专题05 期中解答压轴题汇总12种题型85题（数的整除+分数+有理数）（期中专项训练）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 期中解答压轴题汇总12种题型85题 （数的整除+分数+有理数） 题型1 整除特征综合（多条件同时整除） 题型2 （最大公因数／最小公倍数）实际应用 题型3 素数与分解素因数 题型4 量率对应与单位“1”（分数应用题） 题型5 分数简便运算（运算律逆用、凑整） 题型6 工程问题（合作、中途加入离开） 题型7 分数拆分与裂项求和 题型8 有理数混合运算与简便技巧 题型9 程序流程图与有理数计算 题型10 数轴综合题 题型11 数轴与绝对值综合 题型12 有理数新定义运算与规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 整除特征综合（多条件同时整除）（共4小题） 【模型】题干给出若干数字或一个多位数的部分数位，要求组成的数同时满足能被2、3、5等数个整除特征，求符合条件的最小、最大数或某一位数字。 【步骤】第1步　逐一列出涉及到的整除特征：能被2整除→个位是偶数；能被5整除→个位是0或5能被3整除→各位数字之和是3的倍数。 第2步　先锁定限制最严的数位（通常是个位），再依据各位数字和判断能否被3整除。 第3步　求最大数：从高位到低位尽量取大数字；求最小数：从高位到低位尽量取小数字，注意最高位不能为0。 第4步　组合出候选数后回代验证，三个整除特征必须同时满足。 【易错】只满足一个特征就下结论，忽略“同时整除”的多重限制。 ◆　把“各位数字和是3的倍数”误记成“个位是3的倍数”。 ◆　最高位填0；或个位同时满足2与5时未优先取0。 1．在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案） (1)写出能被9整除的所有三位数． (2)写出能同时被2，5，3整除的所有三位数 (3)写出能被33整除的所有三位数． 【详解】（1）解：能被9整除的数有：567、576、657、675、756、765． （2）解：能同时被2，5，3整除的所有三位数有：150、510、570、750． （3）解：能被33整除的所有三位数有：165、561． 2．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”. (1)243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）； (2)若四位数是一个“精巧数”，请直接写出的值． 【详解】（1）解：∵243的第一位数“2”可以被“1”整除，前两位“24”可以被“2”整除，“243”可以被“3”整除， ∴243是“精巧数”， ∵3246的第一位数“3”可以被“1”整除，前两位数“32”可以被“2”整除，前三位数“324”可以被“3”整除，“3246”不能被“4”整除， ∴3246不是“精巧数”， 故答案是：是，不是； （2）第一位数“1”可以被“1”整除， 前两位数“12”可以被“2”整除，前三位数“123”可以被“3”整除， ∵四位数是一个“精巧数”， ∴四位数可以被“4”整除，即(1230+k)是4的倍数， 1230+k=1228+k+2， k+2=4或8， k=2或k=6． 3．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 【详解】(1)312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且，4能被2整除； 875是“好数”，因为8，7，5都不为0，且，15能被5整除； (2)611，617，721，723，729，831，941共7个，理由： 设十位数数字为，则百位数字为的整数）， ， 当时，， 能被1，7整除， 满足条件的三位数有611，617， 当时，， 能被1，3，9整除， 满足条件的三位数有721，723，729， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有831， 当时，， 能被1整除， 满足条件的三位数有941， 即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）阅读下面材料，并解答问题． 材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即，则称这个三位数为“2020”数，（例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：，所以231是“2020”数．） 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：，9÷9＝1，所以108一定能被9整除． (1)阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由． (2)根据材料1和2，求所有小于400且能被9整除的“2020”数． 【详解】(1)725是“2020”数，理由如下： ， 所以：725是“2020”数． （2）解：由题可知，若一个整数各个数位上的数字之和能够被9整除，则这个整数一定能够被9整除， 因为最大的三位自然数为999，三个数位数字和是27，且三位自然数要小于400， 所以三位自然数的数位数字和不可能得到27， 所以小于27且是9的倍数的数位数字之和有18和9， 设这个三位自然数是， 三位自然数数位数字之和为18且三位自然数要小于400，所以百位的数字最大为3． 当时，且根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得： 即该数是369，符合“2020”数的特征， 故且时，三位数369符合“2020”数的特征； 当时，且根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得： 即该数是333，符合“2020”数的特征， 故且时，三位数333符合“2020”数的特征； 当时，且根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得： 即该数是297，符合“2020”数的特征， 故且时，三位数297符合“2020”数的特征； 当时，且根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得： 由于b、c非整数，不符合题意； 当时，且根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得：，不符合题意； 故且时，根据三位数符合“2020”数的特征，则： ，解得：不符合题意； 由于b、c非正整数，不符合题意； 综上，369、333、297是小于400且能被9整除的“2020”数． 答：所有小于400且能被9除的“2020”数有369、333、297． 题型2 因数倍数实际应用（最大公因数／最小公倍数）（共9小题） 【模型】把若干数量的物体尽量等分、截成同样长的小段、分组等，求“每份最多多少”用最大公因数；求“最早再次同时发生／最少配齐”用最小公倍数。 【步骤】第1步　判断题型：等分、截段、分组求最大份量→最大公因数；求同时发生、同时回到起点、配齐→最小公倍数。 第2步　用短除法或分解素因数求两（多）数的最大公因数、最小公倍数。 第3步　最大公因数＝所有公共素因数最低次幂的乘积；最小公倍数＝所有出现素因数最高次幂的乘积。 第4步　结合情境完成最后一步（如共几段＝总数÷每段长度），并作答。 【易错】分不清该用最大公因数还是最小公倍数（口诀：等分用最大公因数，同时发生用最小公倍数）。 ◆　求最大公因数时把不公共的素因数也乘进去。 ◆　结果未约分彻底，或漏写单位。 5．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 【详解】（1）解： 20和30的最大公因数是10， 所以正方形边长至多是10厘米． 答：正方形的边长至多为10厘米． （2）解：20和30的最小公倍数是， 所以这个正方形边长至少是60厘米． 答：正方形的边长至少为60厘米． 6．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 【详解】（1）解：∵与的最大公因数是， ∴相邻两面彩旗之间的最大距离是米； （2）解：（面）， 答：至少要在广场四周挂设面彩旗． 7．（24-25六年级上·上海·期中）如图是一个长方形人工湖，如果在它的四周及四角栽上风景树，每相邻两棵树之间的距离要相等． (1)在各方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？ (2)至少在湖的四周种几棵树？ 【详解】（1）解：， 所以和的最大公因数是，即相邻两棵树之间的距离最大是米； （2） 棵 答：每相邻两棵树之间的距离相等，最少栽棵树． 8．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， (1)若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ (2)如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 【详解】（1）解：48和28的最大公约数是4，也就是截成的小正方形的边长是4厘米， 那么长可截的块数：（块）， 宽可截的排数：（排）， 一共截的块数：（块）； 答：至少要剪84块； （2）解：， ， 所以48和28的最小公倍数是， 答：正方形地面的边长最少是336厘米． 9．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 【详解】解：根据题意，每台服务器的周期为： 服务器A：（分钟） 服务器B：（分钟） 服务器C：（分钟） 最小公倍数为（分钟） 540分钟 小时 从凌晨开始，经过小时后是 答：至少经过540分钟3台服务器会再次同时开始数据同步，此时是09时00分． 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【详解】（1）解：分钟，分钟， 因为12和18的最小公倍数为36， 所以早间新闻播报用了36分钟， 因为早晨开始播报早间新闻， 所以结束时间为； （2）解：分钟，分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 11．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）在长2千米的道路一边种树，每间距10米种一棵树（道路两端也种），由于树太密集遮挡了部分光线，所以需要移走一些树木，现计划改为每间距25米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在整个植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ 【详解】（1）10和25的最小公倍数是50， ， 所以共有棵树可保留不动， 答：有棵树可保留不动； （2）第一次挖坑数量个， 第二次应挖坑数量个， 一共挖坑个， 答：在整个植树过程中一共挖了个坑来种树． 12．（23-24六年级上·上海宝山·期中）“学生运动会”快到了，六年级学生排练队列操，不论4人或5人排一行，都刚好排成整数行而无剩余． (1)这些同学至少有多少人？ (2)如果六年级学生人数介于150至190之间，那么最多有多少位同学参加了训练？ 【详解】（1）解：依题意，和的最小公倍数为， ∴这些同学至少有人； 答：这些同学至少有人 （2）解：∵六年级学生人数介于150至190之间，且人数为的倍数， ∴最多有位同学参加了训练； 答：最多有位同学参加了训练 13．（25-26六年级上·上海·期中）第八届中国国际进口博览会正在上海火热召开，为了深度报道进博会，甲、乙两家电视台对午间时段进行了调整：两家电视台计划在每天午间同时开始专题报道，甲台每报道10分钟后插播2分钟现场连线，乙台每报道12分钟后插播3分钟现场连线，当两家电视台的现场连线第一次同时结束时，午间报道结束． (1)问午间报道将在每天的什么时候结束？ (2)乙台每天现场连线的总时长比甲台多几分之几？ 【详解】（1）解：甲台单个周期时长：（分钟）， 乙台单个周期时长：（分钟）， ∵和的最小公倍数是， ∴经过分钟，即1小时，两家电视台的现场连线第一次同时结束， ∵两家电视台计划在每天午间同时开始专题报道，且当两家电视台的现场连线第一次同时结束时，午间报道结束， ∴午间报道将在每天结束． （2）解：甲台每天现场连线的总时长为（分钟）， 乙台每天现场连线的总时长为（分钟）， 则， 答：乙台每天现场连线的总时长比甲台多． 