期中复习02 一元二次函数、方程和不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

领先高考培优课程 期中复习02 一元二次函数、方程和不等式 目录 模块一 不等式的性质 1 模块二 基本不等式 4 模块三 二次函数与一元二次方程、不等式 7 模块四 一元二次不等式的综合题 11 模块一 不等式的性质 知 识 点 睛 ①熟悉不等式的8条基本性质 1. 对称性： 2. 传递性： （注意：传递性不可逆） 3. 可加性： （加减同一个数，不等号方向不变） 4. 可乘性（极度易错！）： ①若 （乘正数，方向不变）； ②若 （乘负数，方向改变）； 5. 同向可加性： （同向不等式可以相加） 6. 同向同正可乘性： （两边同为正数的同向不等式可以相乘） 7. 可乘方性： 8. 可开方性： ②会用作差法或作商法比大小 ③遇到选择题，可尝试代数法排除错误选项 热 点 题 型 归 纳 【例1】（多选）已知实数，其中，以下叙述正确的是（ ） A. 若，那么. B. 若，那么. C. 若，那么 D. 若，那么 【练习1】（单选）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【练习2】（单选）如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【练习3】（多选） 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 模块二 基本不等式 知 识 点 睛 ①熟悉使用基本不等式的条件“一正二定三相等”； ②熟悉几个高频考点：配凑法、“1”的妙用、换元法、消元法 ③熟悉高频考点不等式链：当a>0,b>0时， ， 当且仅当a=b时等号成立。 热 点 题 型 归 纳 【例2】（多选）已知 ，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值是4 D. 的最小值是1 【练习4】（单选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值4 D. 有最小值 【练习5】（多选）已知，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为1 【练习6】（多选）下列命题正确的有（ ） A. 若正数满足，则的最大值为 B. 若正数满足，则的最小值为 C. 若满足，则的最小值为2 D. 若满足，则的最小值为 模块三 二次函数与一元二次方程、不等式 知 识 点 睛 ①解一元二次不等式步骤：化正->求根->画图->写解集 1. 化正：将不等式化为标准形式，确保二次项系数 。（若 ，不等式两边同乘，切记变号！） 1. 求根：计算判别式 ，求出对应一元二次方程的实数根。 1. 画图：根据 和求出的根，快速画出二次函数 的草图。 1. 写解集：根据不等号的方向，结合图象写出解集（大于取两边，小于取中间）。 ②解分式不等式：不等式两端直接乘以分母的平方，将不等式化成一元二次不等式求解， 注意分母不为0. ③理解不等式解集和方程根的关系：关于x的不等式解集端点，是将不等号改成等号时所成方程的根。 Eg.关于的不等式的解集为，2是方程的根，则有。 关于一元二次不等式根与系数的关系，可以使用韦达定理： 热 点 题 型 归 纳 【例3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________. 【练习7】（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 【练习8】不等式的解集为________ 【练习9】已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 若集合，求集合N； 【例4】（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【练习10】若为实数，关于的不等式解集为，那么不等式的解集是________ 【练习11】已知不等式的解集为.求和的值； 【练习12】（多选）已知关于不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为-4. 模块四 一元二次不等式的综合题 知 识 点 睛 题型一：解含参的一元二次不等式（分类讨论） ①若二次项系数带参，分三种情况来看； ②尝试十字相乘找出两根，若不会十字相乘法，可以直接求根公式，分三种情况来求解；（若用求根公式，此时的△一般为平方数，可以直接开方） ③若无法直接找出两根，求△，分三种情况来看。 ④若题中给出根的范围，第②、③步求出的根还需分析是否在题中所给的范围内，结合图像来求解。 题型二：一元二次不等式整数解的个数问题 先求解集，再分析解集中的整数解，确定好区间长度，列不等式把解集端点置于整数解的下一个区间中求解参数范围。 Eg.已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，求实数a的取值范围。 解：不等式可化为，当时，解集为，因为解集中有4个整数解，应为1,2,3,4， 所以应大于等于4小于5. 题型三：不等式中的恒成立（能成立）问题 常用将不等式进行参变分离后求最值问题。恒成立，求f(x)最大值即可； 若为能成立，求f(x)的最小值。 热 点 题 型 归 纳 【例5】已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 （1）若集合，求集合 （2）是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【练习13】解关于的不等式. 【练习14】 已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【练习15】（单选）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【例6】（单选）对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【练习16】（单选）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 【例7】已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的总存在使得 ，求实数的取值范围. 【练习17】已知是方程的两个实根. （1）若，求实数的值； （2）若两根都大于1，求的取值范围. 课后作业 1. （单选）设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（单选）已知正数满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 3.（单选） 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 4.（单选） 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6.（多选） 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.（多选） 设．且，则（ ） A. B. C. D. 8.（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. ab的最大值为 C. 的最小值是 D. 的最小值是 9. 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 10. 若，且，则的最大值是__________. 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $领先高考培优课程 期中复习02 一元二次函数、方程和不等式 目录 模块一 不等式的性质 1 模块二 基本不等式 4 模块三 二次函数与一元二次方程、不等式 7 模块四 一元二次不等式的综合题 11 模块一 不等式的性质 知 识 点 睛 ①熟悉不等式的8条基本性质 1. 对称性： 2. 传递性： （注意：传递性不可逆） 3. 可加性： （加减同一个数，不等号方向不变） 4. 可乘性（极度易错！）： ①若 （乘正数，方向不变）； ②若 （乘负数，方向改变）； 5. 同向可加性： （同向不等式可以相加） 6. 同向同正可乘性： （两边同为正数的同向不等式可以相乘） 7. 可乘方性： 8. 可开方性： ②会用作差法或作商法比大小 ③遇到选择题，可尝试代数法排除错误选项 热 点 题 型 归 纳 【例1】（多选）已知实数，其中，以下叙述正确的是（ ） A. 若，那么. B. 若，那么. C. 若，那么 D. 若，那么 【答案】AB 【解析】A选项，由于，则，若，则由不等式的性质可得，，A正确； B选项，若，则， 则，所以，B选项正确； C选项，若，则，则，C错误； D选项，若，则，则，D错误； 故选：AB. 【练习1】（单选）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 【练习2】（单选）如果，，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 显然， ，所以最大， 由可得，，所以，即 可得 故选：D 【练习3】（多选） 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对于选项A，由，，得，所以选项A正确； 对于选项B，由，得，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，所以选项C错误； 对于选项D，由，得，所以选项D错误. 故选：AB 模块二 基本不等式 知 识 点 睛 ①熟悉使用基本不等式的条件“一正二定三相等”； ②熟悉几个高频考点：配凑法、“1”的妙用、换元法、消元法 ③熟悉高频考点不等式链：当a>0,b>0时， ， 当且仅当a=b时等号成立。 热 点 题 型 归 纳 【例2】（多选）已知 ，且，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值是4 D. 的最小值是1 【答案】AC 【解析】对于A，由，可得， 所以，当且仅当，取得最大值，故A正确； 对于B，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为，故B错误； 对于C，，且，则， 当且仅当，即， 时等号成立，的最小值为4，故C正确； 对于D，，且，则，所以， 所以， 当且仅当，时取等号，故D错误． 故选：AC 【练习4】（单选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最大值4 D. 有最小值 【答案】B 【解析】对于A，，当且仅当 时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当 时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即 时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当 时等号成立，故D错误． 【练习5】（多选）已知，，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】AB 【解析】对于A，因，由可得， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，由， 当且仅当。即时，等号成立，故B正确； 对于C，因，由B项已得，当且仅当时，取得最小值为9，故此时取得最大值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 因无解，故得，即D错误. 故选：AB. 【练习6】（多选）下列命题正确的有（ ） A. 若正数满足，则的最大值为 B. 若正数满足，则的最小值为 C. 若满足，则的最小值为2 D. 若满足，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A，，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，， ，当且仅当且时等号成立，故B正确； 对于C，，整理得，又，所以， 则, 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，对任意，有，即， ，解得， 当且仅当或时等号成立，即的最小值为，故D正确. 故选：ABD． 模块三 二次函数与一元二次方程、不等式 知 识 点 睛 ①解一元二次不等式步骤：化正->求根->画图->写解集 1. 化正：将不等式化为标准形式，确保二次项系数 。（若 ，不等式两边同乘，切记变号！） 1. 求根：计算判别式 ，求出对应一元二次方程的实数根。 1. 画图：根据 和求出的根，快速画出二次函数 的草图。 1. 写解集：根据不等号的方向，结合图象写出解集（大于取两边，小于取中间）。 ②解分式不等式：不等式两端直接乘以分母的平方，将不等式化成一元二次不等式求解， 注意分母不为0. ③理解不等式解集和方程根的关系：关于x的不等式解集端点，是将不等号改成等号时所成方程的根。 Eg.关于的不等式的解集为，2是方程的根，则有。 关于一元二次不等式根与系数的关系，可以使用韦达定理： 热 点 题 型 归 纳 【例3】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】因为关于的不等式的解集为，所以，且有，故，故不等式即为，即为， 等价于，解得，故不等式的解集为. 故答案为：. 【练习7】（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（ ） A. 不等式的解集可以是 B. 不等式的解集可以是 C. 不等式的解集可以是 D. 不等式的解集可以是 【答案】ABD 【解析】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 【练习8】不等式的解集为________ 【答案】 【解析】移项通分可得，等价于，解得， 故答案为：. 【练习9】已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 若集合，求集合N； 【答案】 【解析】由集合，得方程的两根为1或5， 则，解得，由，即为，则， 即，解得， 所以. 【例4】（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】AC 【解析】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即 对于A，，A正确；对于B，不等式，化为，解得，B错误； 对于C，不等式，化，即，解得或，C正确；对于D，，D错误. 故选：AC 【练习10】若为实数，关于的不等式解集为，那么不等式的解集是________ 【答案】 【解析】关于的不等式解集为可得两根为和2， 则由韦达定理可得，则， 不等式即，即， 解得，故答案为：. 【练习11】已知不等式的解集为.求和的值； 【答案】 【解析】法一：由题意，和为方程的两解，且， 所以，解得或（舍去）， 所以 . 法二：由题意，为方程的两解，由韦达定理得，解得. 【练习12】（多选）已知关于不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为-4. 【答案】ABC 【解析】选项A：由关于的不等式的解集为，得：函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个交点，分别是.所以选项A 正确； 选项B ：由选项A知，关于方程的解集为， 所以，所以.所以不等式可化为， 即，即.解得：.所以选项B正确； 选项C ：，所以选项C正确； 选项D：由选项B知：.所以 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，所以取不到-4，所以选项D错误. 故选：ABC. 模块四 一元二次不等式的综合题 知 识 点 睛 题型一：解含参的一元二次不等式（分类讨论） ①若二次项系数带参，分三种情况来看； ②尝试十字相乘找出两根，若不会十字相乘法，可以直接求根公式，分三种情况来求解；（若用求根公式，此时的△一般为平方数，可以直接开方） ③若无法直接找出两根，求△，分三种情况来看。 ④若题中给出根的范围，第②、③步求出的根还需分析是否在题中所给的范围内，结合图像来求解。 题型二：一元二次不等式整数解的个数问题 先求解集，再分析解集中的整数解，确定好区间长度，列不等式把解集端点置于整数解的下一个区间中求解参数范围。 Eg.已知关于的不等式的解集中有且仅有4个正整数解，求实数a的取值范围__________. 解：不等式可化为，当时，解集为，因为解集中有4个整数解，应为1,2,3,4， 所以应大于等于4小于5. 题型三：不等式中的恒成立（能成立）问题 常用将不等式进行参变分离后求最值问题。恒成立，求f(x)最大值即可； 若为能成立，求f(x)的最小值。 热 点 题 型 归 纳 【例5】已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 （1）若集合，求集合 （2）是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）存在，m的值为-2或3 【解析】（1）若，则方程，解得， 由，则，即， 当时，不等式为，解得，即； 当，不等式变形为， 令，解得或， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 综上所述，当时，； 当时，； 当 时，； 当时， . （2）由，解得或， 令，解得， 即的解集为， 若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得 或 ， 又或，则满足条件的整数m的值为-2或3. 【练习13】解关于的不等式. 【答案】 见解析 【解析】①当时，不等式可化为，则解集为； 又不等式可转化为， ②当时，则，则不等式的解集为； ③当时，则，则不等式的解集为或. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【练习14】 已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 【练习15】（单选）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】∵ 当，即，不等式解集为或，存在无数个整数解，不符题意，故舍去； 当，即，不等式解集为，存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，，不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即，不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，，不等式解集为，∴原不等式的1个整数解为：2， ∴，则；综上所述：. 【例6】（单选）对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，不等式为符合不等式； 当，，可将不等式参变分离可变成恒成立， 则，所以; 综上，，选项A为充要条件，选项C为必要不充分条件，选项D为既不充分也不必要条件，选项B为充分不必要条件，符合题意.故选：B. 【练习16】（单选）若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. D. 5 【答案】D 【解析】将不等式移项成在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时， 取最小值6．故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 【例7】已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的总存在使得 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为 ，所以该函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减；又因为函数在上存在零点，所以， 所以，解得，所以a的取值范围为 （2）若对任意的总存在使得 成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 当时，的值域为. 当时，为常数，不符合题意舍去. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 综上，的取值范围为. 【练习17】已知是方程的两个实根. （1）若，求实数的值； （2）若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 课后作业 1. （单选）设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】且，则，但，不能推出且， 例如：，满足，但.故选：A. 2.（单选）已知正数满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】由于正数满足，则由基本不等式可得： ，解得，当且仅当时等号成立 故选：C. 3.（单选） 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】,，且a,b为正数， ， 当且仅当，即时，， 若不等式对任意实数恒成立，则对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立， ，，故选：A 4.（单选） 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】因为，，且，所以， 当且仅当，即，时取等号.故选：B 5.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】对于A：若，则结论不成立，故A错误； 对于B：由可得，.故B正确； 对于C：若,则结论不成立，故C错误； 对于D：，，故D正确.故选：BD. 6.（多选） 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】对于A，因，若，则，故A错误； 对于B， ，因为， 所以，则，即，故B正确； 对于C，若，取，则，故C错误； 对于D，若，则， 即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BD 7.（多选） 设．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】因为，，所以，故A正确； 因为，设，则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，当且仅当，即，时，等号成立，此时满足，，所以，故D正确． 故选：ACD 8.（多选）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. ab的最大值为 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错误. 9. 已知正实数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】设，则， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即， 所以当时，的最小值． 10. 若，且，则的最大值是__________. 【答案】0 【解析】， 又， ， ， 当且仅当，即当时，等号成立，则的最大值为0. 故答案为：0. 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $