图象与代数论证归纳出「一定、二域、三增减」，再用单调性解决比较大小、解不等式与测年等应用问题。 十四、本节三句话与本节边界 本节三句话：① 指数函数 （a>0 且 a≠1）的解析式特征是「系数为 1、底数为常数、指数仅含自变量」；② 它的定义域为 R，值域为 (0,+∞)，图象过定点 (0,1)，a>1 时是增函数、0<a<1 时是减函数；③ 比较大小与解不等式的利器是单调性：同底比指数，异底借 1。 本节边界：本节在实数指数幂的基础上给出指数函数的概念，以 为例研究了图象与性质，得到「一定、二域、三增减」的核心结论，并用于比较大小、解简单不等式与碳 14 测年等情境。指数函数是刻画「增长得越来越快」型变化的基本模型，图象与性质相结合的研究方法在后续函数学习中将反复使用。 学科网（北京）股份有限公司 $