期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+5压轴）-2026-2027学年六年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+5压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、有理数的概念 易错题型二、数轴上两点之间的距离 易错题型三、绝对值非负性 易错题型四、有理数大小比较 易错题型五、有理数幂的概念理解 易错题型六、用字母表示数 易错题型七、程序流程图与有理数计算 易错题型八、有理数的加减混合运算 易错题型九、有理数乘除混合运算 易错题型十、合并同类项 易错题型十一、去括号 易错题型十二、求代数式的值 易错题型十三、含乘方的有理数混合运算 易错题型十四、有理数四则混合运算 易错题型十五、整式的加减中的化简求值 压轴题型一、用代数式表示数、图形的规律 压轴题型二、绝对值的几何意义综合应用 压轴题型三、乘方的应用 压轴题型四、数轴上点的平移（动点问题） 压轴题型五、有理数四则混合运算的实际应用 易错题型一、有理数的概念 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据整数和分数统称有理数，无限循环小数属于有理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是无限循环小数，可化为分数，属于有理数； 则有理数共有2个． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了有理数，根据有理数的分类和性质逐项分析即可； 【详解】解：最大的负整数为，最小的自然数为． 故答案为 3．（25-26六年级上·上海普陀·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 易错题型二、数轴上两点之间的距离 4．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ∴与原点距离最近的是． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期末）在数轴上，点，分别表示和，则线段的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握：数轴上两点之间的距离等于它们的坐标之差的绝对值．根据点，所表示的数可得，即可得出线段的长度． 【详解】解：点表示，点表示， ， 故答案为：． 6．（26-27六年级上·上海宝山·阶段检测）已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)6 (2)2或10 【分析】（1）数轴上两点的距离等于两点所对应数的差的绝对值，若两点分别对应数a、b，则距离为． （2）先计算动点P运动的总路程，然后分情况讨论点P的运动方向，运动方向分为向左和向右两种，分别计算对应P点对应的数，再计算与点A的距离． 【详解】（1）解：， 答：A，B两点之间的距离是6个单位长度． （2）点P运动路程：， 当点P向右运动时，，点P表示的数是4， 此时点P与点A的距离是， 当点P向左运动时，，点P表示的数是， 此时点P与点A的距离是， 综上，点P与点A的距离是2或10个单位长度． 易错题型三、绝对值非负性 7．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，利用绝对值的非负性质即可完成解答． 【详解】解：A．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； B．若，则，因此不一定比0大．故本选项不合题意； C．当x为有理数时，，因此不一定比0大．故本选项不合题意； D．由可得，因此一定比0大．故本选项符合题意． 故选：D． 8．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）若有最大值，这个最大值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的非负性得出的最小值是0，从而得出式子的最大值． 【详解】解： ， 的最小值是0． 的最大值是3． 故答案为：3． 9．（25-26六年级上·上海嘉定·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 易错题型四、有理数大小比较 10．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 11．（26-27六年级上·上海松江·阶段检测）比较大小：_______.（填“”或“”） 【答案】 【分析】两个负数比较大小，先比较绝对值的大小，绝对值大的负数更小，据此判断即可. 【详解】解：先计算两个负数的绝对值，，， ∵， ∴根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ∴. 12．（25-26六年级上·上海静安·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可； （2）根据零大于负数即可求解； （3）利用两个负数比较大小的法则比较即可． （4）利用两个负数比较大小的法则比较即可． 【详解】（1）解： （2） （3）， ∴； （4）∵， ∴． 易错题型五、有理数幂的概念理解 13．（25-26六年级上·上海崇明·阶段检测）表示的意义是 （    ） A．个相乘 B．乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义．熟知底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，幂表示相同因数的积是解题的关键．根据指数运算的定义， 表示个相乘即可解答． 【详解】解：表示5个相乘． 故选：A． 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）一般地，数学上把记作________ 【答案】 【分析】本题考查乘方的相关概念，根据乘方的意义解答即可． 【详解】解： 一般地，数学上把记作， 故答案为： ． 15．（25-26六年级上·上海宝山单元复习）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【答案】(1) (2) (3)； (4)读作a的二次方；读作a的三次方． 【分析】本题主要查了有理数的乘方： （1）根据正方形的面积公式解答即可； （2）根据正方形的体积公式解答即可； （3）利用乘方的形式书写即可； （4）根据乘方读法解答即可． 【详解】（1）解：边长为a的正方形的面积为； 故答案为： （2）解：棱长为a的正方体的体积为； 故答案为： （3）解：这两个过程的简单的写法分别为；； （4）解：读作a的二次方；读作a的三次方． 易错题型六、用字母表示数 16．（25-26六年级上·上海金山·阶段练习）（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 17．（25-26六年级上·上海长宁·阶段练习）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是_______________ 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 18．（26-27六年级上·上海普陀·课堂例题）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表 每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 【答案】 解：每分打字个数和所需时间成反比例关系． 因为（一定），乘积一定， 故每分打字个数和所需时间成反比例关系． 【分析】本题考查正比和反比．两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系．据此解答． 【详解】略 易错题型七、程序流程图与有理数计算 19．（25-26六年级上·上海虹口·期中）根据流程图中的程序，当输入x的值为-2时，输出的值为（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握根据条件选择对应代数式计算是解题的关键． 判断输入的与的大小关系，选择对应的代数式进行计算． 【详解】解： ， ， 故选：A． 20．（25-26六年级上·上海长宁·课后作业）根据如图所示的计算程序，若输入的值，则输出的值y为_______． 【答案】 【分析】本题考查了流程图与代数式的计算，正确理解流程图，根据题目条件，选对数学表达式是解题的关键． 按照运算流程计算即可； 【详解】解：当时， ∵x为负数， ∴，故输出的值为， 故答案为：． 21．（26-27六年级上·上海松江·阶段检测）在数值转换机示意图的方框中，填入转换步骤． 【答案】 转换步骤为： 【分析】本题考查的是列代数式，理解先算什么，后算什么是解题关键．根据流程图，结合有理数运算法则分析即可． 【详解】解：根据数值转换机示意图可知， 输出，应先算括号内，再算与的乘积； 输出，应先算括号内，再算平方，然后算与2的乘积，最后计算． 易错题型八、有理数的加减混合运算 22．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）将写成省略括号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 23．（25-26六年级上·上海长宁·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】 解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 【详解】略 24．（26-27六年级上·上海嘉定·阶段检测）现有下面几个数：，6，0，，4． (1)这几个数中最小的是________； (2)计算这几个数的和； (3)拿走一个数，使得剩下的数的和为正数，直接写出拿走的这个数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：这几个数的大小关系为， 所以这几个数中最小的是． （2）解： ． （3）解：拿走，则剩下的数的和为，不是正数； 拿走6，则剩下的数的和为，是负数； 拿走0，则剩下的数的和为，是负数； 拿走，则剩下的数的和为，是正数； 拿走4，则剩下的数的和为，是负数； 综上，拿走的这个数为． 易错题型九、有理数乘除混合运算 25．（25-26六年级上·上海金山·阶段检测）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．根据有理数乘除运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意． 故选：C． 26．（24-25六年级上·上海宝山·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 【答案】 【分析】题主要考查了九宫格和有理数的运算，求出每行、每列、每条斜对角线上的个数和为是关键．设左下角的数字为，右下角的数字为，先求出每行、每列、每条斜对角线上的3个数和为-3，再根据和不变依次求出、、即可． 【详解】解：如图，设左下角的数字为，右下角的数字为， 由条件可知每行、每列、每条斜对角线上的个数和， ， ， ， 故答案为：． 27．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 （7）解：原式 （8）解：原式 易错题型十、合并同类项 28．（2026七年级上·全国·专题练习）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对一道得3分，答错得1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则用式子表示他的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式以及整式的加减，根据答对题目的得分加答错的题的得分，列式可得结论． 【详解】解：由题意可得：他的成绩是：． 故选：B． 29．（2026·上海长宁·一模）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 30．（26-27六年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】找出原式中的同类项，分别合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 易错题型十一、去括号 31．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项去括号得，，变形正确，不符合题意； B选项去括号得，，变形正确，不符合题意； C选项去括号得，，变形错误，符合题意； D选项去括号得，，变形正确，不符合题意． 32．（24-25六年级上·上海普陀·课后作业）去括号： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则，去括号法则为“括号前面是正号的，去掉括号后，括号里各项都不变号；括号前面是负号的，去掉括号后，括号里各项都变号．”据此逐一解答即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 33．（25-26六年级上·山东泰安·期末）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项即可； （4）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错题型十二、求代数式的值 34．（26-27六年级上·上海闵行·阶段检测）已知 、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，则 的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值意义进行解答即可． 【详解】解：∵、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵的绝对值是， ∴或， 当时，； 当时，． 35．（26-27六年级上·上海普陀·阶段检测）已知a、b互为相反数， m的绝对值是3，则的值为_______________． 【答案】 或 【分析】根据相反数性质得，根据绝对值性质得，对原式提取公因式后代入计算，分情况求值即可． 【详解】解：∵ 、互为相反数， ∴ ， ∵ 的绝对值是， ∴ ， 将原式变形得 ， 代入得， 原式， 当时，原式. 当时，原式. 因此原式的值为或. 36．（25-26六年级上·上海长宁·期中）下面题目是数学教材的一道练习题目内容． 代数式：的值为则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有 所以代数式的值为 【方法运用】 (1)若，则______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的求值，利用整体代入的思想求解是解决本题的关键． （1）求出，再利用整体代入法求解即可； （2）根据题意求出的值，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：的值为15， ∴， ， 易错题型十三、含乘方的有理数混合运算 37．（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如二进制数字10011可以写为十进制数字19，因为，则二进制数字101101可以写为十进制数字的是（   ） A．34 B．44 C．45 D．53 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，进制转换，将二进制数字101101转换为十进制，需要计算每一位与2的幂次的乘积之和． 【详解】解：∵二进制101101从右向左各位的权重分别为，，，，，， ∴二进制数字101101可以写为十进制数字： ． 故选：C． 38．（25-26六年级上·上海静安·期末）将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可，如，则十进制数66转化为二进制数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解进制之间的转化规则． 将十进制数66转化为二进制数，需将其表示为2的幂次的和，并依次写出系数1或0即可． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（24-25六年级上·上海松江·期中）计算: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先化简符号再计算即可； （2）从左向右依次计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先计算绝对值和乘方，再算乘除，最后算加减即可； （5）先算乘除，再算加减即可； （6）利用加法交换律，将正数和负数分别合并计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 易错题型十四、有理数四则混合运算 40．（25-26六年级上·上海宝山·期中）小影在计算时，错算成了，所得结果比正确结果（    ） A．多 B．少 C．多 D．少 【答案】A 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，通过计算错误结果与正确结果的差值，判断多少． 【详解】解：设方框中的数为 ， 正确结果： ；错误结果： ； 差值：； 故选：A． 41．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）计算：①______；②=______；③=______；④______；⑤=______；⑥ ______． 【答案】 0 1 1.5 0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，根据有理数运算法则和运算顺序，相反数、减法转化为加法、除法优先等原则进行计算即可． 【详解】解；①； ② ； ③ ； ④； ⑤ ； ⑥ ． 故答案为：，0，1，，1.5，0． 42．（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 易错题型十五、整式的加减中的化简求值 43．（25-26六年级上·上海闵行·期末）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题利用整体代入法求值，先将所求代数式提取公因式变形，再将已知等式整体代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：A． 44．（25-26七年级上·天津河西·期末）若，则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查整式加减运算的化简求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；先化简代数式，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式； 故答案为：9． 45．（26-27六年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，26 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 压轴题型一、用代数式表示数、图形的规律 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【答案】 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 【分析】根据题意可得露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，据此列式求解即可． 【详解】解：①4个正方体的立体包含一个顶面和4组侧面，也就是（个）面； ②先从个面中减去顶面：（个），再根据一个正方体有4个侧面，用除法得出正方体的个数：（个）； ③露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，顶面数是1，当小正方体的个数为时，侧面数是小正方体个数的倍即，此时露在外面的面数为． 2．（2026六年级上·上海宝山·模拟预测）有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ 【答案】(1)操作100次后其和为520 (2)不可能，见解析 (3) 【分析】（1），根据“对于一个排列，操作一次后，其和比原来的和增加尾项与首项的差”可得答案； （2）,根据（1）中的规律列出方程，求出解判断即可； （3），根据规律求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：初始和为，每次操作增加的数之和为， 则每次操作的总和为5， 所以操作100次后其和为； （2）解：不可能， 设第x次操作，根据题意，得 ， 解得无整数解； （3）解：设操作n次后，第二项为， 第一次操作后，新数串为3，，即，所以； 第二次操作后，新数串为，即，所以； 则 所以． 3．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察第①行数字的变化规律，找到第项的表达式，把代入算出结果； （2）对比①②两行相同位置的数，找到数量关系，写出第项的表达式； （3）对比①③两行相同位置的数，找到倍数关系，分别求出三行的第个数，再相加． 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察第一行等式，可得答案； （2）仿照第二行等式的运算结合（1）中等式计算即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．    (1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 … 请完成表格并直接写出S与x之间的关系式； (2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点． ①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点； ②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为：　 　． 【答案】(1)，， (2)①如图，分别画出两个格点多边形⑦⑧，其内部都只有两个格点．    ② 【分析】（1）算出②的面积，再探索规律，求出④的格点个数之和； （2）先画出两个图形，再求出四个图形的面积，最后探索面积和的关系； 【详解】（1）解：图②的面积为， 根据2，，3，对应4，5，6，可知和的关系为，当时，； 故答案为：，8，． （2）①略 ②图⑤中，，图⑥中，，图⑦中，，图⑧中，，通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即， 故答案为：． 【点睛】根据题意得出一般性的规律，然后根据规律进行计算求解，找出规律是解题的关键． 压轴题型二、绝对值的几何意义综合应用 1．（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或； (2)当时，的值有最小值，最小值为2； (3)最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义直接计算即可； （2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论； （3）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 故答案为：，或； （2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和， 当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：； （3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和， 当时，式子取得最小值． 取， 此时， ． 即最小值为． 2．（26-27六年级上·上海奉贤·阶段检测）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1) _____； (2)同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； (3)类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2)1 (3)8 (4)有最小值，最小值为3 【分析】（1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和10所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到3和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解： （2）解：∵有理数x 所对应的点到和10所对应的两点间的距离相等， ∴． （3）解：， 结合数轴知，当时，， ∵x是整数， ∴x的值为，，，，，，1，2， ∴这样的整数有8个． （4）解：表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 3．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）阅读下面材料： 对于排好顺序的个数：，称为数列，其中为整数且．定义．例如，若数列，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)或或 (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据的计算方法求解； （2）由绝对值的几何意义得到和在3和7之间，且，然后分情况求解即可； （3）根据绝对值的非负性即可得到最小值；根据题意得到，然后利用，为非负数求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵， ∴由绝对值的几何意义得，表示数轴上3到的距离加上到的距离，加上到7的距离， ∵3到7的距离为4，， ∴和在3和7之间，且， ∴， ∵，为4个互不相等的整数， ∴和值分别可以为4，5，6 ∴满足条件的数列为或或； （3）解：∵，， ∴当时，取得最小值0； ∵数列中5个数均为非负数， ∴对任意非负数a，b，有，当且仅当时等号成立， ∴，，，， ∴ ∵，为非负数， ∴， ∴， ∴ ∴的最大值为50． 4．（25-26六年级上·上海长宁·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解题意，熟练掌握绝对值的几何意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为，由此即可得解； （3）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即； （2）解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为． 在数轴上与表示数的点的距离为的点对应的数为，，即或； （3）解：，故的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和， 故当在和之间（包括端点）时，距离和最小，最小值为， 即的最小值为． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 【答案】（1） （2）①数轴上表示原点O的位置如下： ②数轴上表示原点O的位置如下： （3）线段的长度是定值，定值为6 【分析】本题考查了数轴上反演点的定义及应用，解题的关键是正确理解反演点的旋转中心与中点关系，结合定义推导点的坐标表达式． （1）先求数轴单位长度，计算刻度尺对应数轴上的数； （2）根据数的数量关系确定原点位置； （3）利用反演点的中点定义表示、，计算的长度． 【详解】（1）解：数轴单位长度为， 刻度尺1与原点（刻度的距离为，对应数轴上的数为． 故答案为：． （2）解：①从图中可知，a与b相距2个单位长度，且，所以原点O在a与b之间，且为三等分点； ②结合图中的格点位置，及长度关系式，在图3中标出原点． （3）解：由反演点定义：，得（是、的中点）；，是找中心使转到，该中心为，故； 则． 因、距离为6，故． 答：线段的长度是定值，定值为6． 压轴题型三、乘方的应用 1．（26-27六年级上·上海普陀·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【答案】(1)第8天浮萍覆盖的面积为，结果是； (2)第10天浮萍覆盖的面积为； (3)第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【分析】（1）先总结出第n天浮萍的覆盖面积是，把代入规律计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据乘方的意义作答即可． 【详解】（1）解：第1天面积是， 第2天是， 第3天是， ∴第n天浮萍的覆盖面积是， 当时，； （2）解：∵面积为，， ∴， 即， ∴； （3）解：∵浮萍每天覆盖面积是前一天的2倍，第20天长满池塘， ∴第20天的面积第19天的面积， 即第19天的面积就是第20天满池面积的一半， ∴第9天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 3．（25-26六年级上·上海静安·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 【答案】（1），；（2）C；（3），；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）A、，即任何非零数的圈次方都等于，故该选项正确； B、，故该选项正确； C、，， ，故该选项错误； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项正确， 故选：C； （3）， ， 故答案为：，； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为 故答案为：． 压轴题型四、数轴上点的平移（动点问题） 1．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 2．（25-26六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】(1)21，7 (2)11，18 (3)如下图∶点表示孙子现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 则孙子与奶奶的年龄差可以看作木棒，奶奶像孙子那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为；孙子像奶奶那么大时看作当点移动到处时，点与点重合，点所对应的数为； ∴奶奶比孙子大（岁）， ∵，， ∴孙子现在岁，奶奶现在岁． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式可求，再根据题意可知，进而可求出的值； （2）由（1）可得出，再根据数轴上两点之间的距离公式即可得出答案； （3）根据方法画出图形求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为， ∴， ∵， ∴， 即： （2）解：由（1）可得：点所表示的数是：； 点所表示的数是：； （3）略 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 压轴题型五、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某出租车司机一天下午的营运全是在东西走向的世纪大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午的行车里程（单位：千米）依次记录如下： ，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在出发点的什么方向？距出发点多少千米？ (2)若出租车每行驶千米耗油升，出发时油箱中有升油，问他这天下午中途是否需要加油？请说明理由． 【答案】(1)出租车在出发点东边，距出发点千米 (2)不需要；理由如下： 总路程为 （千米）， 总耗油量为（升）． ∵， ∴中途不需要加油 【详解】（1）． 答：出租车在出发点东边，距出发点千米． （2）略 2．（26-27七年级上·湖南·阶段练习）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某儿童玩具厂计划七天共生产1400套玩具火车，平均每天生产200套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +6 3 -5 +13 -10 +19 -12 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______套； (2)七天共生产玩具火车_______套; (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖25元，少生产部分每套扣16元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 这一周该厂支给工人的工资总额是元. 【分析】（1）从表格增减量中找最大值与最小值，计算差值； （2）计算七天增减量的总和，与计划总产量相加得实际总产量； （3）分别计算基础工资、超产奖金、减产扣款，求和得到工资总额． 【详解】（1）解：由表格得，增减量最大值为，最小值为 产量差为（套）； （2）解：七天增减量总和为 （套） 实际总产量为（套）； （3）解：一周超产总套数为（套） 一周减产总套数为（套） 基础工资为（元） 超产奖金为（元） 减产扣款为（元） 工资总额为（元） 答：这一周该厂支给工人的工资总额是元． 4．（26-27七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行不同科目测试．分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 历史 相对分数 ________ 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表： (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为________分．最低分为________分； (3)求该产品在本次测试中所有科目的总分． 【答案】(1) (2)80；35 (3)287分 【分析】（1）数学测试分数减去基准分即可； （2）相对分数最大的对应最高分，最小的对应最低分，据此求解即可； （3）基准总分加上所有学科的相对分数之和即可． 【详解】（1）解：， 则数学的相对分数为； （2）解：∵， ∴该产品所得最高分为（分）； 最低分为（分）； （3）解：（分）， （分）， 答：该产品在本次测试中全科目的总分是287分． 5．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康情况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视，一种少年儿童的标准体重（单位：kg）的计算方式为：标准体重＝（年龄×7-5）÷2．下表是七年级某小组6位12岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，低于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 m (1)如果4号同学的实际体重为，请通过计算判断4号同学的体重情况，并求出m的值； (2)在（1）的条件下，超出标准体重的同学有______位，______号同学的体重最接近标准体重； (3)要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑______，这6位同学体重相差最大两名同学的体重差是______． 【答案】(1)4号同学体重低于标准体重， (2)2，3 (3)偏离标准体重的幅度（绝对值）， 【分析】（1）先用公式算出12岁标准体重，实际体重减去标准体重得到，负数代表低于标准体重，据此解答即可； （2）大于0就是超出标准；比较各数绝对值，绝对值越小越接近标准体重，据此解答即可； （3）正负只看方向，绝对值看偏离大小；最大体重差=最大偏差−最小偏差，据此解答即可． 【详解】（1）解：先求12岁标准体重： 实际体重， 4号同学体重低于标准体重， ． （2）解：6人数据： 正数为超出标准：，共2位． ∵ , ∴绝对值越小越接近标准：最小，3号同学最接近标准体重． （3）解：除正负，还要考虑偏离标准体重的幅度（绝对值）， 相差最大=最大差值−最小差值 ． $期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+5压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、有理数的概念 易错题型二、数轴上两点之间的距离 易错题型三、绝对值非负性 易错题型四、有理数大小比较 易错题型五、有理数幂的概念理解 易错题型六、用字母表示数 易错题型七、程序流程图与有理数计算 易错题型八、有理数的加减混合运算 易错题型九、有理数乘除混合运算 易错题型十、合并同类项 易错题型十一、去括号 易错题型十二、求代数式的值 易错题型十三、含乘方的有理数混合运算 易错题型十四、有理数四则混合运算 易错题型十五、整式的加减中的化简求值 压轴题型一、用代数式表示数、图形的规律 压轴题型二、绝对值的几何意义综合应用 压轴题型三、乘方的应用 压轴题型四、数轴上点的平移（动点问题） 压轴题型五、有理数四则混合运算的实际应用 易错题型一、有理数的概念 1．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）在数中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）最大的负整数是________；最小的自然数是_______． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 易错题型二、数轴上两点之间的距离 4．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期末）在数轴上，点，分别表示和，则线段的长度是______． 6．（26-27六年级上·上海宝山·阶段检测）已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 易错题型三、绝对值非负性 7．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）如果是有理数，那么下列各式中一定比0大的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）若有最大值，这个最大值是______． 9．（25-26六年级上·上海嘉定·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 易错题型四、有理数大小比较 10．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27六年级上·上海松江·阶段检测）比较大小：_______.（填“”或“”） 12．（25-26六年级上·上海静安·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： (1)3和； (2)0和； (3)和； (4)和． 易错题型五、有理数幂的概念理解 13．（25-26六年级上·上海崇明·阶段检测）表示的意义是 （    ） A．个相乘 B．乘 C．个相乘 D．个相加 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）一般地，数学上把记作________ 15．（25-26六年级上·上海宝山单元复习）相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋．有一天，他想要重赏国际象棋的发明者．发明者说∶“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以．在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了．”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了．然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性． 提问∶你知道是为什么吗？ 【思考1】 (1)边长为a的正方形的面积为___________ (2)棱长为a的正方体的体积为___________ (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 易错题型六、用字母表示数 16．（25-26六年级上·上海金山·阶段练习）（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26六年级上·上海长宁·阶段练习）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是_______________ 18．（26-27六年级上·上海普陀·课堂例题）打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表 每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 易错题型七、程序流程图与有理数计算 19．（25-26六年级上·上海虹口·期中）根据流程图中的程序，当输入x的值为-2时，输出的值为（） A．4 B．6 C．8 D．10 20．（25-26六年级上·上海长宁·课后作业）根据如图所示的计算程序，若输入的值，则输出的值y为_______． 21．（26-27六年级上·上海松江·阶段检测）在数值转换机示意图的方框中，填入转换步骤． 易错题型八、有理数的加减混合运算 22．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）将写成省略括号的和的形式是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26六年级上·上海长宁·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 24．（26-27六年级上·上海嘉定·阶段检测）现有下面几个数：，6，0，，4． (1)这几个数中最小的是________； (2)计算这几个数的和； (3)拿走一个数，使得剩下的数的和为正数，直接写出拿走的这个数． 易错题型九、有理数乘除混合运算 25．（25-26六年级上·上海金山·阶段检测）下列算式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25六年级上·上海宝山·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 27．（26-27六年级上·上海杨浦·阶段检测）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 易错题型十、合并同类项 28．（2026七年级上·全国·专题练习）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对一道得3分，答错得1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则用式子表示他的成绩为（    ） A． B． C． D． 29．（2026·上海长宁·一模）计算：______． 30．（26-27六年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 易错题型十一、去括号 31．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25六年级上·上海普陀·课后作业）去括号： （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 33．（25-26六年级上·山东泰安·期末）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型十二、求代数式的值 34．（26-27六年级上·上海闵行·阶段检测）已知 、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是，则 的值是（     ） A． B． C．或 D．或 35．（26-27六年级上·上海普陀·阶段检测）已知a、b互为相反数， m的绝对值是3，则的值为_______________． 36．（25-26六年级上·上海长宁·期中）下面题目是数学教材的一道练习题目内容． 代数式：的值为则代数式的值为_____． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有 所以代数式的值为 【方法运用】 (1)若，则______． (2)若代数式的值为15，求代数式的值． 易错题型十三、含乘方的有理数混合运算 37．（25-26六年级上·上海长宁·期末）已知，计算机使用的是二进制计算法，是逢2进1，如二进制数字10011可以写为十进制数字19，因为，则二进制数字101101可以写为十进制数字的是（   ） A．34 B．44 C．45 D．53 38．（25-26六年级上·上海静安·期末）将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可，如，则十进制数66转化为二进制数为_____． 39．（24-25六年级上·上海松江·期中）计算: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 易错题型十四、有理数四则混合运算 40．（25-26六年级上·上海宝山·期中）小影在计算时，错算成了，所得结果比正确结果（    ） A．多 B．少 C．多 D．少 41．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）计算：①______；②=______；③=______；④______；⑤=______；⑥ ______． 42．（25-26六年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 易错题型十五、整式的加减中的化简求值 43．（25-26六年级上·上海闵行·期末）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 44．（25-26七年级上·天津河西·期末）若，则的值为________． 45．（26-27六年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中，． 压轴题型一、用代数式表示数、图形的规律 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整． 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 … … 2．（2026六年级上·上海宝山·模拟预测）有依次排列的三个数3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8， 这称为第一次操作；做第二次同样的操作也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8；继续依次操作下去，问： (1)从数串 3，9，8 开始，操作一百次后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ (2)能否使操作后所产生的新数串的所有数之和是 2004，如果可能，是第几次操作？如果不可能，请说明理由． (3)第 n次操作后产生的新数串的第2个数是多少？ 3．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 5．（25-26六年级上·上海闵行·期中）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x．    (1)图中①﹣④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表： 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 … 请完成表格并直接写出S与x之间的关系式； (2)如图⑤，图⑥的格点多边形内部都只有2个格点． ①请你仿照图⑤，图⑥，在图⑦，图⑧的位置再画出两个不同的格点多边形，使这两个多边形内部都有且只有2个格点； ②结合图⑤﹣⑧的格点多边形，直接猜想此时所画的各多边形的面积S与它各边上格点的个数之和x之间的关系式为：　 　． 压轴题型二、绝对值的几何意义综合应用 1．（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 2．（26-27六年级上·上海奉贤·阶段检测）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1) _____； (2)同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； (3)类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 3．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）阅读下面材料： 对于排好顺序的个数：，称为数列，其中为整数且．定义．例如，若数列，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且，求的最大值和最小值． 4．（25-26六年级上·上海长宁·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 5．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）【知识解读】数轴是数学学习中的一个重要工具．用数轴不只是可以将任何有理数在数轴上用点加以表示，还可以利用其中蕴含的数形结合思想解决很多较复杂问题． 【应用1：数与数的转化】（1）如图，小丽借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度的和11对齐，则刻度尺上的1对应数轴上的点A表示的有理数为 ； 【应用2：数与数量关系的刻画】（2）在下面的网格中，表示数，的点均在格点上，请按要求画图． ①已知，请在图2中的数轴上标出原点的位置； ②已知表示数的点也在格点上，请在图3中的数轴上表述原点的位置； 【应用3：数学变换的演示】（3）如图4，已知点，，将点绕着点旋转，得到点，我们称点是点关于点的反演点，记作，亦可记作； 将点、分别绕着同一点旋转，使点和点重合，此时点所对应的点用表示，则称点是点关于线段的反演点，记作，亦可记作 在数轴上，若已知点表示的数为，点与点的距离为6，点是数轴上一动点，且，，则在点的运动过程中，线段的长度是否为定值？如果是，直接写出这个定值；如果不是，请求出它的范围． 压轴题型三、乘方的应用 1．（26-27六年级上·上海普陀·阶段检测）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 2．（25-26七年级·全国·暑假作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 3．（25-26六年级上·上海静安·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈次方”； 一般地，把（，为大于等于的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：__________；__________； （2）关于除方，下列说法错误的是__________． A．任何非零数的圈次方都等于    B．对于任何大于等于的整数， C．                  D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：__________，__________； （4）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为__________． 压轴题型四、数轴上点的平移（动点问题） 1．（25-26六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 2．（25-26六年级上·上海闵行·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为25，当点N移动到A处时，点M与点C重合，此时点M对应的数为4． (1)由此可得， ，a的值为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 【拓展应用】 (3)借助上述方法解决下列问题： 孙子问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你才2岁；你若是我现在这么大，我已经是128岁的老寿星了．”请你画出示意图，求出孙子和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 5．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 压轴题型五、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）某出租车司机一天下午的营运全是在东西走向的世纪大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，那么他这天下午的行车里程（单位：千米）依次记录如下： ，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在出发点的什么方向？距出发点多少千米？ (2)若出租车每行驶千米耗油升，出发时油箱中有升油，问他这天下午中途是否需要加油？请说明理由． 2．（26-27七年级上·湖南·阶段练习）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 3．（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某儿童玩具厂计划七天共生产1400套玩具火车，平均每天生产200套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +6 3 -5 +13 -10 +19 -12 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______套； (2)七天共生产玩具火车_______套; (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖25元，少生产部分每套扣16元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 4．（26-27七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行不同科目测试．分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 道法 历史 相对分数 ________ 已知该产品的数学测试分数为分． (1)请补全上表： (2)在本次测试的各科目中，该产品所得最高分为________分．最低分为________分； (3)求该产品在本次测试中所有科目的总分． 5．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身体健康情况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视，一种少年儿童的标准体重（单位：kg）的计算方式为：标准体重＝（年龄×7-5）÷2．下表是七年级某小组6位12岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，低于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 m (1)如果4号同学的实际体重为，请通过计算判断4号同学的体重情况，并求出m的值； (2)在（1）的条件下，超出标准体重的同学有______位，______号同学的体重最接近标准体重； (3)要想了解同学的体重情况，除了判断正负数，还要考虑______，这6位同学体重相差最大两名同学的体重差是______． $