题型3 素数与分解素因数（共6小题） 【模型】已知一个较大的数，求它的约数个数、奇数约数个数，或依据约数个数反推数的结构、判断是否为完全平方数。 【易错】约数个数公式中“指数＋1”漏加（直接写成 p·q·r）。 ◆　忘记1既不是素数也不是合数；1不作为素因数计入。 ◆　判断完全平方数时只看一个素因数的指数奇偶，未检查全部。 14．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 【详解】解：∵， ∴， ∴三个人的年龄分别是岁、岁、岁． 答：这三个小朋友的年龄分别是岁、岁、岁． 15．（25-26六年级上·上海青浦·期中）1742年6月7日哥德巴赫提出猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．即（是大于2的偶数，、是素数）”．例：；． (1)把38写成两个素数之和的形式： （写出一种情况即可）； (2)定义：如果与是关于的关联数，那么． ①如果与是关于2的关联数，那么 ； ②如果的与1.25是关于的关联数，求的值． 【详解】（1）解：（或）， 故答案为：． （2）①∵与是关于2的关联数， ∴， ∴， 故答案为：． ②依题意，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26六年级上·上海·期中）爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴的所有因数为，，，，， ∴的因数个数为个； （2）解：∵， ∴的因数为，，，，，， ∴的因数个数为个． （3）解：令，其中，， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∵， ∴的因数为，，，，，，故因数个数为个， ∴的因数个数为个． 17.在学习数的整除这一章节后，对于找一个整数的因数进行了研究： 分解素因数 所有的因数 素因数 素因数个数 因数个数 4 1，2， 2×2=4 2 2 3 6 1，2，3， 2×3 2 1 4 3 1 12 1，2，3 2×2， 2×3， 2×2×3 2 2 6 3 1 27 1，3， 3×3， 3×3×3 3 1 4 50 1，2，5， 2×5， 5×5 2×5×5 2 1 6 5 2 210 210=2×3×5×7 1，2，3，5，7 2×3，2×5， 2×7，3×5，3×7， 5×7 2×3×5， 2×3×7，3×5×7， 2×3×5， 2×3×5×7 2 1 16 3 1 5 1 7 1 (1)观察表格中的第二列和第三列，小明发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解素因数，例如： ，它有 个因数，分别是 ; （且是素数），它有 个因数，分别是 ; (2)进一步观察因数的个数和素因数个数间的关系，填空： 若（其中为素数），则的因数个数为 ; 若（其中为素数，为正整数），则的因数个数为 ; 若（其中、为不同大小的素数，、正整数），则的因数个数为 ． 【详解】（1）解：因为， 所以的因数为，，，，，，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，，， ，故因数个数为个； （2）解：因为， 所以的因数为，， ，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 令其中，， 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 因为， 所以的因数为，， ，，，故因数个数为个； 所以的因数个数为． 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，均为正整数且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时，．例如：，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)__________；__________． (2)若正整数小于300，且，写出正整数的所有可能值__________． (3)若正整数为小于300的三位数，那么的最大值是__________，的最小值是__________． 【详解】（1）解：由“最优分解”的定义可知，是9的“最优分解”， 是24的“最优分解”， ，， 故答案为：1，； （2）解：， 设是a的“最优分解”， 正整数小于300， ， ， 或2或3， 当时，， 当时，， 当时，， 正整数的可能为30，120，270， 故答案为：30，120，270； （3）解：当m为完全平方数，设 (n为正整数)， ， 是m的“最优分解”， ， （，均为正整数且）， 的最大值为1， 当m为300以内的最大的质数293时，存在最小值，最小值为． 故答案为：1，． 19.在判断一个较大的整数是否为素数时，常常使用“N法”．对于一个较大的整数， 第一步，找到一个整数，要求：且； 第二步，用小于等于这个整数的所有素数从小到大依次去除这个整数； 若能够被其中一个素数整除，则不是一个素数；反之，是一个素数． 以667为例， 第一步， ； 所以， 第二步，用2、3、5、7、11、13、17、19、23分别去除667， 得到， 所以，667不是一个素数． (1)模仿上述方法，判断323是一个素数？还是一个合数？ (2)利用上述方法，判断下列分数是否为最简分数，若不是，请进行约分：                    【详解】（1）解：第一步，∵，， ∴ 第二步，用2、3、5、7、11、13、17分别去除323，发现17能整除， 所以323是一个合数； （2）解：和都不是最简分数， 用“N法”可得，， ∴； 用“N法”可得，， ∴． 题型4 量率对应与单位“1”（分数应用题）（共17小题） 【模型】“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”“比一个数多／少几分之几”等，核心是找准单位“1”并建立量率对应。 【步骤】第1步　找单位“1”：一般情况下“的”字前面的量、“比”字后面的量是单位“1”。 第2步　画线段图或写出“数量÷对应分率”的关系。 第3步　已知单位“1”求部分用乘法；未知单位“1”、已知部分与对应分率求整体用除法。 第4步　涉及“多／少几分之几”时，分率记为1±几分之几再代入。 【易错】单位“1”找错，导致乘除颠倒。 ◆　把带单位的数量与不带单位的分率混淆（分率无单位）。 ◆　“多几分之几”写成1+分率却忘记分率本身，或“剩下几分之几”计算错。 20．（25-26六年级上·上海·期中）学校图书馆添置了一定数量的新书，某天中午，六年级三个班计划分别借走这批新书总和的、、． (1)请你算一算，这批新书够借吗，为什么？ (2)请你写出一个这批新书可能的数量，如果够借，求出还剩几本？如果不够借，还缺几本？ 【详解】(1)解：够借， 理由：， ∵， ∴这批新书够借． （2）解：这批新书的数量可以是4、5、10的公倍数，例如取最小公倍数20本， 六年级一班借走：（本）， 六年级二班借走：（本）， 六年级三班借走：（本）， 三个班共借走：（本）， 剩余数量：（本）， 即这批新书可能有20本，还剩1本． 21．（25-26六年级上·上海普陀·期中）某校六（1）班有四十余名学生，每人只能参加一个社团，其中全班学生的参加了学术类社团，全班学生的参加了体育类社团，剩下的学生参加了公益类社团． (1)六（1）班有 名学生； (2)求六（1）班参加公益类社团的学生人数． 【详解】（1）解：全班学生的参加了学术类社团，全班学生的参加了体育类社团， 全班人数是和的公倍数， 六（1）班有四十余名学生， 全班人数是， 故答案为：； （2）解：根据题意， （人） 答：六（1）班参加公益类社团的学生人数为人． 22．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝抗日战争胜利80周年，乐乐所在的班级需要制作30面彩旗进行庆祝，班级共有四个小组，他们分组轮流到劳技教室进行制作，第一小组率先完成了全部彩旗的，第二小组紧接着制作了10面彩旗，第三小组制作了剩下的． (1)第二小组制作的彩旗是所有彩旗的几分之几？ (2)第四小组要制作多少面彩旗就能完成任务？ 【详解】（1）解：， 答：第二小组制作的彩旗是所有彩旗的． （2）解：由题意可得： ． 答：第四小组要制作9面彩旗就能完成任务． 23．（25-26六年级上·上海·期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． (1)求水果超市购进三种水果各多少千克？ (2)在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 【详解】（1）解：由题意知，苹果的数量为：（千克）， 桔子的数量为：（千克）， 香蕉的数量为：（千克）， 即苹果240千克，桔子144千克，香蕉216千克． （2）解：桔子的进价为：（元）， 苹果的进价为：（元）， 总进价为：（元）， 桔子的售价为：（元）， 香蕉的售价为：（元）， 苹果的售价为：（元）， 总销售额为：（元）， 该商店的利润为：（元）， 即该商店共赚了1111元． 24．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为激励学生阅读，开展了“阅读之星”的评选活动，小林积极参与，他利用假期在三天内看完了一本书并书写了阅读报告．已知小林第一天看了全书的，第二天看了剩余部分的，问： (1)第三天小林看了全书的几分之几？ (2)如果小林第一天比第二天多看了25页，那么这本书共有多少页？ 【详解】（1）解：设全书页数为单位1， ∵小林第一天看了全书的，第二天看了剩余部分的， ∴前两天共看了， ∴第三天看了全书的； （2）解：设这本书共有x页，则第一天看了页，第二天看了页， ∵小林第一天比第二天多看了25页， ∴ 解得 ∴这本书共有250页． 25．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）六年级学生参加植树劳动，共有香樟树、杨树、柳树三种树种，每人只需植一棵树，其中全年级的学生选择了香樟树，全年级的学生选择了杨树，剩下的65人选择了柳树． (1)六年级共有多少名学生？ (2)如果该校计划明年将增加最受欢迎的树种的采购量，那么根据以上数据哪一种树种将被增加采购？说明理由． 【详解】（1）解：设六年级共有x名学生． 则选择香樟树的学生数为人，选择杨树的学生数为人，选择柳树的学生数为65人． 根据题意，有． ． 因此六年级共有312名学生； （2）解：计算各树种选择人数： 香樟树：（人）， 杨树：（人）， 柳树：65人． 比较可知，选择杨树的学生人数最多，因此杨树是最受欢迎的树种，应增加采购量． 26．（24-25六年级上·上海·期中）某校六年级（1）班有45名同学，在体育活动课中，有的同学参加了踢足球活动，有的同学参加了跳绳活动，剩余的同学都参加了打篮球活动． (1)求参加了打篮球活动的同学有多少名？ (2)求体育活动课中参加跳绳活动的同学比参加踢足球活动的同学多几分之几？ 【详解】（1）解： （名） 答：参加了打篮球活动的同学有13名． （2）解：（名） （名） 答：体育活动课中参加跳绳活动的同学比参加踢足球活动的同学多． 27．（24-25六年级上·上海·期中）某种高档进口收工羊毛地毯原售价是每平方米4200元，现在价格上涨了． (1)现在售价为每平方米多少元？ (2)买进口商品还需缴纳总价的的关税，那么一块12平方的进口地毯，按现在的售价应付多少元？（精确到1元） 【详解】（1）解：（元）． 答：现在售价为每平方米4242元； （2）解：（元）． 答：按现在的售价应付71775元． 28．（24-25六年级上·上海青浦·期中）乐乐爸爸记录了国庆旅游期间家庭在饮食、住宿、门票、交通和购物五个方面的消费情况．其中饮食840元，住宿1260元，交通700元，且饮食占消费总额的，门票占消费总额的．请根据所给的数据，回答下列问题： (1)乐乐家这次旅游消费总额是多少元？ (2)购物占消费总额的几分之几？ 【详解】（1）解：（元）， 答：乐乐家这次旅游消费总额是4480元． （2）解：门票的费用为元， 购物费用为（元）， 购物占消费总额的． 答：购物占消费总额的． 29．（24-25六年级上·上海·期中）我校开展社团拓展课程，参加美术小组有63人，参加科技小组的人数比参加美术小组人数少． (1)参加科技小组有多少人？ (2)参加美术小组的人数比科技小组的人数多几分之几？ 【详解】（1）解：根据题意： （人） 答：参加科技小组有人； （2）解：根据题意： ， 答：参加美术小组的人数比科技小组的人数多． 30．（24-25六年级上·上海·期中）李明家有一块长方形地，面积为270平方米，他用这块地的种草莓，其余种蓝莓和番茄两种作物． (1)李明家种草莓的面积是多少平方米？ (2)种植蓝莓的面积比番茄的面积少，求种植蓝莓的面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：（平方米） 答：李明家种草莓的面积是150平方米； （2）解：种蓝莓和番茄两种作物的面积为（平方米） 设种植番茄的面积为x，则种植蓝莓的面积为，根据题意： ， 解得：，则（平方米） 答：种植蓝莓的面积是45平方米． 31．（25-26六年级上·上海·期中）在阅读领航的活动中，小张计划用三天读完一本课外书籍，他第一天阅读了全书的，第二天阅读了全书的． (1)求小张第一天的阅读量是第二天的几分之几？ (2)如果这本书籍共页，那么小张第三天从第几页开始阅读？ (3)如果小张阅读了两天后还剩下页未读，那么这本书籍共有多少页？ 【详解】（1）解：， 答：小张第一天的阅读量是第二天的． （2）解：（页）， 答：小张第三天从第页开始阅读． （3）解：（页）， 答：这本书籍共有页． 32．（25-26六年级上·上海青浦·期中）六年级二班全班45人每人都参加了学习小组，且只参加三个小组中的一个．已知参加作文学习小组的人数是参加数学学习小组人数的，又是全班总人数的，其他同学都参加了英语学习小组． (1)求参加作文学习小组的有多少人？ (2)求参加英语学习小组的有多少人？ (3)英语学习小组的人数比数学学习小组的人数少几分之几？ 【详解】（1）解：∵参加作文学习小组的人数是全班总人数的，全班总人数为45人， ∴参加作文学习小组的人数为（人）． 答：参加作文学习小组的有20人． （2）解：∵参加作文学习小组的人数是参加数学学习小组人数的，且参加作文学习小组的人数为20人， ∴参加数学学习小组的人数为（人）． ∵全班总人数为45人，且只参加三个小组中的一个， ∴参加英语学习小组的人数为 （人）． 答：参加英语学习小组的有10人． （3）解：∵参加数学学习小组的人数为15人，参加英语学习小组的人数为10人， ∴英语学习小组比数学学习小组少人． ∴少的比例是． 答：英语学习小组的人数比数学学习小组的人数少． 33．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）在科技节活动中，六年级有四个小队参加“机器人搬运能量球”比赛，规定分钟以内搬运最多者获胜．比赛结果如下表所示： 小队名称 雷霆队 闪电队 旋风队 星光队 比赛成绩（个） 请你担任“赛事数据分析师”，完成下面挑战： (1)旋风队搬运的能量球是雷霆队的几分之几？ (2)雷霆队比星光队多搬运几分之几？ (3)赛会规定“只要任意一队达到第一名小队搬运量的，就能获得‘最佳潜力奖’”．目前排名第二的闪电队是否能获得此奖项？请说明理由． 【详解】（1）解：由表格可知，旋风队搬运个能量球，雷霆队搬运个能量球， 旋风队搬运的能量球是雷霆队的． （2）解：由表格可知，雷霆队搬运个能量球，星光队搬运个能量球， 雷霆队比星光队多搬运（个）， 雷霆队比星光队多搬运的部分是星光队的． （3）解：闪电队能获得“最佳潜力奖”．理由如下： 第一名小队是雷霆队，搬运 个，其为（个）， 闪电队搬运个，， 闪电队能获得“最佳潜力奖”． 34．（23-24六年级上·上海·期中）在刚刚结束的杭州亚运会上，来自亚洲的45个国家的12500余名运动员参加了40个大项，481个小项的角逐．中国代表团以201枚金牌111枚银牌71枚铜牌，总计383枚奖牌在奖牌榜上遥遥领先，张老师从奖牌榜上摘取部分数据，得到下面这个不完整的表格： 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数 日本 52 67 69 韩国 59 190 印度 28 41 还知道韩国代表团获得的金牌数是中国代表团金牌数的；另外，若中国代表团的银牌数再增加3枚，印度代表团获得的银牌数正好是中国代表团所获银牌的． (1)请根据以上提供的信息把表格补充完整 (2)日本代表团获得的金牌数占日本代表团获得的奖牌总数的几分之几？ (3)本届亚运会总共产生了481枚金牌，问：印度代表团所获的金牌数占除中国代表团外其他44个代表团所获金牌总数的几分之几？ 【详解】(1)填表如下： 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数 日本 52 67 69 188 韩国 42 59 89 190 印度 28 38 41 107 （2）解： 答：日本代表团获得的金牌数占日本代表团获得的奖牌总数的． （3）解：． 答：印度代表团所获的金牌数占除中国代表团外其他44个代表团所获金牌总数的． 35．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如图1，有一块露营营地，甲区是帐篷搭建区，乙区是人工湖区，丙区是亲水平台区．其中，丙区的面积是乙区面积的，比甲区的面积少． (1)如果丙区的面积为7000平方米，那么乙区的面积是多少平方米？ (2)甲区的面积是乙区面积的几分之几？ (3)丙区有条长为130米的道路紧靠人工湖，在道路上从A点开始到B点原来有若干个钓台，如图2，每个钓台长为2米，每两个钓台之间的间隔为4米．现考虑安全问题，计划重新改建，将每两个钓台之间的间隔改为7米．通过计算，发现原来的一部分钓台与计划改建后的钓台位置重合，可以保留不拆除，那么原来的钓台需要拆除多少个？ 【详解】（1）解： （平方米）， 答：乙区的面积是10000平方米； （2）解：把甲区面积看成单位“1”， 因为丙区的面积比甲区的面积少， 所以，丙区的面积， 又因为丙区的面积是乙区面积的， 所以，乙区的面积为， 所以，， 即：甲区的面积是乙区面积的； （3）解：根据题意知，原来的一个钓台与一个间隔共米， 所以，原有钓台米，即21个； 重建后一个钓台与一个间隔共米， 因为6与9的最小公倍数为18， 所以，不需要拆除的钓台有米，即7个， 因此需要拆除的钓台个数有：（个）， 答：需要拆除的钓台有14个． 36．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，某园区出入口附近设置了21个无障碍停车位，每个停车位的长度为600厘米，宽度为200厘米，每两个相邻的停车位之间有一个共享的乘客下车区．如果每个下车区的宽度比每个停车位的宽度少． (1)图中的下车区共有 个； (2)图中整个停车区域的总宽度是多少厘米？ (3)在停车区域的一侧（图中线段）从点开始到点有若干个120厘米高的标识牌，每两个标识牌之间的间隔为450厘米．现计划改建这一侧的标识牌，使得相邻两个标识牌之间的间隔改为300厘米．原来的标识牌中与计划改建后的位置重合的可以保留使用，与计划改建后的位置不符合的需要拆掉．经测算拆掉一个标识牌需要10分钟，安装一个新的标识牌需要15分钟，那么标识牌的整个拆装过程需要多少小时？ 【详解】（1）解：由题意知（个）． 答：下车区共有个． （2）解：由题意得到下车位的宽度为厘米， ∴下车位的总宽度为厘米， 同时由题意知，停车位的总宽度为厘米， ∴， ∴整个停车区域的总宽度为厘米． 答：整个停车区域的总宽度为厘米． （3）解：由第（2）问知停车区域的总宽度为厘米， ∴原标识牌的个数为个，需要考虑起点处也有一个标识牌， ∴改建后标识牌的个数为个，同样需要考虑起点处也有一个标识牌， ∵与的最小公倍数为， ∴重合的标识牌个数为，同样起点处的标识牌重合， ∴拆除标识牌个数为个，安装新标识牌个， ∴总时间为分钟，即小时． 答：标识牌的整个拆装过程需要小时． 题型5 分数简便运算（运算律逆用、凑整）（共4小题） 【模型】分数加减乘除混合式中，利用交换律、结合律、乘法分配律的逆用或“连减变减和”实现简便计算。 【步骤】第1步　先观察算式结构：是否有公共因数（逆用乘法分配律提出）、能否凑整、是否连减可合并。 第2步　带分数可拆成“整数部分＋真分数”再分别计算。 第3步　严格按运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号，同级从左到右。 第4步　分配律逆用时括号内每一项都要乘到。 【易错】乘法分配律漏乘括号内的某一项。 ◆　误以为除法有分配律（a÷(b+c)不能拆成 a÷b＋a÷c）。 ◆　带分数加减时未拆整、真分部分处理错。 37．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) （6）先将带分数和小数转化为假分数，先算括号内的运算，再算乘除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 38．（25-26六年级上·上海·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】 解：原式 40．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： 题型6 工程问题（合作、中途加入离开）（共4小题） 【模型】“一项工程甲单独做需a天、乙单独做需b天，合作需几天”及中途加入／离开等变式，把工作总量视为1。 【步骤】第1步　把工作总量看作单位“1”。 第2步　求各自效率：甲的效率=1÷甲所需时间；乙的效率=1÷乙所需时间。 第3步　合作效率=甲效率＋乙效率；合作时间=1÷合作效率。 第4步　中途加入／离开类问题分段计算：先算已完成的量，再算剩余量与剩余效率对应的时间。 【易错】把“效率”写成所需时间本身（效率是1÷时间）。 ◆　合作时间误算成 (a+b)/2，而不是 1÷(1/a+1/b)。 ◆　中途加入类问题未分段，一次算完导致错误。 41．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成． (1)两人合作4天，完成的工作量占这项工作总量的几分之几？ (2)如果两人合作4天后，甲有事先行离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【详解】（1）解：设工作总量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ， 答：两人合作4天，完成的工作量占这项工程总量的； （2）解：合作4天后剩余工作量为， 乙的工作效率为， 乙单独完成剩余工作量所需时间为（天）． 答：乙还需要5天才能完成． 42．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 【详解】（1）解：根据题意：， 答：两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的； （2）解：设乙还需要x天才能完成，根据题意： 解得：， 答：乙还需要10天才能完成． 43．（24-25六年级上·上海普陀·期中）某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 【详解】（1）解：根据题意得： ； 答：前两个阶段共完成整个工程的； （2）解： （千米）， 答：这条公路全长有4800千米． 44．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某施工团队分三个阶段对学校周边一条拥堵道路完成改造．第一阶段改造了这条道路的，第二阶段完成了剩下工程的，第三阶段改造的长度是1400米． (1)前两个阶段共完成整个改造工程的几分之几？ (2)这条道路原来全长多少米？ (3)第三阶段比第二阶段少完成这条道路的几分之几？ 【详解】（1）第二阶段完成整个工程的， 前两个阶段一共完成整个工程的． 答：前两个阶段共完成整个改造工程的． （2）第三阶段完成整个工程的，米． 答：这条道路原来全长4800米． （3）， 答：第三阶段比第二阶段少完成这条道路的． 题型7 分数拆分与裂项求和（共10小题） 【模型】形如 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(n×(n+1)) 的求和，利用裂项 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) 抵消中间项。 【步骤】第1步　识别分母是相邻两整数（或间隔固定两整数）的乘积。 第2步　裂项：1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)；若分母为间隔d的两个数，1/(n×(n+d))=(1/d)(1/n-1/(n+d))。 第3步　写出每一项的裂项结果，中间项前后抵消。 第4步　只保留首项与末项求和，得结果。 【易错】裂项公式漏乘系数1/d（分母两数间隔不为1时）。 ◆　中间项抵消时看漏，误以为全部保留。 ◆　末项漏写或首末两项符号处理错。 45．（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解：；；； (1)请在理解上面计算方法的基础上填空：；； (2)利用以上所得的规律计算：． 【详解】(1)由题意得： ； ； （2）解： ． 46．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（25-26六年级上·上海宝山·期中）在学习分数除法时，小海想借助“通分”来计算分数除以分数：“如果能够运用分数的基本性质把两个分数转化成同分母，那么就可以用两个分数的分子相除来计算结果了”． 下面分别是4位同学计算“”的过程，其中运用了上面小海想法的是（    ） A．；                    B．； C．；        D．． 小海的这种先将两个分数通分，再将分子相除的方法，正是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的分数除法（称之为“经分”） 请用这个方法把算式补充完整：． 刘徽在为“经分”注释时，将这种方法重新命名为“散分法”．例如下面的算式就是用“散分法”计算的． ． 根据上面的计算过程，请你写出用“散分法”计算分数除法的完整过程． ． 【详解】解：计算“”的过程，其中运用了上面小海想法的是C． ． 48．（24-25六年级上·上海·期中）思考：分子为1的分数叫做单位分数，早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ； ． 在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和，按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和，根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 【详解】解：第一种：∵ ∴； 第二种：∵， ∴； 第三种：∵， ∴； 第四种：∵， ∴． 49．（25-26六年级上·上海崇明·期中）求的值，可用下面的两种方法： 方法一：； 方法二：通过画图发现的值等于1减去阴影部分的面积，即． (1)请你模仿上述两种方法求的值； (2)用合理的方法求的值．（式子中的各分数的分母是前一个分数分母的2倍） 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：通过图2发现的值等于1减去阴影部分的面积，即=； （2）解： ． 50．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 51．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 【详解】（1）解：①由题意可知，； 故答案为：99，100； ②， 故答案为：99，101； （2）解：① ． ② ， 故答案为：． 52．（24-25六年级上·上海普陀·期中）数学上，定义了一个分数套分数的数学式可以用来表示有理数，我们称这个数学式为连分数或繁分数，其形如：，其中是整数，是正整数．那么，我们可以引入紧凑的符号形式来表示上述的连分数．例如：． (1)有理数表示为连分数的符号形式为：________________； (2)计算：； (3)直接写出连分数倒数的连分数的符号形式（）． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：， 所以． （3）解：因为， ∴的倒数为， 所以连分数倒数的连分数的符号形式为． 53．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）阅读下面材料，完成以下问题： ①数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“！”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如．正整数n的阶乘记作． （1）试计算的值为_______． ②分数裂项是将一个分数拆分成多个分数的和或差的操作．分数裂项通常用于简化运算或解决问题，特别是在分数运算中．通过裂项，可以将复杂的分数运算问题转化为简单的分数加法或减法运算，从而更容易计算和理解．例如： （2）试计算： _______． ③分数裂项是否可以和阶乘结合起来呢？我们进行如下探究得到： 如：，把拆分为两个分母含有阶乘形式的单位分数的差． （3）试模仿上面的探究将化简为两个分母含有阶乘形式的单位分数的和或差的形式． （4）继续模仿前面的探究化简：，结果中分母可含有阶乘形式的单位分数（这样的单位分数最多两个）． 【详解】（1）； （2）原式 ； （3）因为 所以，， 所以； （4）原式 ． 54．（25-26六年级上·上海·期中）三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为单位分数．在一部记录古埃及数学的《莱因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成两个单位分数之和的形式，如：，，，…… (1)若（），则 ___________，___________； (2)根据上述等式揭示的规律，写出用字母n（n取大于2的自然数）表示这一规律的等式： ___________； (3)如果3个正整数满足，就称a、b、c这三个数为一组“调和数”．现有两个数20，30．如果要再添加一个正整数n，使它们构成一组调和数，那么n的值可以是___________（写出所有符合条件的值）． 【详解】（1）解：根据题意，得，； （2）解：根据题意，得，； （3）解：如果3个正整数满足，就称a、b、c这三个数为一组“调和数”． 当时，， ， ； 当 时，， ， ； 当时，， ， ； 题型8 有理数混合运算与简便技巧（共5小题） 【模型】加减乘除乘方混合运算，或利用运算律（交换、结合、分配）实现凑整、抵消的简便计算。 【步骤】第1步　确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内（含去括号顺序）。 第2步　灵活运用交换律、结合律、乘法分配律凑整、抵消。 第3步　符号法则：同号相乘（除）得正，异号相乘（除）得负；负负得正。 第4步　乘方先定符号：正数的任意次幂为正；负数的偶次幂为正、奇次幂为负。 【易错】运算顺序颠倒（先加减后乘除、乘方漏算）。 ◆　混淆 -2² 与 (-2)²（前者=-4，后者=4）。 ◆　乘除按从左到右顺序出错，或多个负号连乘符号判断错。 55．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 56．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 57．（25-26六年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【详解】解： ． 58．（25-26六年级上·上海松江·期中）老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小明的解法错误，错误原因是不能利用除法分配律去“”后面的括号； （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 59．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 【详解】（1）解：除法不满足分配律因此解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：先计算： 原式 ． 题型9 程序流程图与有理数计算（共3小题） 60．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 61．（25-26六年级上·上海·期中）任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、都是正整数，其中），当减的差最小时，规定：；当减的差最大时，规定：，例如：12都可以分解成：，那么，． (1)当时，________；________． (2)定义两种新运算，满足如下的流程图，请完成下列问题： ①当时，输出的结果是多少？ ②如果约分后为，那么当输出的结果为时，求． 【详解】（1）解： ∴，； 故答案为：，． （2）解：①， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； ②∵约分后为，， 当时， ， 解得：， ∴，符合， ∴， 当时， ， 解得：， ∴，不符合， 综上所述，． 62．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 题型10 数轴综合题（共4小题） 63．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【详解】（1）解：当点M向右移动时，； 当点M向左移动时，， 综上，a的值为：2或8； （2）解：由题意可知：点到24的距离，到B的距离，到6的距离相等， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）如图， 小明与表姐的年龄差为： （岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为16岁，小明的年龄为12岁． 64．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 【详解】（1）解：∵已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数 ∴， 故答案为：，； （2）解：由旋转得，， ∴点所对应的数为 ∴点所对应的数为， 故答案为：，5； （3）解：①两点之间的距离为， 点M从出发到追上点N所需时间为（秒）； ②点M到原点的距离为． 65．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 【详解】（1）是最小的正整数， ， 点在点左侧，点到原点的距离是5 ， ， 故答案为：； （2）①，，折叠后点与点重合， 折痕点所表示的数是， 设与点重合的点表示的数为， ， 则，即， 点与数表示的点重合， 故答案为：； ②、两点经折叠后重合， 的中点也是， 数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧）， 设点表示的数为，则点表示的数为， ，即， 点表示的数为， 故答案为：； （3）点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，，，， 运动秒后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是， ，， ， 的值不随着时间的变化而改变，这个值是2． 66．（24-25七年级上·河北保定·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即，， 故答案为：，； （2）①解：由题意可知， ∵在数轴上点A表示数a，点B表示数b，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：∵，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：如图： 借助数轴，把妙妙与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比妙妙大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 妙妙比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比妙妙大， 可知爷爷的年龄为（岁），妙妙的年龄为（岁） 故爷爷现在的年龄是岁，妙妙现在的年龄是岁． 题型11 数轴与绝对值综合（共10小题） 67．（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 68.【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 【详解】解：（1）由题意，得，点，之间的距离． 设表示的点与表示的点重合， 因为数轴上两点，表示的数分别为，， 所以，即点到点的距离和表示的点到点的距离相等， 所以或， 因为表示的点在点的左边， 所以点在点的右边， 即不合题意，舍去，所以， 即表示的点与表示的点重合． （2）因为， 所以和两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 所以或， 故答案为或． （3）因为点在，两点之间， 所以， 所以． 因为， 所以点到点和点的距离之和等于． 因为，两点表示的数分别为，， 所以， 当点在点左侧时，如答图①， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为， 当点在点右侧时，如答图②， 则， 所以， 所以，此时点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 当在，两点之间时，点到，两点的距离之和最小，为， 因为表示的数为整数， 所以表示的数有，，，，，，，，，，共个． 故答案为；或；． 69．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 70.数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 71．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 【详解】（1）解：若A为原点，，当时，， 同理D也可为原点， 若B为原点，则，即B不可能为原点， 同理C也不可能为原点， 故可能作为出发地（数轴的原点）的是A、D； 故答案为：A、D； （2）解：， 故收工时，距出发地30米，在出发地的东面； （3）解：检修走的总路程为， 总耗油（升）， 剩余油量（升）， 收工时，在A的东面30米D处，千米， 从D到B需耗油（升）， ∵， ∴检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站． 72．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 73．综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 【详解】（1）解：A，B两点间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，，， 所以， 因为M，N两点之间的距离为7， 所以点P不在点M，N之间， 分以下两种情况讨论： 当点P在点N的右侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为4， 所以； 当点P在点M的左侧时，即时， 因为， 解得， 所以点P表示的数为， 所以． 综上所述，的值为或； （3）解：当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为0的点时，6名工作人员所走的路程和为； 当工具台设置在表示的数为1的点时，6名工作人员所走的路程和为． 综上所述，当工具台设置在表示的数为或的点的位置时，6名工人所走的路程之和最小，最小路程之和为． 74．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， ∴或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； ∴当时，， ∴此时整数所有可取的值之和为； （4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16；7． 75．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且数和数之间的距离为， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，， ∴， ∴这样的整数有、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴和能取得最小值， ∴，， ∴当最小，最大时，有最小值，最小值为； 当最大，最小时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 76．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 【详解】（1）解：①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有，共个整点， 故答案为：； ②若一根长为2025个单位长度的木棒起点在整点上，则覆盖个整点；若一根长为2025个单位长度的木棒起点不在整点上，则覆盖个整点， ∴这个木棒盖住的整点个数为或个， 故答案为：或； （2）解：③，则几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和； 故答案为：表示数和数的点的距离之和； ④，几何意义是表示数的点到表示数和数的点的距离之和， 当或时，则， 当时，则， ∴的最小值为； ，几何意义是数的点到表示数和数和表示数的点的距离之和， ∴同上由绝对值的几何意义可得，当时，其距离之和最小为， 故答案为：，； （3）解：∵小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合， ∴折痕点对应的数为， ⑤表示3的点到折痕点的距离为， ∴表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； ⑥由题意得，点到折痕点的距离为， ∵点A在点B的左侧， ∴点B所表示的数是． 题型12 有理数新定义运算与规律探究（共9小题） 【模型】题目给出一个新运算符号（如“※”）及运算法则，要求按定义计算；或给出一列数的符号、幂次规律，求某项。 【步骤】第1步　读懂新定义：严格按给出的运算规则代入，不套用四则运算的通常写法。 第2步　含括号时先算括号内，再算括号外，遵守运算顺序。 第3步　规律题先写出前几项，观察符号（负号个数奇偶）、绝对值（幂次或倍数）的变化规律。 第4步　把规律一般化后再求指定项，并回代验证。 【易错】新定义运算仍按四则运算习惯处理，未严格按定义。 ◆　代入时参数位置颠倒（如 a※b 与 b※a 不同）。 ◆　符号交替的规律判断错（第n个负号数奇偶）。 77．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； (2)W 的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 78．定义：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“分差”，例如，对于，，，因为，，，所以，，的“分差”为． (1)，，的“分差”为______； (2)调整“，，”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， ， ，，的“分差”为， 故答案为：； （2）①这三个数的位置为：，，时，根据（1）中所求“分差”为； ②这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ③这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ④这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ⑤这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ⑥这三个数的位置为：，，时， 则，，， ， ，，的“分差”为； ， 这些不同“分差”中的最大值为． 79．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）不适用， 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 80．（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∵与互素，且， ∴，或，或，或，． 81．（25-26六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 82．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 83．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 84．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 85．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中解答压轴题汇总12种题型85题 （数的整除+分数+有理数） 题型1 整除特征综合（多条件同时整除） 题型2 （最大公因数／最小公倍数）实际应用 题型3 素数与分解素因数 题型4 量率对应与单位“1”（分数应用题） 题型5 分数简便运算（运算律逆用、凑整） 题型6 工程问题（合作、中途加入离开） 题型7 分数拆分与裂项求和 题型8 有理数混合运算与简便技巧 题型9 程序流程图与有理数计算 题型10 数轴综合题 题型11 数轴与绝对值综合 题型12 有理数新定义运算与规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 整除特征综合（多条件同时整除）（共4小题） 【模型】题干给出若干数字或一个多位数的部分数位，要求组成的数同时满足能被2、3、5等数个整除特征，求符合条件的最小、最大数或某一位数字。 【步骤】第1步　逐一列出涉及到的整除特征：能被2整除→个位是偶数；能被5整除→个位是0或5能被3整除→各位数字之和是3的倍数。 第2步　先锁定限制最严的数位（通常是个位），再依据各位数字和判断能否被3整除。 第3步　求最大数：从高位到低位尽量取大数字；求最小数：从高位到低位尽量取小数字，注意最高位不能为0。 第4步　组合出候选数后回代验证，三个整除特征必须同时满足。 【易错】只满足一个特征就下结论，忽略“同时整除”的多重限制。 ◆　把“各位数字和是3的倍数”误记成“个位是3的倍数”。 ◆　最高位填0；或个位同时满足2与5时未优先取0。 1．在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案） (1)写出能被9整除的所有三位数． (2)写出能同时被2，5，3整除的所有三位数 (3)写出能被33整除的所有三位数． 2．一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”. (1)243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）； (2)若四位数是一个“精巧数”，请直接写出的值． 3．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除． (1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由； (2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）阅读下面材料，并解答问题． 材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即，则称这个三位数为“2020”数，（例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：，所以231是“2020”数．） 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：，9÷9＝1，所以108一定能被9整除． (1)阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由． (2)根据材料1和2，求所有小于400且能被9整除的“2020”数． 题型2 因数倍数实际应用（最大公因数／最小公倍数）（共9小题） 【模型】把若干数量的物体尽量等分、截成同样长的小段、分组等，求“每份最多多少”用最大公因数；求“最早再次同时发生／最少配齐”用最小公倍数。 【步骤】第1步　判断题型：等分、截段、分组求最大份量→最大公因数；求同时发生、同时回到起点、配齐→最小公倍数。 第2步　用短除法或分解素因数求两（多）数的最大公因数、最小公倍数。 第3步　最大公因数＝所有公共素因数最低次幂的乘积；最小公倍数＝所有出现素因数最高次幂的乘积。 第4步　结合情境完成最后一步（如共几段＝总数÷每段长度），并作答。 【易错】分不清该用最大公因数还是最小公倍数（口诀：等分用最大公因数，同时发生用最小公倍数）。 ◆　求最大公因数时把不公共的素因数也乘进去。 ◆　结果未约分彻底，或漏写单位。 5．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 6．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝国庆75周年，一个广场在四周等距离挂设彩旗，该广场是一个长方形，其长为200米，宽为140米，广场的四个角各挂设一面彩旗． (1)在各方案中，相邻两面彩旗之间的最大距离是多少米？ (2)至少要在广场四周挂设多少面彩旗？ 7．（24-25六年级上·上海·期中）如图是一个长方形人工湖，如果在它的四周及四角栽上风景树，每相邻两棵树之间的距离要相等． (1)在各方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？ (2)至少在湖的四周种几棵树？ 8．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， (1)若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ (2)如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 9．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 10．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 11．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）在长2千米的道路一边种树，每间距10米种一棵树（道路两端也种），由于树太密集遮挡了部分光线，所以需要移走一些树木，现计划改为每间距25米种一棵树，请问： (1)有多少棵树可保留不动？ (2)在整个植树过程中一共挖了多少个坑来种树？ 12．（23-24六年级上·上海宝山·期中）“学生运动会”快到了，六年级学生排练队列操，不论4人或5人排一行，都刚好排成整数行而无剩余． (1)这些同学至少有多少人？ (2)如果六年级学生人数介于150至190之间，那么最多有多少位同学参加了训练？ 13．（25-26六年级上·上海·期中）第八届中国国际进口博览会正在上海火热召开，为了深度报道进博会，甲、乙两家电视台对午间时段进行了调整：两家电视台计划在每天午间同时开始专题报道，甲台每报道10分钟后插播2分钟现场连线，乙台每报道12分钟后插播3分钟现场连线，当两家电视台的现场连线第一次同时结束时，午间报道结束． (1)问午间报道将在每天的什么时候结束？ (2)乙台每天现场连线的总时长比甲台多几分之几？ 题型3 素数与分解素因数（共6小题） 【模型】已知一个较大的数，求它的约数个数、奇数约数个数，或依据约数个数反推数的结构、判断是否为完全平方数。 【易错】约数个数公式中“指数＋1”漏加（直接写成 p·q·r）。 ◆　忘记1既不是素数也不是合数；1不作为素因数计入。 ◆　判断完全平方数时只看一个素因数的指数奇偶，未检查全部。 14．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 15．（25-26六年级上·上海青浦·期中）1742年6月7日哥德巴赫提出猜想：“所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．即（是大于2的偶数，、是素数）”．例：；． (1)把38写成两个素数之和的形式： （写出一种情况即可）； (2)定义：如果与是关于的关联数，那么． ①如果与是关于2的关联数，那么 ； ②如果的与1.25是关于的关联数，求的值． 16．（25-26六年级上·上海·期中）爱思考的小明在学习了《数的整除》之后，对一个合数的因数进行了如下表的研究： 发现（I） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 25 1，5，25 3 27 1，3，9，27 4 16 ___________ ___________ _____ (1)完成上表填空； (2)根据小明的研究，若一个合数分解素因数为：（为素数），则的因数的个数为___________． 发现（Ⅱ） 整数 分解素因数 所有因数 因数个数 6 1，2，3，6 4 12 1，2，3，4，6，12 6 90 1，2，3，5，6，9，10，15，18，30，45，90 12 216 1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，27，36，54，72，108，216 16 小明研究上表发现，一个合数的素因数的个数与因数个数之间存在着数量关系． (3)若一个合数分解素因数为：，（、为不同的素数），则的因数的个数为___________． 17.在学习数的整除这一章节后，对于找一个整数的因数进行了研究： 分解素因数 所有的因数 素因数 素因数个数 因数个数 4 1，2， 2×2=4 2 2 3 6 1，2，3， 2×3 2 1 4 3 1 12 1，2，3 2×2， 2×3， 2×2×3 2 2 6 3 1 27 1，3， 3×3， 3×3×3 3 1 4 50 1，2，5， 2×5， 5×5 2×5×5 2 1 6 5 2 210 210=2×3×5×7 1，2，3，5，7 2×3，2×5， 2×7，3×5，3×7， 5×7 2×3×5， 2×3×7，3×5×7， 2×3×5， 2×3×5×7 2 1 16 3 1 5 1 7 1 (1)观察表格中的第二列和第三列，小明发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解素因数，例如： ，它有 个因数，分别是 ; （且是素数），它有 个因数，分别是 ; (2)进一步观察因数的个数和素因数个数间的关系，填空： 若（其中为素数），则的因数个数为 ; 若（其中为素数，为正整数），则的因数个数为 ; 若（其中、为不同大小的素数，、正整数），则的因数个数为 ． 18．（23-24六年级上·上海杨浦·期中）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，均为正整数且），在的所有这种分解中，如果的值最小，我们就称是的“最优分解”，并规定在“最优分解”时，．例如：，因为，所以是18的“最优分解”，． (1)__________；__________． (2)若正整数小于300，且，写出正整数的所有可能值__________． (3)若正整数为小于300的三位数，那么的最大值是__________，的最小值是__________． 19.在判断一个较大的整数是否为素数时，常常使用“N法”．对于一个较大的整数， 第一步，找到一个整数，要求：且； 第二步，用小于等于这个整数的所有素数从小到大依次去除这个整数； 若能够被其中一个素数整除，则不是一个素数；反之，是一个素数． 以667为例， 第一步， ； 所以， 第二步，用2、3、5、7、11、13、17、19、23分别去除667， 得到， 所以，667不是一个素数． (1)模仿上述方法，判断323是一个素数？还是一个合数？ (2)利用上述方法，判断下列分数是否为最简分数，若不是，请进行约分：                    题型4 量率对应与单位“1”（分数应用题）（共17小题） 【模型】“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”“比一个数多／少几分之几”等，核心是找准单位“1”并建立量率对应。 【步骤】第1步　找单位“1”：一般情况下“的”字前面的量、“比”字后面的量是单位“1”。 第2步　画线段图或写出“数量÷对应分率”的关系。 第3步　已知单位“1”求部分用乘法；未知单位“1”、已知部分与对应分率求整体用除法。 第4步　涉及“多／少几分之几”时，分率记为1±几分之几再代入。 【易错】单位“1”找错，导致乘除颠倒。 ◆　把带单位的数量与不带单位的分率混淆（分率无单位）。 ◆　“多几分之几”写成1+分率却忘记分率本身，或“剩下几分之几”计算错。 20．（25-26六年级上·上海·期中）学校图书馆添置了一定数量的新书，某天中午，六年级三个班计划分别借走这批新书总和的、、． (1)请你算一算，这批新书够借吗，为什么？ (2)请你写出一个这批新书可能的数量，如果够借，求出还剩几本？如果不够借，还缺几本？ 21．（25-26六年级上·上海普陀·期中）某校六（1）班有四十余名学生，每人只能参加一个社团，其中全班学生的参加了学术类社团，全班学生的参加了体育类社团，剩下的学生参加了公益类社团． (1)六（1）班有 名学生； (2)求六（1）班参加公益类社团的学生人数． 22．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）为了庆祝抗日战争胜利80周年，乐乐所在的班级需要制作30面彩旗进行庆祝，班级共有四个小组，他们分组轮流到劳技教室进行制作，第一小组率先完成了全部彩旗的，第二小组紧接着制作了10面彩旗，第三小组制作了剩下的． (1)第二小组制作的彩旗是所有彩旗的几分之几？ (2)第四小组要制作多少面彩旗就能完成任务？ 23．（25-26六年级上·上海·期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． (1)求水果超市购进三种水果各多少千克？ (2)在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 24．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，某校为激励学生阅读，开展了“阅读之星”的评选活动，小林积极参与，他利用假期在三天内看完了一本书并书写了阅读报告．已知小林第一天看了全书的，第二天看了剩余部分的，问： (1)第三天小林看了全书的几分之几？ (2)如果小林第一天比第二天多看了25页，那么这本书共有多少页？ 25．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）六年级学生参加植树劳动，共有香樟树、杨树、柳树三种树种，每人只需植一棵树，其中全年级的学生选择了香樟树，全年级的学生选择了杨树，剩下的65人选择了柳树． (1)六年级共有多少名学生？ (2)如果该校计划明年将增加最受欢迎的树种的采购量，那么根据以上数据哪一种树种将被增加采购？说明理由． 26．（24-25六年级上·上海·期中）某校六年级（1）班有45名同学，在体育活动课中，有的同学参加了踢足球活动，有的同学参加了跳绳活动，剩余的同学都参加了打篮球活动． (1)求参加了打篮球活动的同学有多少名？ (2)求体育活动课中参加跳绳活动的同学比参加踢足球活动的同学多几分之几？ 27．（24-25六年级上·上海·期中）某种高档进口收工羊毛地毯原售价是每平方米4200元，现在价格上涨了． (1)现在售价为每平方米多少元？ (2)买进口商品还需缴纳总价的的关税，那么一块12平方的进口地毯，按现在的售价应付多少元？（精确到1元） 28．（24-25六年级上·上海青浦·期中）乐乐爸爸记录了国庆旅游期间家庭在饮食、住宿、门票、交通和购物五个方面的消费情况．其中饮食840元，住宿1260元，交通700元，且饮食占消费总额的，门票占消费总额的．请根据所给的数据，回答下列问题： (1)乐乐家这次旅游消费总额是多少元？ (2)购物占消费总额的几分之几？ 29．（24-25六年级上·上海·期中）我校开展社团拓展课程，参加美术小组有63人，参加科技小组的人数比参加美术小组人数少． (1)参加科技小组有多少人？ (2)参加美术小组的人数比科技小组的人数多几分之几？ 30．（24-25六年级上·上海·期中）李明家有一块长方形地，面积为270平方米，他用这块地的种草莓，其余种蓝莓和番茄两种作物． (1)李明家种草莓的面积是多少平方米？ (2)种植蓝莓的面积比番茄的面积少，求种植蓝莓的面积是多少平方米？ 31．（25-26六年级上·上海·期中）在阅读领航的活动中，小张计划用三天读完一本课外书籍，他第一天阅读了全书的，第二天阅读了全书的． (1)求小张第一天的阅读量是第二天的几分之几？ (2)如果这本书籍共页，那么小张第三天从第几页开始阅读？ (3)如果小张阅读了两天后还剩下页未读，那么这本书籍共有多少页？ 32．（25-26六年级上·上海青浦·期中）六年级二班全班45人每人都参加了学习小组，且只参加三个小组中的一个．已知参加作文学习小组的人数是参加数学学习小组人数的，又是全班总人数的，其他同学都参加了英语学习小组． (1)求参加作文学习小组的有多少人？ (2)求参加英语学习小组的有多少人？ (3)英语学习小组的人数比数学学习小组的人数少几分之几？ 33．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）在科技节活动中，六年级有四个小队参加“机器人搬运能量球”比赛，规定分钟以内搬运最多者获胜．比赛结果如下表所示： 小队名称 雷霆队 闪电队 旋风队 星光队 比赛成绩（个） 请你担任“赛事数据分析师”，完成下面挑战： (1)旋风队搬运的能量球是雷霆队的几分之几？ (2)雷霆队比星光队多搬运几分之几？ (3)赛会规定“只要任意一队达到第一名小队搬运量的，就能获得‘最佳潜力奖’”．目前排名第二的闪电队是否能获得此奖项？请说明理由． 34．（23-24六年级上·上海·期中）在刚刚结束的杭州亚运会上，来自亚洲的45个国家的12500余名运动员参加了40个大项，481个小项的角逐．中国代表团以201枚金牌111枚银牌71枚铜牌，总计383枚奖牌在奖牌榜上遥遥领先，张老师从奖牌榜上摘取部分数据，得到下面这个不完整的表格： 代表团 金牌数 银牌数 铜牌数 奖牌总数 日本 52 67 69 韩国 59 190 印度 28 41 还知道韩国代表团获得的金牌数是中国代表团金牌数的；另外，若中国代表团的银牌数再增加3枚，印度代表团获得的银牌数正好是中国代表团所获银牌的． (1)请根据以上提供的信息把表格补充完整 (2)日本代表团获得的金牌数占日本代表团获得的奖牌总数的几分之几？ (3)本届亚运会总共产生了481枚金牌，问：印度代表团所获的金牌数占除中国代表团外其他44个代表团所获金牌总数的几分之几？ 35．（23-24六年级上·上海虹口·期中）如图1，有一块露营营地，甲区是帐篷搭建区，乙区是人工湖区，丙区是亲水平台区．其中，丙区的面积是乙区面积的，比甲区的面积少． (1)如果丙区的面积为7000平方米，那么乙区的面积是多少平方米？ (2)甲区的面积是乙区面积的几分之几？ (3)丙区有条长为130米的道路紧靠人工湖，在道路上从A点开始到B点原来有若干个钓台，如图2，每个钓台长为2米，每两个钓台之间的间隔为4米．现考虑安全问题，计划重新改建，将每两个钓台之间的间隔改为7米．通过计算，发现原来的一部分钓台与计划改建后的钓台位置重合，可以保留不拆除，那么原来的钓台需要拆除多少个？ 36．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，某园区出入口附近设置了21个无障碍停车位，每个停车位的长度为600厘米，宽度为200厘米，每两个相邻的停车位之间有一个共享的乘客下车区．如果每个下车区的宽度比每个停车位的宽度少． (1)图中的下车区共有 个； (2)图中整个停车区域的总宽度是多少厘米？ (3)在停车区域的一侧（图中线段）从点开始到点有若干个120厘米高的标识牌，每两个标识牌之间的间隔为450厘米．现计划改建这一侧的标识牌，使得相邻两个标识牌之间的间隔改为300厘米．原来的标识牌中与计划改建后的位置重合的可以保留使用，与计划改建后的位置不符合的需要拆掉．经测算拆掉一个标识牌需要10分钟，安装一个新的标识牌需要15分钟，那么标识牌的整个拆装过程需要多少小时？ 题型5 分数简便运算（运算律逆用、凑整）（共4小题） 【模型】分数加减乘除混合式中，利用交换律、结合律、乘法分配律的逆用或“连减变减和”实现简便计算。 【步骤】第1步　先观察算式结构：是否有公共因数（逆用乘法分配律提出）、能否凑整、是否连减可合并。 第2步　带分数可拆成“整数部分＋真分数”再分别计算。 第3步　严格按运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号，同级从左到右。 第4步　分配律逆用时括号内每一项都要乘到。 【易错】乘法分配律漏乘括号内的某一项。 ◆　误以为除法有分配律（a÷(b+c)不能拆成 a÷b＋a÷c）。 ◆　带分数加减时未拆整、真分部分处理错。 37．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 38．（25-26六年级上·上海·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 39．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 40．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 题型6 工程问题（合作、中途加入离开）（共4小题） 【模型】“一项工程甲单独做需a天、乙单独做需b天，合作需几天”及中途加入／离开等变式，把工作总量视为1。 【步骤】第1步　把工作总量看作单位“1”。 第2步　求各自效率：甲的效率=1÷甲所需时间；乙的效率=1÷乙所需时间。 第3步　合作效率=甲效率＋乙效率；合作时间=1÷合作效率。 第4步　中途加入／离开类问题分段计算：先算已完成的量，再算剩余量与剩余效率对应的时间。 【易错】把“效率”写成所需时间本身（效率是1÷时间）。 ◆　合作时间误算成 (a+b)/2，而不是 1÷(1/a+1/b)。 ◆　中途加入类问题未分段，一次算完导致错误。 41．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成． (1)两人合作4天，完成的工作量占这项工作总量的几分之几？ (2)如果两人合作4天后，甲有事先行离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 42．（24-25六年级上·上海·期中）某项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成， (1)两人合作2天，完成的工作量占这项工程总量的几分之几？ (2)如果两人合作2天后，甲有事先离开，剩下的工程由乙单独做，还需要几天才能完成？ 43．（24-25六年级上·上海普陀·期中）某工程队分三个阶段修筑一条公路．第一阶段修了这条公路的，第二阶段完成了剩下工程的；第三阶段修完这条公路． (1)前两个阶段共完成整个工程的几分之几？ (2)如果第三阶段修了1400米，那么这条公路全长多少米？ 44．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某施工团队分三个阶段对学校周边一条拥堵道路完成改造．第一阶段改造了这条道路的，第二阶段完成了剩下工程的，第三阶段改造的长度是1400米． (1)前两个阶段共完成整个改造工程的几分之几？ (2)这条道路原来全长多少米？ (3)第三阶段比第二阶段少完成这条道路的几分之几？ 题型7 分数拆分与裂项求和（共10小题） 【模型】形如 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(n×(n+1)) 的求和，利用裂项 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1) 抵消中间项。 【步骤】第1步　识别分母是相邻两整数（或间隔固定两整数）的乘积。 第2步　裂项：1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)；若分母为间隔d的两个数，1/(n×(n+d))=(1/d)(1/n-1/(n+d))。 第3步　写出每一项的裂项结果，中间项前后抵消。 第4步　只保留首项与末项求和，得结果。 【易错】裂项公式漏乘系数1/d（分母两数间隔不为1时）。 ◆　中间项抵消时看漏，误以为全部保留。 ◆　末项漏写或首末两项符号处理错。 45．（24-25六年级上·上海·期中）阅读理解：；；； (1)请在理解上面计算方法的基础上填空：；； (2)利用以上所得的规律计算：． 46．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 47．（25-26六年级上·上海宝山·期中）在学习分数除法时，小海想借助“通分”来计算分数除以分数：“如果能够运用分数的基本性质把两个分数转化成同分母，那么就可以用两个分数的分子相除来计算结果了”． 下面分别是4位同学计算“”的过程，其中运用了上面小海想法的是（    ） A．；                    B．； C．；        D．． 小海的这种先将两个分数通分，再将分子相除的方法，正是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的分数除法（称之为“经分”） 请用这个方法把算式补充完整：． 刘徽在为“经分”注释时，将这种方法重新命名为“散分法”．例如下面的算式就是用“散分法”计算的． ． 根据上面的计算过程，请你写出用“散分法”计算分数除法的完整过程． ． 48．（24-25六年级上·上海·期中）思考：分子为1的分数叫做单位分数，早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ； ． 在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和，按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和，根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 49．（25-26六年级上·上海崇明·期中）求的值，可用下面的两种方法： 方法一：； 方法二：通过画图发现的值等于1减去阴影部分的面积，即． (1)请你模仿上述两种方法求的值； (2)用合理的方法求的值．（式子中的各分数的分母是前一个分数分母的2倍） 50．（24-25六年级上·上海宝山·期中）我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 51．（24-25六年级上·上海虹口·期中）观察式子：，，，，， ， (1)请观察上述式子的拆分方法，填空： ①，②； (2)请运用上述拆分方法，完成下列问题： ①计算：； ②填空：______． 52．（24-25六年级上·上海普陀·期中）数学上，定义了一个分数套分数的数学式可以用来表示有理数，我们称这个数学式为连分数或繁分数，其形如：，其中是整数，是正整数．那么，我们可以引入紧凑的符号形式来表示上述的连分数．例如：． (1)有理数表示为连分数的符号形式为：________________； (2)计算：； (3)直接写出连分数倒数的连分数的符号形式（）． 53．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）阅读下面材料，完成以下问题： ①数学家基斯顿·卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘，用“！”表示．它的意思是：一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如．正整数n的阶乘记作． （1）试计算的值为_______． ②分数裂项是将一个分数拆分成多个分数的和或差的操作．分数裂项通常用于简化运算或解决问题，特别是在分数运算中．通过裂项，可以将复杂的分数运算问题转化为简单的分数加法或减法运算，从而更容易计算和理解．例如： （2）试计算： _______． ③分数裂项是否可以和阶乘结合起来呢？我们进行如下探究得到： 如：，把拆分为两个分母含有阶乘形式的单位分数的差． （3）试模仿上面的探究将化简为两个分母含有阶乘形式的单位分数的和或差的形式． （4）继续模仿前面的探究化简：，结果中分母可含有阶乘形式的单位分数（这样的单位分数最多两个）． 54．（25-26六年级上·上海·期中）三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为单位分数．在一部记录古埃及数学的《莱因德纸草书》中，有相当的篇幅写出了“”型分数分解成两个单位分数之和的形式，如：，，，…… (1)若（），则 ___________，___________； (2)根据上述等式揭示的规律，写出用字母n（n取大于2的自然数）表示这一规律的等式： ___________； (3)如果3个正整数满足，就称a、b、c这三个数为一组“调和数”．现有两个数20，30．如果要再添加一个正整数n，使它们构成一组调和数，那么n的值可以是___________（写出所有符合条件的值）． 题型8 有理数混合运算与简便技巧（共5小题） 【模型】加减乘除乘方混合运算，或利用运算律（交换、结合、分配）实现凑整、抵消的简便计算。 【步骤】第1步　确定运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内（含去括号顺序）。 第2步　灵活运用交换律、结合律、乘法分配律凑整、抵消。 第3步　符号法则：同号相乘（除）得正，异号相乘（除）得负；负负得正。 第4步　乘方先定符号：正数的任意次幂为正；负数的偶次幂为正、奇次幂为负。 【易错】运算顺序颠倒（先加减后乘除、乘方漏算）。 ◆　混淆 -2² 与 (-2)²（前者=-4，后者=4）。 ◆　乘除按从左到右顺序出错，或多个负号连乘符号判断错。 55．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 56．（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 57．（25-26六年级上·上海·期中）简便计算： 58．（25-26六年级上·上海松江·期中）老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 59．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 题型9 程序流程图与有理数计算（共3小题） 60．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 61．（25-26六年级上·上海·期中）任意一个正整数都可以进行这样的分解：（、都是正整数，其中），当减的差最小时，规定：；当减的差最大时，规定：，例如：12都可以分解成：，那么，． (1)当时，________；________． (2)定义两种新运算，满足如下的流程图，请完成下列问题： ①当时，输出的结果是多少？ ②如果约分后为，那么当输出的结果为时，求． 62．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 题型10 数轴综合题（共4小题） 63．（24-25六年级上·上海金山·期中）综合应用： (1)如图1，已知在数轴上有一个表示数a的点M，点M在数轴上移动3个单位长度后得到点N，且点N表示的数是5，那么a的值是 ； (2)如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点T、点S分别落在数轴上的A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点T移动到点B时，点S所对应的数为24；当点S移动到点A时，点T所对应的数为6（单位：）．利用所学知识可以求出点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才8岁；你若是我现在这么大，我就20岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图3仿照第（2）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 64．（25-26六年级上·上海普陀·期中）如图1，数轴（原点未画出）上的点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．已知是最小的素数，是的相反数，是合数中最小的奇数． (1)写出和的值： ， ； (2)如图2，为数轴上一点，且在点的右侧，将射线绕点旋转直至与射线重合，此时点A、B落在点处，当点与点重合时，点所对应的数为 ，点所对应的数为 ； (3)点M、N分别从点B、C同时出发，向右移动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，当点追上点时，运动停止． ①求点从出发到追上点所需时间； ②求运动停止时，点到原点的距离． 65．（25-26六年级上·上海·期中）阅读下面的材料并解答问题： 在数轴上，点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，点在点左侧，点在点左侧，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即，若，是最小的正整数，点到原点的距离是5．则： (1)_____． (2)若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数_____表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是_____． (3)点、、开始在数轴上运动，点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出这个值． 66．（24-25七年级上·河北保定·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 题型11 数轴与绝对值综合（共10小题） 67．（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 68.【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示与的差的绝对值，实际上也可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似的，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．一般地，，两点在数轴上表示有理数，，那么，两点之间的距离表示为． 【解决问题】如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，，数轴上另一个点表示的数为，试探索： （1）点，之间的距离______；折叠数轴，使得点与点重合，则表示的点与表示______的点重合； （2）若，则______； 【联系拓广】 （3）若点在，两点之间，则______；若，则点表示的数为______；由此可得：点到，两点的距离之和最小时，若点表示的数为整数，则这样的点有______个． 69．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 70.数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 71．（25-26六年级上·上海·期中）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负．我们可以用如图数轴来表示，以向东为正方向，小组的出发地看作原点．、、、是数轴上四个整数点，且线段、、的长度都是10，记作：，表示两地之间的距离都是10千米．而点在与之间，点在与之间，点、分别在数轴上对应数、，． (1)、、、四个点中，可能作为出发地（数轴的原点）的是______． (2)某天检修完毕时，行走记录如下（单位：千米）： ．收工时，距出发地有多远？在出发地的东面还是西面？ (3)在（2）的条件下，若以为出发点，出发时油箱剩余油量40升，点为加油站，检修车每千米耗油0.5升，收工后发现油量不足，立即赶往处加油，问：检修车能在油量耗尽前安全赶到加油站吗？ 72．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 73．综合与探究 问题情境：如图，数轴上有四点A，B，C，D，它们表示的数分别是，6，1， 易知点A，B间的距离可以表示为，点A，D间的距离可以表示为，点B，C间的距离可以表示为 (1)【数学思考】若A，B两点在数轴上表示的数分别是和1，A，B两点间的距离可以表示为 ． (2)【深入探究】 如图，若点M，N在数轴上表示的数分别为，3，点P在数轴上表示的数为x，x为整数且满足条件，求的值． (3)如图，某工厂流水线（点C表示的数为，点D表示的数为）上依次排列的6个工作台（包括点C，）．每个工作台只有一名工人，现要在流水线上设置一个工具台方便工人拿取工具，工具台表示的数为整数，假如设置工具台的位置刚好使这6名工人到工具台的路程之和最小，请直接写出这个最小路程之和． 74．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 75．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 76．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 小智在纸面上画出了一条数轴，对其作出了以下探究： (1)探究一：数轴上表示整数的点称为整点 ①在数轴上，表示和5.9的两个点之间有___________个整点． ②若小智在数轴上放置了一根长为2025个单位长度的木棒，那么这个木棒盖住的整点个数为___________个． (2)探究二：小智在学习绝对值的几何意义时，注意到，其几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离．更一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． ③的几何意义是表示数的点到______________． ④小智在数轴上任取一个点表示有理数，当这个点在数轴上移动时，的最小值为_________；的最小值为_______________； (3)探究三：小智将纸面折叠，使得数轴上表示的点与表示11的点重合． ⑤此时，表示3的点与表示_______________的点重合 ⑥若折叠后数轴上的两点也重合，且两点之间的距离为4040（点在点的左侧），则点所表示的数是多少？ 题型12 有理数新定义运算与规律探究（共9小题） 【模型】题目给出一个新运算符号（如“※”）及运算法则，要求按定义计算；或给出一列数的符号、幂次规律，求某项。 【步骤】第1步　读懂新定义：严格按给出的运算规则代入，不套用四则运算的通常写法。 第2步　含括号时先算括号内，再算括号外，遵守运算顺序。 第3步　规律题先写出前几项，观察符号（负号个数奇偶）、绝对值（幂次或倍数）的变化规律。 第4步　把规律一般化后再求指定项，并回代验证。 【易错】新定义运算仍按四则运算习惯处理，未严格按定义。 ◆　代入时参数位置颠倒（如 a※b 与 b※a 不同）。 ◆　符号交替的规律判断错（第n个负号数奇偶）。 77．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 78．定义：对于确定位置的三个数：，，，计算，，，将这三个数的最小值称为，，的“分差”，例如，对于，，，因为，，，所以，，的“分差”为． (1)，，的“分差”为______； (2)调整“，，”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值． 79．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 80．（25-26六年级上·上海·期中）我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的计算方式为，例如，根据上述阅读材料回答下列问题： (1)计算：________； (2)如果，求的值； (3)如果，其中与互为倒数，与互素，且，求与的值． 81．（25-26六年级上·上海·期中）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 82．材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 83．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 84．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  85．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $