专题02 全等三角形及判定 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题02全等三角形及判定期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解全等图形、全等三角形的概念，找准对应边、对应角，规范书写全等表达式。 2.掌握全等三角形的性质，能利用性质证明线段相等、角相等。 3.熟记三角形全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专用 HL，会规范书写证明过程。 4.能根据条件选择合适的判定方法，知道 SSA、AAA 不能判定全等，规范几何证明书写，规避常见错误。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 题型3.全等三角形的概念与性质 题型4.尺规作图——作三角形 题型5.用SAS证明三角形全等 题型6.用SAS间接证明三角形全等及SAS综合 题型7.用SSS证明三角形全等 题型8.用SSS间接证明三角形全等及SSS综合 题型9.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型10.用HL证全等和HL综合 题型11.三角形的稳定性及应用 题型12.四边形的不稳定性 题型13.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型14.全等三角形判定综合 题型15.全等三角形辅助线与模型综合题型16.分层专项训练 16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 、全等三角形概念 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。符号：≌，读作 “全等于”。 △ABC≌△DEF 书写要点：对应顶点写在对应位置，以此确定对应边，对应角。 知识点二 全等三角形的性质 1.全等三角形对应边相等，对应角相等。 几何语言：∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 2.拓展：对应中线、高、角平分线相等；周长相等、面积相等。 知识点三 三角形全等判定 1.SSS（边边边）：三边对应相等，两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两个三角形全等。 3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两个三角形全等。 4.AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等。 5.HL（斜边直角边，仅直角三角形）：斜边与一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。 在Rt△ABC和Rt△DEF中。∠C=∠F=90°⟹ △ABC≌△DEF 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等。 ✵易错提醒 1.写全等式子时，对应顶点位置不能写错。 2.SAS 必须是夹角，SSA 不能证明全等，是高频考点陷阱。 3.HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL。 4.证明书写条件要写完整，结论后标注判定依据。 5.利用全等得到相等关系，一定是对应的边、角。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等 1．下列四组图形中，与所给图形全等的是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 3．在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 3．如图，有一张三角形纸片．请你将这个三角形纸片分成面积相等的四部分． (1)如果分割后的四部分都是三角形，在图中画出示意图，并说明分割的方法； (2)如果分割后的四部分至少包含一个四边形，在图中画出示意图，并说明分割的方法． 题型3.全等三角形的概念与性质 1．下列说法中正确的是（    ） A．面积相等的三角形一定是全等三角形 B．周长相等的三角形一定是全等三角形 C．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 D．以上说法都不对 2．如图，和都是直角三角形，点E在边上，连接，，则下列结论： ①，②，③，④，成立的有________个． 3．按要求解答下列问题： (1)【阅读理解】 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 解决此问题可以用如下方法： 将绕点D旋转得到，把，，集中在中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题． 请根据上述方法解决问题． (2)【问题解决】 如图②，在中，D是边上的中点，，交于点M，交于点N，连接，求证：． 题型4.尺规作图——作三角形 1．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是_______． 3．已知三角形的三边，求作这个三角形．（保留作图痕迹，不要求作法．） 已知：线段a，b，c．求作：，使得，，． 题型5.用SAS证明三角形全等 1．如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 2．如图，于点C，且，点在上，连接、，只需添加一个条件即可证明，则添加的条件可以是____________．（写出一个即可） 3．如图，已知，，，求证： 题型6.用SAS间接证明三角形全等及SAS综合 1．在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（     ） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 2．如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 3．在平面直角坐标系中，点，点和点． (1)如图，若点D在x轴上，且点D的坐标为，求证：； (2)连接，，求和的面积之和． 题型7.用SSS证明三角形全等 1．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是利用__________判定两个三角形全等． 3．如图，在和中，，证明：． 题型8.用SSS间接证明三角形全等及SSS综合 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 3．如图，．求证：． 题型9.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 3．如图，一块四边形的纸板剪去，得到四边形，测得°，，，能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与全等？请说明理由． 题型10.用HL证全等和HL综合 1．如图，在和中，，，若再添加一个条件，可直接用“”判定这两个三角形全等，则添加的条件是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，那么与全等的理由是_________ 3．按要求完成下列各题： (1)如图，在中，求证： (2)如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 题型11.三角形的稳定性及应用 1．下列图形具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架运用了三角形的__________性． 3．凸六边形钢架由6根钢管连接而成，为使这一钢架稳固，至少要几根钢管加固，请画出相应钢管所在线段． 题型12.四边形的不稳定性 1．下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中具有稳定性的有____．（填序号） 3．准备几根硬纸条． (1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？ (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？ (3)上面的现象说明了什么？ 题型13.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图是由个相同的小正方形组成的网格图，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 题型14.全等三角形判定综合 1．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 3．如图，已知，请用尺规作图法在直线下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型15.全等三角形辅助线与模型综合 1．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 2．如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 3．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． ✵分层专项训练 一、单选题 1．在和中，．添加下列条件后，不能判定 的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若点是的中点，则图中阴影部分的面积为（     ） A．10 B．20 C．40 D．80 3．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（  ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 二、填空题 4．如图，，添加一个条件________，使得（只能使用证明全等）． 5．如图，是上一点，交于点，，，若，，则______． 6．在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 三、解答题 7．如图，，点，分别在，上，与交于点． (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 8．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 9．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形及判定期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解全等图形、全等三角形的概念，找准对应边、对应角，规范书写全等表达式。 2.掌握全等三角形的性质，能利用性质证明线段相等、角相等。 3.熟记三角形全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形专用 HL，会规范书写证明过程。 4.能根据条件选择合适的判定方法，知道 SSA、AAA 不能判定全等，规范几何证明书写，规避常见错误。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 题型3.全等三角形的概念与性质 题型4.尺规作图——作三角形 题型5.用SAS证明三角形全等 题型6.用SAS间接证明三角形全等及SAS综合 题型7.用SSS证明三角形全等 题型8.用SSS间接证明三角形全等及SSS综合 题型9.全等的性质和ASA（AAS）综合 题型10.用HL证全等和HL综合 题型11.三角形的稳定性及应用 题型12.四边形的不稳定性 题型13.利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型14.全等三角形判定综合 题型15.全等三角形辅助线与模型综合题型16.分层专项训练 16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 、全等三角形概念 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。符号：≌，读作 “全等于”。 △ABC≌△DEF 书写要点：对应顶点写在对应位置，以此确定对应边，对应角。 知识点二 全等三角形的性质 1.全等三角形对应边相等，对应角相等。 几何语言：∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，BC=EF，AC=DF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。 2.拓展：对应中线、高、角平分线相等；周长相等、面积相等。 知识点三 三角形全等判定 1.SSS（边边边）：三边对应相等，两个三角形全等。 2.SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等，两个三角形全等。 3.ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等，两个三角形全等。 4.AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等，两个三角形全等。 5.HL（斜边直角边，仅直角三角形）：斜边与一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。 在Rt△ABC和Rt△DEF中。∠C=∠F=90°⟹ △ABC≌△DEF 注意：SSA、AAA不能判定三角形全等。 ✵易错提醒 1.写全等式子时，对应顶点位置不能写错。 2.SAS 必须是夹角，SSA 不能证明全等，是高频考点陷阱。 3.HL 只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL。 4.证明书写条件要写完整，结论后标注判定依据。 5.利用全等得到相等关系，一定是对应的边、角。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等 1．下列四组图形中，与所给图形全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，分析四个选项，找出可以和原图重合的图形即可解答． 【详解】解：由全等形的概念可知：B选项与原图的位置发生了变化，形状完全一样，因而只有选项B与原图全等． 2．如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【答案】解：如图四边形，四边形即为所求（答案不唯一）． 【分析】根据全等图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【详解】略． 题型2.将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 3．如图，有一张三角形纸片．请你将这个三角形纸片分成面积相等的四部分． (1)如果分割后的四部分都是三角形，在图中画出示意图，并说明分割的方法； (2)如果分割后的四部分至少包含一个四边形，在图中画出示意图，并说明分割的方法． 【答案】(1)如图1所示，分割方法：先对边进行四等分，再连接即可得到四个三角形； (2)如图2所示，先取的中点，连接，可知四边形是平行四边形，连接，产生交点，过此交点作线段，交于，交于，易知；，四部分面积相等； 【分析】（1）先取的四等分点，再连接即可得到； （2）先取中点，再连接产生交点，过此交点作线段,得到四边形和四边形,这样的四部分面积相等． 【详解】（1）略 （2） 略 题型3.全等三角形的概念与性质 1．下列说法中正确的是（    ） A．面积相等的三角形一定是全等三角形 B．周长相等的三角形一定是全等三角形 C．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】依据全等三角形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 面积相等的三角形不一定能完全重合，不一定是全等三角形，本选项说法错误，不符合题意； B. 周长相等的三角形不一定能完全重合，不一定是全等三角形，本选项说法错误，不符合题意； C. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，符合定义，本选项说法正确，符合题意； D. 因C选项正确，故该说法错误，本选项不符合题意． 2．如图，和都是直角三角形，点E在边上，连接，，则下列结论： ①，②，③，④，成立的有________个． 【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质，以及角的和差关系，平行线的判定方法，线段的和差关系和等量变换，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴；故③正确； ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴；故④错误. 综上：正确的只有③，共1个. 3．按要求解答下列问题： (1)【阅读理解】 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 解决此问题可以用如下方法： 将绕点D旋转得到，把，，集中在中，体现了转化与化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可解决问题． 请根据上述方法解决问题． (2)【问题解决】 如图②，在中，D是边上的中点，，交于点M，交于点N，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，是边上的中点，将绕点D旋转得到，点C的对应点为点B，点N的对应点为点F ∴， ，．连接． 又， ． 在中，由三角形的三边关系，得， ． 【分析】（1）根据旋转的性质结合三角形三边关系求解即可； （2）根据旋转的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，根据三角形三边关系可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：将绕点D旋转得到， 则，． 在中，由三角形的三边关系，得 ，即， ． （3） 略 题型4.尺规作图——作三角形 1．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 2．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是_______． 【答案】 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹得：， ∴， 因此作图的依据为． 3．已知三角形的三边，求作这个三角形．（保留作图痕迹，不要求作法．） 已知：线段a，b，c．求作：，使得，，． 【答案】如图，就是所求作的三角形． 【分析】先作一条线段等于已知线段a（作为三角形的一边），分别以该线段的两个端点为圆心，以另外两条已知线段c，b的长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个顶点A，连接顶点，即可得到所求三角形． 【详解】略 题型5.用SAS证明三角形全等 1．如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义可得，再由，利用即可证明． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴，即选项B符合题意． 2．如图，于点C，且，点在上，连接、，只需添加一个条件即可证明，则添加的条件可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（或或或）. 【分析】根据已知条件（一条直角边相等和一个直角相等），结合全等三角形的判定定理（、、、），找出缺失的对应边或对应角． 【详解】解：因为于点C，所以， 已知， 在和中，已经具备了一组直角相等和一条直角边相等，根据全等三角形的判定定理，我们可以从以下几个角度添加条件： 第一种：利用“边角边”（）： 根据已知条件，需要另一组直角边相等，即添加条件：； 第二种：利用“角边角”（）： 根据已知条件，需要夹这组边的另一组角相等，即添加条件：； 第三种：利用“角角边”（）： 根据已知条件，需要除直角外的另一组角相等，即添加条件：； 第四种：利用“斜边、直角边”（）： 根据已知条件，需要斜边相等，即添加条件：． 题目要求“只需添加一个条件”，以上分析出的任意一个条件均符合要求． 3．如图，已知，，，求证： 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】由，可得，从而可证明． 【详解】证明：略． 题型6.用SAS间接证明三角形全等及SAS综合 1．在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（     ） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 【答案】C 【分析】利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图性质和全等三角形的判定与性质可对图3进行判断． 【详解】解：由基本作图可知，图1为作的角平分线的标准作法；图2是利用垂直平分线作的边的中线． 在图3中，设两条弧与的交点分别为和，如图所示， 由作图可知，，， ． 在和中， ， ， ． ∵在和中， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， 平分． 图1和图3能判断射线平分． 2．如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【答案】6 【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．在平面直角坐标系中，点，点和点． (1)如图，若点D在x轴上，且点D的坐标为，求证：； (2)连接，，求和的面积之和． 【答案】(1)证明：点，点，点，点， ，． 在和中 ， ； (2) 【分析】（1）根据各点坐标求出对应线段长度，结合坐标轴垂直得到直角，利用判定三角形全等； （2）观察与有公共底边，分别找出两个三角形对应的高，代入三角形面积公式计算，最后求面积的和． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，， ， ． 题型7.用SSS证明三角形全等 1．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】可以以和为公共边画出4个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：如图所示． 2．下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是利用__________判定两个三角形全等． 【答案】边边边（或） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解： 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在和中，，证明：． 【答案】 证明：在和中， ∵，，， ∴． 【分析】直接根据证明即可. 【详解】略 题型8.用SSS间接证明三角形全等及SSS综合 1．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 2．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 3．如图，．求证：． 【答案】证明：∵在和中，，，， ∴． ∴． 【分析】已知，同时为两个三角形的公共边，可得三组对应边相等．依据边边边（）全等判定定理，可得这两个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，即可得到对应角相等的结论． 【详解】略． 题型9.全等的性质和ASA（AAS）综合 1．如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 【答案】2 【分析】证明即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 3．如图，一块四边形的纸板剪去，得到四边形，测得°，，，能否在四边形纸板上只剪一刀，使剪下的三角形与全等？请说明理由． 【答案】解：能，沿剪下一刀，，理由如下： 连接，如图所示： ，， ． ， ． 在和中， ． 【分析】沿剪下一刀，先利用四边形内角和与邻补角性质，推导出，再利用证明和全等． 【详解】略 题型10.用HL证全等和HL综合 1．如图，在和中，，，若再添加一个条件，可直接用“”判定这两个三角形全等，则添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“”判定这两个三角形全等，需要一对直角边和一对斜边对应相等，已知一对直角边相等，再添加斜边相等即可． 【详解】解：在和中，，，， ∴， 即添加的条件是． 2．如图，，，那么与全等的理由是_________ 【答案】 【分析】根据题意可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴． 3．按要求完成下列各题： (1)如图，在中，求证： (2)如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中 ， 即． (2) 结论：，且， 证明：在和中 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 由，得， ， 设交于点， ， ， ， ， ． 【分析】（1）要证线段，观察两条线段分别在和中，已知，，且与是公共角，直接利用证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等得到结论； （2）线段关系包含数量与位置两类，先借助第(1)问的全等结论得到，结合条件，得到；再由平行线得到直角，利用证明直角三角形全等进行角转化，通过角度互余，推导出垂直关系． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定（）与全等三角形的性质、平行线的性质、直角三角形角度互余等知识点，解题关键是第一问直接利用公共角与两组等边用证全等得到线段相等，第二问要延续第一问的全等结论，结合平行线得到直角，再通过等量代换转移角，同时从数量关系和位置关系两个维度完整分析两条线段的关系． 题型11.三角形的稳定性及应用 1．下列图形具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C都可以变形，D都是三角形，具有稳定性． 2．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架运用了三角形的__________性． 【答案】稳定 【分析】观察图形可知手机支架的侧面构成了三角形结构，根据三角形具有稳定性的性质即可求解． 【详解】解：观察图形可知，手机支架的侧面构成了一个三角形. ∵ 三角形具有稳定性， ∴ 手机支架运用了三角形的稳定性． 3．凸六边形钢架由6根钢管连接而成，为使这一钢架稳固，至少要几根钢管加固，请画出相应钢管所在线段． 【答案】解：至少3根钢管，画图如下： （答案不唯一） 【分析】根据三角形具有稳定性，从凸六边形的一个顶点出发，将凸六边形分成几个三角形即可. 【详解】略 题型12.四边形的不稳定性 1．下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D都是四边形，不具有稳定性，不符合题意； 选项C由两个三角形组成具有稳定性，符合题意． 2．下列图形中具有稳定性的有____．（填序号） 【答案】②③/③② 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性， ∴具有稳定性的是． 3．准备几根硬纸条． (1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？ (2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？ (3)上面的现象说明了什么？ 【答案】(1)三根硬纸条钉成三角形后，三角形的三边长度和内角度数都被固定，拉动其中两边，无法改变三角形的形状，因此不能使三角形形状发生变化． (2)四根硬纸条钉成四边形后，仅边长固定，内角可以发生变化，拉动其中两边，四边形形状会发生改变；同理，五边形仅固定边长时内角也可以改变，拉动后五边形形状也会改变． (3)∵操作中三角形形状无法改变，边数大于等于4的多边形形状可以改变 ∴可得结论：上述现象三角形具有稳定性，边数不小于4的多边形具有不稳定性． 【分析】本题是操作验证类题目，考察三角形稳定性的初中基础知识点，通过观察操作现象总结图形特性即可，用到三角形和多边形的结构性质． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型13.利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图是由个相同的小正方形组成的网格图，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 【答案】/45度 【分析】如详解图，把绕点逆时针旋转到的位置，即可求得答案． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为，则， ， ， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) (3)或或 【分析】本题考查作图—画轴对称图形，坐标与图形的变化—轴对称，轴对称的性质，全等三角形的判定，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点，关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求，再根据平面直角坐标系写出点P坐标即可； （3）根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在（1）基础上，连接，交轴于点P，则点P即为使的距离最小的点． 由图可知； （3）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． 题型14.全等三角形判定综合 1．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，， 添加条件，结合，，不可以用证明，故A选项符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D选项不符合题意． 2．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 3．如图，已知，请用尺规作图法在直线下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧相交于，连接、即可. 【详解】略 题型15.全等三角形辅助线与模型综合 1．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，得到是解答本题的关键． 连接，证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 【答案】2 【分析】利用倍长中线法构造全等三角形，利用三角形的三边关系求出的范围，即可得出结果. 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵的长为偶数， ∴. 3．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．在和中，．添加下列条件后，不能判定 的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，∵，，， ∴，不符合题意． B选项，∵，，， ∴，不符合题意． C选项，∵，，， ∴，不符合题意． D选项，仅，，结合已知，无对应边相等，不能判定两三角形全等，符合题意． 2．如图，在中，，，，，是上一点，交于点，若点是的中点，则图中阴影部分的面积为（     ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】B 【分析】先证明，将阴影部分面积转化为的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（  ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【答案】A 【分析】根据旋转性质得出，结合公共边和公共角，分析满足的条件及三角形全等关系． 【详解】解：由题意知，固定，绕转动得到， ∴，． ∵、在射线上， ∴． 在和中，满足两边和其中一边的对角分别相等， 由图可知与不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 二、填空题 4．如图，，添加一个条件________，使得（只能使用证明全等）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴当时，可根据推出． 5．如图，是上一点，交于点，，，若，，则______． 【答案】 【分析】由平行得到，用证三角形全等，得到，再将与相加求出． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 6．在中，长为12，长为20，则第三边上中线的取值范围为__________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，则，证明得出，再结合三角形三边关系计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ∵为边的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，，点，分别在，上，与交于点． (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 【答案】(1)补充条件：（答案不唯一，正确即可） (2)，理由如下： ∵， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． 【分析】（1）根据“”添加条件即可； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差推出，最后根据“”证得，即可得到结论． 【详解】（1）解：补充条件：（答案不唯一，正确即可） 在△和△中， ， ． （2）略 8．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 9．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由三角形内角和定理得，然后由平行线的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：由()可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的度数为． 10．基础研究： (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： (2)如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： (3)如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【答案】(1)； (2)数量关系为，位置无特殊关系， 证明： 延长到点，使，连接， 为的中点， 。 又 ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ，即； (3)证明：作，交的延长线于点， ， ， ， ， 。 又 ， 。 在和中： ． 【分析】（1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）已知为的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长至，使，再证明，得到且，结合可得；再利用周角性质以及平行线同旁内角互补，结合条件，推导出，又，通过证明，得到，而，因此； （3）过点作，交的延长线于点，由平行线性质得到，结合已知，等量代换得，根据等角对等边可知，又，所以，再证明，最后由全等三角形对应边相等得到． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以李海证明用到的判定定理是；线段的取值范围为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推理、等腰三角形判定等知识点；解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $