第02讲 常用逻辑用语（3大知识点+8大题型归纳）期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第02讲 常用逻辑用语 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 3 知识点二：全称量词与存在量词 3 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 3 03 题型精讲 5 题型一：充分条件与必要条件的判定 5 题型二：命题成立的充要条件探究 6 题型三：命题真假的判定 7 题型四：命题的否定形式 9 题型五：利用充分条件求解参数范围 10 题型六：利用必要条件求解参数范围 12 题型七：利用充要条件求解参数范围 14 题型八：利用命题真假求解参数 16 04 过关测试 19 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点二：全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为， 读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词 短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等． 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为，， 读作“存在中的元素，使成立”． 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题：，， 它的否定：，． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题：，， 它的否定：，． 存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型一：充分条件与必要条件的判定 【典例1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. 【典例1-2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 【变式1-1】（25-26高一上·河北保定·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则或；若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由题意有：当时，满足，又，所以不能推出， 当时，满足，但，所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【解析】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 题型二：命题成立的充要条件探究 【典例2-1】（24-25高一上·山东·期中）“”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知只有选项A符合. 故选：A. 【典例2-2】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 【变式2-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为当时，推不出成立，当时，能推出成立， 所以是成立的必要不充分条件， 故选：D 【变式2-3】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 题型三：命题真假的判定 【典例3-1】（26-27高一上·辽宁·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 【典例3-2】（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【答案】B 【解析】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解析】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【解析】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 题型四：命题的否定形式 【典例4-1】（26-27高一上·山东·期中）已知命题 ，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知命题 ， 则： . 【典例4-2】（26-27高一上·贵州·期中）命题：“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题：“”的否定是， 故选项正确． 【变式4-1】（26-27高一上·重庆·期中）命题“ ”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得命题 的否定为： . 【变式4-2】（26-27高一上·北京·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 【变式4-3】（26-27高一上·四川·期中）已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】利用全称命题的否定可得出结论. 命题为全称命题，则命题的否定为，. 题型五：利用充分条件求解参数范围 【典例5-1】（26-27高一上·全国·期中）设全集，集合，非空集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【解析】（1） 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得， 则 ，解得，则实数的取值范围是. （2）由于集合B为非空集合，所以，解得， 由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集， 所以 ，解得，所以， 当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 【典例5-2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 【变式5-1】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 【变式5-3】（25-26高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则集合. 则，； （2）由题意可知集合是集合的真子集， 因此或，解得或， 所以实数的取值范围为． 题型六：利用必要条件求解参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 【典例6-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 【变式6-1】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知集合. (1)若，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，集合，则或， 因为，所以或. （2）命题，命题，且是成立的必要不充分条件，所以， 当时，即时，此时，满足； 当时，即时，要使得， 则满足且等号不能同时成立，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 【变式6-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）当为真命题时，有实数解， 即， 解得， 即； （2）由（1）知，， 因为，“”是“”的必要不充分条件， 所以，因此，解得， 即实数的取值范围是. 【变式6-3】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 【解析】（1）因为，由，所以， 解得， 所以的取值集合为； （2）由已知得，， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 综上所述，的取值集合为或； （3）由，可得， 解得，则的取值集合为. 题型七：利用充要条件求解参数范围 【典例7-1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【解析】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【典例7-2】（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【解析】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 【变式7-1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【解析】（1）不存在，理由如下： 若存在实数m，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数m，使得是成立的充要条件. （2）因为，故，故. 选①：充分不必要条件. 由题意，故，解得，故，即m的取值范围为 选②：必要不充分条件. 由题意，故，解得，故，又，故m的取值范围为. 【变式7-2】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【解析】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）不存在，理由略． 题型八：利用命题真假求解参数 【典例8-1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【解析】（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 【典例8-2】（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为为真命题， 所以当时，不等式为，在上恒成立，符合题意； 当时，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）若为真命题，即， 则对于． 由于， 所以，解得， 又因为有且只有一个是真命题， 所以当真假时， 解得； 当假真时， 解得． 所以实数的取值范围为． 【变式8-1】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 当时，则，解得， 当时，则或，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （2）因为命题“，”为真命题，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式8-2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 【变式8-3】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 1．（26-27高一上·天津·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立； 如果，则有 ，所以，即，必要条件成立； 是的必要不充分条件. 2．（25-26高一上·广东湛江·期中）设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】因为，，若，可知，则有，可得， 故充分性成立； 由，即，又，可得，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（26-27高一上·四川·期中）三国时期的蜀汉丞相诸葛亮是杰出的政治家、军事家、战略家、发明家和文学家，他在《诫子书》中写道：“非学无以广才，非志无以成学．”据此推断，“立志”是“广才”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为“不立志”，所以“不成学”，因为“不成学”，所以“不广才”， 所以设命题：若“不立志”，则“不广才”， 则命题的逆否命题为：若“广才”，则“立志”，即“立志”是“广才”的必要条件， 而题中并未提到若“立志”，则“广才”，所以“立志”不是“广才”的充分条件， 即“立志”是“广才”的必要不充分条件． 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】步骤1：判断充分性 方程，令，，可转换成，即. 解得或（舍去），即，由可推出方程成立，充分性成立. 步骤2：判断必要性 由步骤1可知，由方程可推出，必要性成立. 综上，选项C符合题意. 5．（26-27高一上·全国·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求否定是，． 6．（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，对恒成立， 因，则， 故是原命题成立的一个必要不充分条件. 故选：B 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】命题为假命题，则，解得或， 命题为假命题，则恒成立，则有， 所以命题均为假命题，则. 故选：A 9．（多选题）（26-27高一上·甘肃·期中）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【解析】由于集合，，则，所以，，故A正确； 对于B，由于中所有元素都属于，故B不正确； 对于C，取，则，，所以C不正确； 对于D，由，即中所有元素都属于，所以D正确. 10．（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 【答案】AC 【解析】选项A：假设，都不大于1，即，则，与条件矛盾， 所以假设不成立，故A正确； 选项B：当时，满足，但， 所以不是必要条件，故B错误； 选项C：当时，满足，所以，，故C正确； 选项D：当时，，不满足，故D错误. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 12．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 13．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 【答案】必要不充分 【解析】因为是的真子集， 则是的必要不充分条件． 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集. 由，知集合为非空集合， 则且等号不能同时成立，解得， 即实数的取值范围为. 17．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【解析】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 19．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若为真命题，有，解得或． （2）若为真命题，则或， 若为真，则，解得， 若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得或， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 常用逻辑用语 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 3 知识点二：全称量词与存在量词 3 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 3 03 题型精讲 5 题型一：充分条件与必要条件的判定 5 题型二：命题成立的充要条件探究 5 题型三：命题真假的判定 6 题型四：命题的否定形式 6 题型五：利用充分条件求解参数范围 7 题型六：利用必要条件求解参数范围 8 题型七：利用充要条件求解参数范围 9 题型八：利用命题真假求解参数 11 04 过关测试 13 知识点一：充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点二：全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为， 读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词 短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等． 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为，， 读作“存在中的元素，使成立”． 知识点三：全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题：，， 它的否定：，． 全称量词命题的否定是存在量词命题． （2）存在量词命题的否定 存在量词命题：，， 它的否定：，． 存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型一：充分条件与必要条件的判定 【典例1-1】（24-25高一上·广西河池·期中）是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（25-26高一下·贵州毕节·期中）“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式1-1】（25-26高一上·河北保定·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（25-26高一上·陕西西安·期中）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 题型二：命题成立的充要条件探究 【典例2-1】（24-25高一上·山东·期中）“”的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·吉林长春·期中）已知：，那么的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：命题真假的判定 【典例3-1】（26-27高一上·辽宁·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高一上·四川眉山·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式3-2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【变式3-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型四：命题的否定形式 【典例4-1】（26-27高一上·山东·期中）已知命题 ，则是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（26-27高一上·贵州·期中）命题：“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27高一上·重庆·期中）命题“ ”的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27高一上·北京·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（26-27高一上·四川·期中）已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 题型五：利用充分条件求解参数范围 【典例5-1】（26-27高一上·全国·期中）设全集，集合，非空集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【典例5-2】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【变式5-1】（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式5-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【变式5-3】（25-26高一上·四川成都·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型六：利用必要条件求解参数范围 【典例6-1】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【典例6-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【变式6-1】（25-26高一上·广西玉林·期中）已知集合. (1)若，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-2】（25-26高一上·安徽六安·期中）已知命题：关于的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)记是真命题时，实数的取值集合为，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，. (1)若，求的取值集合； (2)若是的必要条件，求的取值集合； (3)若，求的取值集合. 题型七：利用充要条件求解参数范围 【典例7-1】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【典例7-2】（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【变式7-1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段检测）已知集合，是否存在实数m，使得是成立的_______？ (1)是否存在实数m，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由；） (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数m存在，求出m的取值范围，若问题中的m不存在，请说明理由． 【变式7-2】设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【变式7-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型八：利用命题真假求解参数 【典例8-1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【典例8-2】（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【变式8-1】（25-26高一上·安徽安庆·期中）设集合，. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，”为真命题，求实数的取值范围. 【变式8-2】（25-26高一上·广东清远·期中）已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 1．（26-27高一上·天津·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·广东湛江·期中）设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（26-27高一上·四川·期中）三国时期的蜀汉丞相诸葛亮是杰出的政治家、军事家、战略家、发明家和文学家，他在《诫子书》中写道：“非学无以广才，非志无以成学．”据此推断，“立志”是“广才”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（26-27高一上·全国·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高一上·北京大兴·期中）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知：，，：，，若和均为假命题，则实数的取范围为（   ） A． B． C． D．或 9．（多选题）（26-27高一上·甘肃·期中）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 10．（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列命题中是真命题的有（    ） A．若，，且，则，中至少有一个大于1 B．的充要条件是 C．， D．， 11．（多选题）（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·上海·期中）若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 13．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 15．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，则是的___________条件．（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一填空） 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 19．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $