练案27 第三章 3.1.2 第2课时椭圆筒单几何性质的应用-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

& 从 1 整理得a2=3c2.故离心率e=仁=5 a=3 10.【解析】(1)若∠F,AB=90°，则△AOF,为等腰直角三角 形，所以有1OA1=1OF21, 即b=c 所以a=2c,e=￡=2 a-2 (2)由题意知A(0,b),F,(1,0), 设B(x,y),由AF=2F,B, 解得x=3y=b 代入 人+京=1， 962 得受+语=1，即品+1。 1 解得a2=3, 又c2=1,所以2=2， 所以椭圆的标准方程为 3+2=1. rrab=62π， 1 1l.AD由题意可知，2c=3×2a,解得a=3,6=2万，c=1,所 a2=b2+c2, 以椭圆的标准方程为二 4y2 0+。=1或9+81 12.C由题意可知IPF,I+IPF2I=2a,IPFI=5IPF21,则 IPEI-PEI号：IPF1-IPR1≤IFl智≤ 2c,≥子又e<1椭圆离心率的取值范围是[号， 1B等号=1椭圆C巾，a=2,c=2可1，放椭圆G 的病心*为方要在号+1中，令-1，得y=。 √2 放C,6在第一象限内公共点的生标为1，号)，设C:号 =1a>6>0,将(1，号)代入可得密+安1，又 *x2 区号解得分-子G正子敢G的方程为号+ a 4x2 1, 4.号 如图，切线PA,PB互相垂直，又半径OA垂直于PA,所 以△04P是等腰直角三角形，号-a,解得后-冬则离心 率e=2 2 —27 I5.ABD:地球的中心F是椭圆的一个焦点，结合图形可得 m=a-c-R,a-c=m+R,(*),故AB正确：由 In=ate-R.late=n+R. (*),可得2a=m+n+2R,故C不正确；由(*)，可得(m+ R)(n+R)=a2-c2,a2-c2=b,.b2=(m+R)(n+R), .b=/(m+R)(n+R),故D正确. 16.【解析】(1)由1AF,I=31F,B1,1AB1=4, 得IAF,I=3,IF,B1=1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16, IAF I+IAF,I=2a=8,AF,I=8-3=5. (2)设IFBI=k,k>0, 则IAFI=3k,IAB1=4k. 由椭圆定义可得IAF,I=2a-3k,IBF,I=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得IAB12=IAF12+IBF2I2- 2IAF,I·IBF,Icos∠AF,B, 即(4)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-g(2a-3)(2a-, 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0, 故a=3k. 于是有IAF1=3k=IAF,I,IBF2I=5k. 因此IBF,2=IF,AI2+IAB12, 可得F,A⊥F,A, 故△AFF2为等腰直角三角形. 从而c= 2a, 所以椭圆E的离心率e=。=, a 练案[27] 1.A解法一：直线过点(0,1)，而0+4<1，即点(0,1)在椭圆 内部，所以可推断直线与椭圆相交 ry=x+1, 解法二：联立直线与椭圆的方程，得 2 消去y得 15+4 =1, 9x2+10x-15=0,4=100-4×9×(-15)=640>0,所以直 线与椭圆相交 AD易知椭圆花+1的焦点为R,(0,-3),5,(0,3),所 以b=1或-1. 4 3.A由题意得 >2,所以m2+n2<4.又圆x2+y2=4 m +n 内切于鹅圆，所以点P(m,在椭圆号+子=1的内部，则过 点P(m网的直线与椭圆号+学-1有2个交点 4A由-，消去y得2x2+(x-1)2=4,即3-2x- 2x2+y2=4, 5 3=0弦的中点的横坐标是x=分×号=了，代人直线方程 y=-1中，得y=-号弦的中点坐标是（行子）】月 5.A以线段AA2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,:圆与直 线x-ay+2ab=0相切，6·0-a·0+2ad1=a,即26= √+(-a)2 √云+F,…。2=36.02=8+c2,2=26,三=2 -6 6.[1,5):直线y=x+1过定点M(0,1),.要使直线与该椭 圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得 0<m<5, 02.12 m, 解得1≤m<5, 05 76万1+y=0化成标准方程是学+学-1R(-3, 0),F2(3,0).直线PF2的方程为y=-45(x-3).由方程组 「16x2+25y2=400, y=-45(x-3), 可求得点P的坐标是(325）（坐标 满足方程组的另一个点在x轴下方，已舍去).故△PFF2的 面积S=号×25×6=65， 8.2√(m+R)(n+R)“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道是 以地球的中心F,为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a,短半轴 长为b,半焦距为c,则IAFI=a-c,IBFI=a+c, 0-c=m+R又B=a2-2=(a-c)a+c)=(m+R)(n+ la+c=n+R. R),∴.b=√(m+R)(n+R).∴.短轴长2b=2√(m+R)(n+R). 9【解析】由=x+m, 9x+16y2=144消去y得 9x2+16(x+m)2=144, 整理得25x2+32mx+16m2-144=0, 4=(32m)2-4×25×(16m2-144) =-576m2+14400. (1)当△<0时，得m<-5或m>5,此时直线1与椭圆无公 共点. (2)当△=0时，得m=±5，此时直线1与椭圆有且仅有一个 公共点. (3)当4>0时，得-5<m<5,此时直线l与椭圆有两个公 共点 10.【解析】设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方 程为x-y+a=0, 由+88消去得 Ix-y+a=0, 9y2-2ay+a2-8=0, 由4=4a2-36(a2-8)=0, 解得a=3或a=-3, ·.与直线1距离较近的切线为x-y+3=0, 它们之间的距离即为所求最短距离，且x-y+3=0与椭圆 的切点即为所求点P. -27 故所求最短距离为d=14-3!_巨 22 8 由+8=8得 1x-y+3=0, 1 y=3, 即P(号)广 山.B过桃圆后+首-1上的点4A(3,-)的切线1的方程为 3”+二2=1，即x-y-4=0,切线1的斜率为1.与直线1 12 4 垂直的直线的斜率为-1，故过A点且与直线l垂直的直线 方程为y+1=-(x-3),即x+y-2=0. 12.D设A(x1,少1)，B(x2,为)，中点M(xoo),由题意，得 +1 两式相减，得2伍6+2)=0 落+1， 16 4 因为A,B两点关于直线2x-2y-3=0对称，则kB=二2 x1-x2 =1,则空-空-0，即=4，联立。4： 解 12x0-20-3=0, r0=2, 得{ 即AB的中点坐标为（2，) %=2 13.82 设A(x1,y),B(x,),由 x2+2y2-2, 消去y得3x2 y=x-1, -4=0,可知A(0,-1),B(手写）又F1(-1,0. IFAI+1EB1=万+52_82 3=3 14.【解析】(1)由椭圆定义，可知点P的轨迹C是以(0， -√3)，(0，√3)为焦点，长半轴长为2的椭圆. 它的短半轴长b=√22-(3)2=1， 故曲线C的方程为2+士=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 【y=kx+1, 消去y,并整理得(k+4)x2+2kx-3=0, 2k 3 显然△>0，故+为=+4=+4 OA10.x1x2+y1y2=0. y1y2=2x1x2+k(x1+x2)+1, +444*1= 3 3k22k2 则x12+yy2=- k2+4 又x名2+2=0，小k=±2 1 当=士分时满+=于音名=号 .1AB1=(1+)[(x1+x2)2-4x12] 6 √(+)×[（年号）-4x(-号)] -√层4 172 17 54y-0(-号<：<号）设料率为2的直线与箱圆片 y2=1交于点A(x1,y),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y), 由点差法可知，k=2==号× x1-x2 y1+y2 y x2 即x+4y=0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，2+ (-）广<1，解得-号<x<专：所求的轨迹方程为+ 4=0(-于<<号)月 16.【解析】（1)由题意知b=15,a+9=34, 解得a=25,b=15. 所以两个丰营国方程分别为京+后-1(：≤0)和行+后 =1(x≥0) (2)设P(x0,t)为矩形在第一象限内的顶点，Q(x1,t)为矩形 在第二象限内的顶点， 则+多1+原山， 可得x=-9o 25 所以内接矩形的面积S=24(-)=2×。=15×34× 2号≤15×34（停+）=50. 当且仅当号=5时，5取最大值510 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 练案[28] 1.B因为方程对应的图形是双曲线，所以(k-5)(1k1-2)> 0,即-5>0，或-5<0， 1-2>0或{61-2<0.解得k>5或-2<6<2 2.D由题意可知2a=10,c=√a2+6=13,解得a=5,b=12, 所以双情线C的方程是路在-1 3.D因为k>1,所以1-k<0,k2-1>0,所以方程(1-k)x2+ y2=2-1所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 4.D依题意，IAFI-1AF,I=2a=8,IBFI-IBF,I=2a=8, 所以(IAFI-IAF,I)+(IBF,I-IBF,I)=16,又IAB1=5, IAF2I+IBF2I =16+(IAFI+IBF 1)=16+1ABI =16 +5=21.所以IAF2I+IBF2I+IAB1=21+5=26.即△ABF 的周长是26. ,22 5B设双曲线的标准方程为后-京=1(a>0,6>0),易知c= 5,又：d+公，所以6-5-心，所以号写。=1.因为 y 线段PF,的中点坐标为(0,2)，F(-5,0),所以点P的坐标 —27 为5,4).将(5，)代人双曲线方起，得-写=1，解得 。=1或。=25（含去），所以双曲线的标准方程为子-号 =1. 6.AC若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为三 2-62 b2=-2a2, 1 ,解得{ 1（a>0,6>0),由已知得1-=1，☐ 口=乞‘故双曲 1b2=1, 线的标准方程为 1 -y2=1,即2x2-y2=1.若双曲线的焦点 在y销上，设其标准方程为片-若=1(0>0,6>0)，已知 x2 rb2=2a2, 1 得{11 解得 口=2'故双曲线的标准方程为 La262 =1, 2=1, 2 x2=1,即2y2-x2=1. ra>0. 7.A由题意知0<d2<4, 解得a=1. 4-2=a+2, 8.33在双曲线中，由436=1可得a=8,6=6,c=10,由双 曲线的图形可得，点P到右焦点F,的距离d≥c-a=2.因为 1IPFI-IPF,II=2a=16,1PF,I=17,所以IPF,I= 33(1PF21=1舍去). 云=1椭圆后+云-1的长轴端点为(0，-5).(0,5)， v2 9. 焦点为(0，-3)，(0,3)，因此以(0，-3)，(0,3)为顶点，(0， -5),(0,5)为焦点的双曲线虚半轴长为5-32=4，方程为 10.【解析】由题意得1IPFI-IPF2II=2a, 在△FPF,中，由余弦定理得 cos 60=IPF+IPFFF12 2IPF IIPF2I (IPF-IPF:1)2+21PF 11PF1-11 21PF IIPF,I .'IPF I.IPF,I=4(c2-a)=462. FPFIsin 60 =26.5=52 2 .√362=125,62=12. 由c=2a,c2=a2+b2,得a2=4. 从双音线的标准方程为号后=1 11.B由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆与双曲线的定义可得 PE1+PB,1=14,所以PE1=8 IPF,1=6,又 或 PFI-IPF211 =2, IPF21 =6IPF21=8. IFF2I=10,所以△PFF2为直角三角形，∠FPF2=90°.所练案[27]第三章3.13.1.2[第 A组·基础巩固 1.直线)=x+1与椭圆写+4=1的位置关系是 ( A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.（多选)若直线1：2x+by+3=0过椭圆C: 10x2+y2=10的一个焦点，则b的值可以是 A.-1 D.1 3.若直线mx+ny=4和圆0：x2+y2=4没有交 点，则过点P(m,n)的直线与椭圆号+ 4s1 的交点个数为 A.2 B.1 c.0 D.0或1 4.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦 的中点坐标是 ( A(令-) B(-号) c(分，-3) n.(-32) S已知椭圆c专￥ =1(a>b>0)的左、右顶 点分别为A,A2,且以线段AA2为直径的圆与 直线bx-ay+2ab=0相切，则椭圆C的离心 率为 ( ) 4.16 3 B.③ 3 G.② 3 6.若直线y=x+1与焦点在x轴上的椭圆发+ =1总有公共点，则实数m的取值范围为 2 7.如图所示，已知点P是椭圆16x2+25y2=400 上一点，且在x轴上方，F,F2分别是椭圆的 左、右焦点，直线P℉2的斜率为-4√3，则 △PF,F2的面积是 18 2课时椭圆简单几何性质的应用] 8.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道 分为三个阶段：绕地阶段、变轨阶段、绕月阶 段.绕地阶段时的运行轨道是以地心F,为一 个焦点的椭圆，近地点A离地面的距离为m, 远地点B离地面的距离为n,地球的半径为R, 则卫星运行轨道的短轴长为 9.当m取何值时，直线1：y=x+m与椭圆9x2+ 16y2=144分别满足下列条件： (1)无公共点； (2)有且仅有一个公共点； (3)有两个公共点 10.已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P,使 P到直线1：x-y+4=0的距离最短，并求出 最短距离 0一 B组·综合运用 1.已知过圆锥曲线+亡=1上一点P(x,o) m n 的切线方程为片·丹-1过鞘圆后+聋-1 上的点A(3,-1)作椭圆的切线1，则过点A 且与直线1垂直的直线方程为 A.x-y-3=0 B.x+y-2=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 12椭圆6+片-1上的两点A,B关于直线2x 2y-3=0对称，则弦AB的中点坐标为 4(-1,2) B(分，-1） c(22) D.(2,2） 13.已知R,为椭圆C号+y2=1的左焦点，直线 1:y=x-1与椭圆C交于A,B两点，那么 IF,A|+IF,BI的值为 14.在平面直角坐标系Oxy中，点P到两点(0， -3),(0,√3)的距离之和等于4，设点P的 轨迹为C. (1)写出曲线C的方程； (2)设直线y=x+1与C交于A,B两点，k 为何值时，满足OA⊥OB?此时1AB1的值 是多少？ 1 C组·拓展提升 15,已知椭圆+y=1,则所有与椭圆相交且斜 率为2的弦的中点的轨迹方程为 16.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的 矩形地块内开凿一个水池，水池边缘由两个 半横国后+卡-1（≤0）和旷+后=1（≥0） x 组成，其中a>b>9,水池边缘内切于矩形 (即水池边缘与矩形各边均有且只有一个公 共点) 34 (1)求两个半椭圆的方程； (2)在该水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼， 若该矩形网箱的一条边所在直线方程为 y=t(t∈(0,15))，求该网箱所占水面面 积的最大值. 81—