专题02全等三角形及判定期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题02全等三角形及其判定期中复习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别全等三角形，会找全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，能利用性质进行线段长度、角度的基础计算。 2.掌握全等三角形的符号书写规范，书写全等式子时，做到对应顶点写在对应位置，避免找错对应边角；能根据全等关系推理边角相等，作为几何证明的基础依据。 3.熟练掌握三角形全等的 4 个判定基本事实：SAS、ASA、AAS、SSS；清楚区分判定定理适用条件，知道 SSA 不能判定两个三角形全等，能根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等。 4.能够从复杂图形中分离出目标三角形，挖掘图中的隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等，结合已知条件补充证明全等缺少的条件。 5.掌握全等证明的基本书写格式，规范几何证明步骤，做到推理有据，会完整书写 “证明三角形全等，再利用全等性质推导线段相等、角相等” 的两步型解答题。 6.能解决基础全等模型题，包含平移型、翻折型、旋转型全等，会进行简单的线段等量转化、角度推导。 7.掌握常见易错点：区分判定定理，避免误用 SSA；证明全等时条件罗列错误；找错对应边、对应角；书写证明过程逻辑跳跃，缺少必要推理步骤。 8.可以综合运用全等判定与性质，解决简单线段平行、线段相等、角度求值的中档几何综合题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念与性质 ★ 题型三 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★ 题型六 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型七 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型八 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型九 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十一 用 HL 证全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十三 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十四 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十五 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十六 倍长中线模型 ★★★★ 题型十七 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十八 旋转模型 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 题型一：图形的全等 1．下列各学科使用的教学器具示意图中，属于全等图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】依据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形是全等图形，依次观察四个选项图形的形状、大小，判断能否完全重合，选出符合条件的选项． 【详解】解：A：篮球和排球，形状不同，不是全等图形． B：两个三角板大小不一样，不是全等图形． C：锥形瓶和广口瓶，形状不同，不是全等图形． ：两个U形管，形状相同，大小相等，可以完全重合，是全等图形． 2．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能够完全重合的两个图形全等． 【详解】解：A项中的两个图形一模一样，能够完全重合，属于全等，所以A项符合题意． 3．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个． 【详解】解：∵长为4、宽为3的长方形， ∴周长为2×（3+4）＝14 14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2， ∴能围出不全等的长方形有3个， 故选：A． 【点睛】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 题型二：全等三角形的概念与性质 4．下列说法正确的是（     ） A．全等三角形的周长相等 B．面积相等的两个三角形是全等三角形 C．全等三角形是指形状相同的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【详解】解：A、全等三角形的周长相等，说法正确，符合题意； B、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，原说法错误，不符合题意． 5．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 6．如图，，点C在线段上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】全等三角形的对应角相等，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵，点C在线段上， ∴， ∵，， ∴． 7．如图，在四边形中，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有_____对全等三角形． 【答案】 【分析】根据前面三个图形中全等三角形的个数总结出规律即可得到答案． 【详解】解：图1中有对全等三角形， 图2中有对全等三角形， 图3中有对全等三角形， ， 以此类推可知，图n中有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 8．如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 题型三：尺规作图 —— 作三角形 9．已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是__________． 【答案】③①④② 【分析】根据作三角形的步骤：第一步先作一条线段等于三角形的一边，第二步以已作的线段的两个端点为圆心，以对应的长为半径画弧确定交点位置，最后顺次连接即可，由此进行判断即可． 【详解】解：先作，再以点B为圆心，c的长为半径画弧；接着以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A，然后连接，则即为所求． 故答案为：③①④②． 【点睛】本题主要考查了用尺规作图—作三角形的步骤，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 10．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案． 【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意； B、， a，b，c三线段能作组成三角形， 根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意． 故选A． 11．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 题型四：用 SAS 证明三角形全等 12．如图 ，已知，则 的依据是__________（用字母表示，如“”）． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 13．如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有_________对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 14．如图，已知四边形中，厘米，厘米，2厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 _______厘米秒时，能够使与全等．    【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是弄清题意，分情况进行讨论．由全等三角形的判定，分两种情况讨论，即可解决问题． 【详解】解：设运动的时间是秒， （厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是2厘米秒； 当，时，， 是中点， 厘米， ∵， ∴， ， ∴厘米/秒． 当点的运动速度为2厘米/秒或厘米/秒时与全等． 故答案为：2或． 题型五：用 SAS 间接证明三角形全等 15．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 16．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 17．如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 【答案】A 【分析】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形判定方法的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法： 、、、、，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件． 题型六：全等的性质和 SAS 综合 18．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可； 【详解】解：在和中， ， . 19．如图①，明福寺塔位于河南省滑县，始建于唐宝历二年，坐北朝南，该塔是河南乃至全国所见不多的大型佛像造型砖塔之一，具有重要的科学和历史价值．数学兴趣小组为测量明福寺塔底座的最大宽度（即图②中AB的长），在塔旁的开阔地取一点C，测得的度数，在AC的另一侧取一点D，使得，，欲知AB间的距离，需要测量的线段是__________． 【答案】/ 【分析】利用现有条件根据证明，推出，则问题可解． 【详解】解：由已知， 在和中， ∴， ∴， ∴要想知道的距离，只需要测量的长度即可． 20．如图，在中，，、为边上两点，连接、，，，，，求的长(     ) A．2 B．3 C．1 D．2.5 【答案】B 【分析】证明得到，从而利用计算得解． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， ∴． 题型七：用 ASA（AAS）证明三角形全等 21．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 【答案】Ⅱ 【分析】根据两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等判断即可． 【详解】略 22．如图，在中，．点P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与交于点M．当时，若的面积是240，则重叠部分的面积为______． 【答案】144 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；延长交于F，则易得；由折叠的性质可证明，则可得，；利用面积相等可分别求出的长，从而求得的面积． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴； ∵，， ∴； 由折叠的性质知：； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为：144， 23．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由全等三角形的判定定理或，均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ， ， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 题型八：全等的性质和 ASA（AAS）综合 24．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由角角边的判定定理证明与全等，再由即可求解． 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 25．如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为__________． 【答案】5 【分析】证明，再由全等三角形的对应边相等，结合线段和差求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 26．如图，在等腰中，，，点F在边上，连接，于点E，交的延长线于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】证明得出，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 题型九：用 SSS 证明三角形全等 27．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 28．下列条件中，不能判定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】两个三角形全等的判定定理有两边及其夹角对应相等、两角及其夹边对应相等、两角及其中一角的对边对应相等以及三边对应相等，逐项判断即可． 【详解】A. ，，，其中是边和边的夹角， 是边和边的夹角，符合判定定理，能判定； B. ，，，符合判定定理，能判定； C. ，，，其中不是边和边的夹角，属于两边及其中一边的对角对应相等，不符合任何有效全等判定定理，不能确定； D. ，，,符合判定定理，能判定； 故选C． 29．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 题型十：全等的性质和 SSS 综合 30．如图，在中，，，，则______度． 【答案】110 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，进而利用平角的性质求解． 先证明，得出的度数，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】解：在和中， ． ， ， ． 故答案为：110． 31．如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质以及角的运算，由已知条件可证得，从而得出，再由角与角的关系可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可知，等腰的形状不变，位置在变． ①当在内时，如图1所示． ∵为等边三角形，为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②当在外时，如图2所示． 在和中， ， ∴， ∴． 综上可知：，的大小可以是． 故答案为：或． 32．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 题型十一：用 HL 证全等 33．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 【详解】 在和中， ， ． 故需添加条件． 34．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则_________；若，则___________． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 【详解】解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 35．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线，如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点，则射线是的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， 故选：D． 题型十二：全等的性质和 HL 综合 36．如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角形全等是解题的关键． 通过已知条件利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后通过线段的和差关系得到结论． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，两所学校到报亭的距离相等， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 37．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．已知米，米，右边滑梯的高度______米． 【答案】5 【分析】证明，得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由题意得，，， 又∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米． 38．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十三：利用全等图形求正方形网格中角度之和 39．如图，已知网格图由4个相同的正方形组成，则________． 【答案】/90度 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴． 40．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接，，则________． 【答案】/135度 【分析】根据题意，可得，，进而证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可获得答案． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 41．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 题型十四：添加条件使三角形全等 42．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 43．如图，，要使．则应补充条件：________________．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 添加条件时，结合，，可利用证明． 添加条件时，结合，，可利用证明． 添加条件时，结合，，可利用证明． 添加条件时，结合，，可利用证明． 44．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 题型十五：灵活选用判定方法证全等 45．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 46．已知和，，，，已知，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论当时，可得，则，当时，由可得，则问题可解 【详解】解：当时，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或    47．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”可证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”可证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”可证明，可判断D不符合题意． 题型十六：倍长中线模型 48．如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是_____． 【答案】 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题．本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ， 在中， ∴， ， ∴． 故答案为：． 49．如图，在中，，，中线，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 50．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得． 题型十七：全等三角形综合问题 51．如图，点C在的延长线上，，，则图中共有______对全等三角形．    【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴； 综上分析可知：全等的三角形有3对． 故答案为：3． 52．如图，在中，，，，D为上一点，过点A作，连接交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形面积计算，解题思路是先利用平行关系和已知条件证明三角形全等，再将阴影部分面积转化为直角三角形的面积，通过计算的面积得到阴影部分面积．解题中用到的思想是转化思想（将阴影部分面积转化为已知直角三角形的面积）；方法技巧是利用平行关系推导角相等，结合边相等证明全等，进而简化面积计算．解题关键是识别全等三角形，将分散的阴影部分面积转化为规则图形的面积．易错点是无法通过全等关系转化面积，导致计算复杂或错误． 【详解】∵， ∴，（内错角相等）． 又∵， 在和中 ∴， ∴． ， 故选C． 53．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 题型十八：旋转模型 54．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 55．如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过将绕点逆时针旋转得到，利用旋转性质和等腰直角三角形、全等三角形的相关知识，结合勾股定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接． ∵ 旋转， ∴ ，，，． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． 在中，，， 由勾股定理得， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 56．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 解答题 57．如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 【答案】解：如图，就是所求作的直角三角形． 【分析】在射线上截取，使得，在射线上 截取，使得，连接，即为所求． 【详解】略 58．如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【分析】先根据角的关系，准备条件，再根据证明，即可证明． 【详解】略 59．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动，同时点从点以每秒个单位的速度沿向点运动（点与点重合时停止运动），设运动时间为秒： (1)用含的代数式表示、、； (2)当，时，求证：； (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴． (3)n的值为2或2.4． 【分析】（1）根据两个点的运动轨迹，结合线段间的关系，根据“路程=速度×时间”计算即可． （2）已知条件中，两个直角相等，一组对边相等，根据，结合三角形内角和定理可推导出，根据“角角边”（）判定定理即可证明三角形全等． （3）题目只说明了“与全等”，没有明确顶点的对应关系，因此需要分情况讨论，可分为，和，两组情况，结合（1）中得到的、、的代数式，先计算出t的值，再计算出n． 【详解】（1）解：根据题意，点P从点B出发，速度为2，时间为t，所以的长度为； 点P在线段上运动，的总长度为10，所以； 点Q从点C出发，速度为n，时间为t，所以． （2）略 （3）因为，与全等分两种情况． 情况一：当，时， ,解得， 此时，故， 即，得； 情况二：当，时， ，解得， 此时，即， 解得． 综上所述，n的值为2或2.4． 60．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)，理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴； (3)解：，理由如下： 由题意可得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴，， ∴． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解； （3）由同角的余角相等可得，再利用即可证明，从而可得，，即可得解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 61．这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴（     ）． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出四边形ACBD的面积呢？假设，，请你尝试求出． 【答案】(1)，， (2)12 【分析】（1）由作图可得，即可由求证； （2）先证明，则，再由求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴，，， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴． 62．如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ． (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用定理证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件，可直接利用定理证明，通过全等三角形的对应边相等即可得到结论； （2）如图，连接，先通过线段的和差关系求出，然后可通过定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后根据线段和差关系求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：． 如图，连接． ，， ． 在和中， ， ， ． 63．【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)相等；平行 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定条件即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质可得所求线段相等和对应角相等，进而得出所给线段的位置关系； （3）根据题目所给的辅助线的作法作出辅助线，然后根据全等的条件证明两三角形全等，再根据全等的性质得到答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接， 是边上的中点， ， ， ． （2）解：， ，， ． （3）解：延长到，使，连结， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ， ． 64．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵在与中， ∴ ． (2)证明：①∵ 是等边三角形， ∴，， 延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即，，即， ②由①可知． 在与中， ， ， ， ． (3)． 【分析】（1）利用等边三角形的性质进一步证明即可得出结论； （2）①延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．即可证明， ②证明，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，进而得到答案． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：①略； ②略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形及其判定期中复习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，能准确识别全等三角形，会找全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，能利用性质进行线段长度、角度的基础计算。 2.掌握全等三角形的符号书写规范，书写全等式子时，做到对应顶点写在对应位置，避免找错对应边角；能根据全等关系推理边角相等，作为几何证明的基础依据。 3.熟练掌握三角形全等的 4 个判定基本事实：SAS、ASA、AAS、SSS；清楚区分判定定理适用条件，知道 SSA 不能判定两个三角形全等，能根据已知条件选择合适判定方法证明三角形全等。 4.能够从复杂图形中分离出目标三角形，挖掘图中的隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等，结合已知条件补充证明全等缺少的条件。 5.掌握全等证明的基本书写格式，规范几何证明步骤，做到推理有据，会完整书写 “证明三角形全等，再利用全等性质推导线段相等、角相等” 的两步型解答题。 6.能解决基础全等模型题，包含平移型、翻折型、旋转型全等，会进行简单的线段等量转化、角度推导。 7.掌握常见易错点：区分判定定理，避免误用 SSA；证明全等时条件罗列错误；找错对应边、对应角；书写证明过程逻辑跳跃，缺少必要推理步骤。 8.可以综合运用全等判定与性质，解决简单线段平行、线段相等、角度求值的中档几何综合题。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念与性质 ★ 题型三 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型四 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型五 用 SAS 间接证明三角形全等 ★★ 题型六 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型七 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型八 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型九 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型十 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型十一 用 HL 证全等 ★★ 题型十二 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十三 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十四 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十五 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十六 倍长中线模型 ★★★★ 题型十七 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十八 旋转模型 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 题型一：图形的全等 1．下列各学科使用的教学器具示意图中，属于全等图形的是（     ） A．B． C． D． 2．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 3．百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：全等三角形的概念与性质 4．下列说法正确的是（     ） A．全等三角形的周长相等 B．面积相等的两个三角形是全等三角形 C．全等三角形是指形状相同的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，，点C在线段上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有_____对全等三角形． 8．如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 题型三：尺规作图 —— 作三角形 9．已知线段a，b，c，求作，使． ①以点B为圆心，c的长为半径画弧； ②连接； ③作； ④以点C为圆心，b的长为半径画弧，两弧交于点A． 作法的合理顺序是__________． 10．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 题型四：用 SAS 证明三角形全等 12．如图 ，已知，则 的依据是__________（用字母表示，如“”）． 13．如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有_________对． 14．如图，已知四边形中，厘米，厘米，2厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 _______厘米秒时，能够使与全等．    题型五：用 SAS 间接证明三角形全等 15．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 17．如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 题型六：全等的性质和 SAS 综合 18．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 19．如图①，明福寺塔位于河南省滑县，始建于唐宝历二年，坐北朝南，该塔是河南乃至全国所见不多的大型佛像造型砖塔之一，具有重要的科学和历史价值．数学兴趣小组为测量明福寺塔底座的最大宽度（即图②中AB的长），在塔旁的开阔地取一点C，测得的度数，在AC的另一侧取一点D，使得，，欲知AB间的距离，需要测量的线段是__________． 20．如图，在中，，、为边上两点，连接、，，，，，求的长(     ) A．2 B．3 C．1 D．2.5 题型七：用 ASA（AAS）证明三角形全等 21．如图，一块三角形玻璃破裂成，号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上______________号碎片． 22．如图，在中，．点P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与交于点M．当时，若的面积是240，则重叠部分的面积为______． 23．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（    ） A． B． C． D． 题型八：全等的性质和 ASA（AAS）综合 24．如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，李林首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为______． 25．如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为__________． 26．如图，在等腰中，，，点F在边上，连接，于点E，交的延长线于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型九：用 SSS 证明三角形全等 27．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 28．下列条件中，不能判定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 29．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 题型十：全等的性质和 SSS 综合 30．如图，在中，，，，则______度． 31．如图，正与等腰的顶点重合，，，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是__________． 32．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十一：用 HL 证全等 33．如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 34．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则_________；若，则___________． 35．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线，如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点，则射线是的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ） A． B． C． D． 题型十二：全等的性质和 HL 综合 36．如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 37．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．已知米，米，右边滑梯的高度______米． 38．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十三：利用全等图形求正方形网格中角度之和 39．如图，已知网格图由4个相同的正方形组成，则________． 40．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接，，则________． 41．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 题型十四：添加条件使三角形全等 42．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 43．如图，，要使．则应补充条件：________________．（填写一个即可） 44．如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型十五：灵活选用判定方法证全等 45．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 46．已知和，，，，已知，则________． 47．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 题型十六：倍长中线模型 48．如图所示，则中，，，则边上的中线长的取值范围是_____． 49．如图，在中，，，中线，则的面积为_____． 50．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 题型十七：全等三角形综合问题 51．如图，点C在的延长线上，，，则图中共有______对全等三角形．    52．如图，在中，，，，D为上一点，过点A作，连接交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 53．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 题型十八：旋转模型 54．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 55．如图，在中，，，点和点均在边上，且，若，，则____________． 56．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 解答题 57．如图，已知直角和线段，，用尺规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于，． 58．如图，已知，，．求证：． 59．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向点运动，同时点从点以每秒个单位的速度沿向点运动（点与点重合时停止运动），设运动时间为秒： (1)用含的代数式表示、、； (2)当，时，求证：； (3)当与全等时，求的值． 60．已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． (1)如图1，证明 (2)如图1，请写出，，之间的数量关系并说明理由； (3)其他条件不变的前提下如图2，写出，，之间的数量关系并说明理由． 61．这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴（     ）． (2)小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出四边形ACBD的面积呢？假设，，请你尝试求出． 62．如图，在四边形中，，于点，点为上一点，连接，，． (1)求证：． (2)若，，则的长为_______． 63．【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 64．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $