3.6三元一次方程组及其解法 教学设计 2026--2027 学年沪科版七年级数学上册

3.6 三元一次方程组及其解法 教学设计 沪科版（2024）数学七年级上册 第三章《一次方程与方程组》第6节 课题名称 3.6 三元一次方程组及其解法 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 三元一次方程组的概念（由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组）；解三元一次方程组的基本思路（消元：三元→二元→一元）。 内容解析 《三元一次方程组及其解法》是一次方程与方程组的第6节。教材通过三元一次方程组的概念和消元思路，让学生进一步理解“消元”的化归思想。本节课既是对二元一次方程组解法的拓展，也为后续学习函数和高次方程组奠定基础，在方程体系中具有承上启下的作用。 目标与目标解析 单元整体目标 本章主要内容是一元一次方程及其解法、二元一次方程组及其解法、三元一次方程组及其解法、实际应用。通过本章学习，学生能解多元一次方程组，发展模型观念和应用意识。 课时目标 1. 理解三元一次方程组的概念，能识别三元一次方程组。 2. 掌握解三元一次方程组的基本思路，能解简单的三元一次方程组。 3. 经历“消元”的过程，体会化归思想（三元→二元→一元），发展运算能力。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能说出三元一次方程组的概念；达成目标2的标志：学生能正确用消元法解三元一次方程组；达成目标3的标志：学生能说出“消元”的化归思想。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了二元一次方程组的解法（代入消元法和加减消元法），能解二元一次方程组；也理解“消元”的化归思想。但学生在三元一次方程组中不知道先消哪个未知数；在消元过程中容易出错。 困惑点或探索点 什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思路是什么？ 教学重难点 教学重点 三元一次方程组的概念；解三元一次方程组的基本思路。 教学难点 选择先消哪个未知数；理解“消元”的化归思想（三元→二元→一元）。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：三元一次方程组是二元一次方程组的拓展，“消元”是本章的核心思想。 学什么：三元一次方程组的概念、解三元一次方程组的基本思路。 怎么学：从三元一次方程组的概念引入，让学生经历“观察—归纳—应用”的过程；通过例题规范消元步骤；在练习中形成运算能力。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 情境导入 问题1：方程组{x + y + z = 12，x - y + z = 6，2x + y - z = 3}含有几个未知数？每个方程是几次方程？ 问题2：我们已经学过二元一次方程组，那这个三元的方程组怎么解呢？ 师：同学们，我们来看一个方程组。这个方程组含有几个未知数呢？ 生：三个，x、y、z。 师：每个方程是几次方程呢？ 生：一次方程。 师：非常好！像这样由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组。 师：我们已经学过二元一次方程组，那这个三元的方程组怎么解呢？今天我们就来学习三元一次方程组及其解法。 学生能识别三元一次方程组；能产生用消元法解三元一次方程组的需求。 从三元一次方程组的概念引入，让学生体会数学知识的拓展，激发学习兴趣。 探究新知 活动1：解三元一次方程组的基本思路是什么？ 活动2：怎样选择先消哪个未知数？ 归纳：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 师：解三元一次方程组的基本思路是什么呢？ 生：消元。 师：非常好！通过“代入”或“加减”进行消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 师：那怎样选择先消哪个未知数呢？ 生：选系数最简单的那个未知数先消。 师：非常好！比如方程组{x+y+z=12，x-y+z=6，2x+y-z=3}，我们可以先消去z，因为①+②和①+③都能消去z。 师：这就是解三元一次方程组的基本思路。 学生能说解三元一次方程组的基本思路是消元；能说出选择先消哪个未知数的方法。 让学生经历“观察—归纳—应用”的过程，理解解三元一次方程组的基本思路和消元方法。 例题精讲 例1：解方程组{x + y + z = 12 ①, x - y + z = 6 ②, 2x + y - z = 3 ③} 例2：解方程组{x + y = 5 ①, y + z = 7 ②, x + z = 6 ③} 例3：解方程组{2x + 3y - z = 11 ①, 2x + y - 3z = 11 ②, -x + y + z = -3 ③} 例1解答： ①+②，得：2x + 2z = 18，即x + z = 9 ④ ①+③，得：3x + 2y = 15 ⑤ 由④得：x = 9 - z ⑥ 把⑥代入⑤，得：3(9 - z) + 2y = 15 27 - 3z + 2y = 15 2y - 3z = -12 ⑦ 由②得：x = 6 + y - z ⑧ 把⑧代入④，得：6 + y - z + z = 9 y = 3 把y = 3代入⑦，得：6 - 3z = -12，z = 6 把z = 6代入④，得：x + 6 = 9，x = 3 所以方程组的解是{x = 3, y = 3, z = 6}。 例2解答： ①+②+③，得：2x + 2y + 2z = 18，即x + y + z = 9 ④ ④-①，得：z = 4 ④-②，得：x = 2 ④-③，得：y = 3 所以方程组的解是{x = 2, y = 3, z = 4}。 例3解答： ①-②，得：2y + 2z = 0，即y + z = 0 ④ ②+2×③，得：2x + y - 3z - 2x + 2y + 2z = 11 - 6 3y - z = 5 ⑤ 由④得：y = -z ⑥ 把⑥代入⑤，得：-3z - z = 5，z = -1.25 把z = -1.25代入⑥，得：y = 1.25 把y = 1.25，z = -1.25代入①，得：2x + 3.75 + 1.25 = 11，x = 3 所以方程组的解是{x = 3, y = 1.25, z = -1.25}。 学生能正确用消元法解三元一次方程组；能正确选择先消哪个未知数；能正确求三个未知数的值。 例1常规消元法；例2整体相加法；例3系数较复杂的消元法。 课堂练习 1. 解方程组{x + y + z = 6, x - y = 1, 2x - y + z = 5} 2. 解方程组{x + y = 10, y + z = 14, x + z = 12} 3. 解方程组{2x + y = 5, x - y + z = 4, 3x + 2y - z = 3} 参考答案： 1. 由②得：x = y + 1 ④ 　把④代入①，得：2y + 1 + z = 6，即2y + z = 5 ⑤ 　把④代入③，得：2y + 2 - y + z = 5，即y + z = 3 ⑥ 　⑤-⑥，得：y = 2 　把y = 2代入⑥，得：z = 1 　把y = 2代入④，得：x = 3 　所以方程组的解是{x = 3, y = 2, z = 1}。 2. ①+②+③，得：2x + 2y + 2z = 36，即x + y + z = 18 ④ 　④-①，得：z = 8 　④-②，得：x = 4 　④-③，得：y = 6 　所以方程组的解是{x = 4, y = 6, z = 8}。 3. ②+③，得：4x + y = 7 ④ 　由①得：y = 5 - 2x ⑤ 　把⑤代入④，得：4x + 5 - 2x = 7，x = 1 　把x = 1代入⑤，得：y = 3 　把x = 1，y = 3代入②，得：1 - 3 + z = 4，z = 6 　所以方程组的解是{x = 1, y = 3, z = 6}。 学生独立完成后同桌互查，教师针对典型错误讲评。 学生能正确用消元法解三元一次方程组；能正确选择先消哪个未知数；能正确求三个未知数的值。 练习由易到难：第1题代入消元法；第2题整体相加法；第3题加减消元法。 反思总结 学生为主体发言：这节课你学到了什么？ ①什么是三元一次方程组？ ②解三元一次方程组的基本思路是什么？ ③解三元一次方程组的一般步骤是什么？ 师：这节课快结束了，请同学们回顾一下有什么收获。 生1：三元一次方程组是由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组。 生2：解三元一次方程组的基本思路是消元，把三元转化为二元，再转化为一元。 生3：解三元一次方程组的一般步骤是：选先消的未知数→消元→解二元一次方程组→求第三个未知数。 师：大家总结得非常好。下节课我们将学习更多类型的方程组。 学生能完整说出三元一次方程组的概念；能说出解三元一次方程组的基本思路；能说出解三元一次方程组的一般步骤。 以学生为主体回顾，将知识条理化；为下节课学习更多类型的方程组做铺垫。 板书设计 3.6 三元一次方程组及其解法 一、概念：由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组。 二、基本思路：消元（三元→二元→一元）。 三、一般步骤：选先消的未知数→消元→解二元一次方程组→求第三个未知数。 学科网（北京）股份有限公司 $