3.1.2 椭圆的简单几何性质（第4课时） 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第4课时：直线与椭圆相交，弦长与中点弦问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， (1)若，中点的纵坐标为，求直线的方程； (2)若弦长，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线的方程为，联立椭圆方程并根据纵坐标可得，求出直线的方程； （2）利用弦长公式计算求得直线的方程，可得. 【详解】（1）根据题意可设直线的方程为， 设的中点为，如下图所示：    联立，整理可得， 易知，解得或， 且，由，中点的纵坐标为，可得， 解得或（舍）， 因此直线的方程为. （2）由（1）可得； 又弦长，可得， 整理可得， 解得，即，满足题意， 因此直线的方程为，即， 可得. 【例2】已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆右顶点以及经过点的坐标解方程即可求得椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式直接计算即可得出结果. 【详解】（1）由题意知， 代入点，即，解得， 可得椭圆的方程为； （2）联立与， 化简得， 可得， 由可得， 即解得， 所以， 可得， 即弦的长为. 【例3】已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于两点， (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率. 【答案】(1) (2)最大值，斜率为 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案； （2）设直线的方程为，设，，进而将直线的方程与椭圆方程联立，并结合韦达定理得，再令，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：由题知：， 所以椭圆. （2）设直线的方程为，设､， 与椭圆方程联立得，消去得. 则，所以. 由根与系数的关系知，， 所以.① 令，则①式可化为. 当且仅当，即时，等号成立. 此时，所以直线的斜率为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 2．设为椭圆上一点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则矩形面积的最大值为（    ） A．9 B． C． D．18 【答案】B 【分析】结合面积公式，由基本不等式即可直接求解； 【详解】 由题意知，矩形的面积， 而，所以. 当且仅当时取等号； 故选：B 3．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入椭圆方程，即可得解. 【详解】不妨设为右焦点，则， 联立，解得，故． 故选：B． 4．设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，斜率相等列等式即可求解. 【详解】如图所示：    因为是椭圆的左焦点，所以， 因为是椭圆上的一点，轴，将代入得，所以， 又，所以，即，整理得， 所以. 故选：C. 5．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理即可求出中点坐标. 【详解】联立方程 ，得 ， ， 中点M的坐标为 ； 故选：D. 6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 二、多选题 7．已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆的焦点，则 【答案】BD 【分析】根据给定条件，结合椭圆中点弦问题逐项判断得解. 【详解】对于A，设，则， ， 因此，即，直线与不垂直，A错误； 对于，由点，得，则，则直线的方程为，即，B正确； 对于C，由直线的方程为，得，点的坐标不可能为，C错误； 对于D，过椭圆焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长， 而椭圆最短弦长为1，最长弦长为4，又直线的斜率存在且不过原点，则，D正确. 故选：BD 8．已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 9．已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项． 【详解】对于A，设，由题意，是中点，故， 因为在圆上，所以，化简得，A正确； 对于B，联立，整理得， ， 设，由韦达定理得，， 所以 ，B错误； 对于C，原点到直线：的距离， ，C正确； 对于D，椭圆的参数方程为，， 点到直线距离公式， ，其中， 最大值出现在时， ，D正确． 三、填空题 10．已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为______． 【答案】 【分析】本题考查弦长公式的使用，． 【详解】∵，则, ∴椭圆T：，左焦点F 设直线：，， 联立方程：消去y得： ∴ 可得： ∴椭圆T： 故答案为：． 11．已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为______． 【答案】 【分析】设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程，利用得，又根据的关系即可求解. 【详解】根据题意可得， 设直线的参数方程为（为参数），由中点的坐标为，所以， 代入椭圆方程整理得． 根据题意可得，即． 又，所以椭圆的方程为． 故答案为：. 12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点， M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为_________；若，则直线的方程为_________． 【答案】 /0.5 【分析】应用点差法转化斜率积可求离心率,设直线与椭圆联立,应用已知距离可求直线方程. 【详解】设点，，在椭圆上 ．．．．．．．．．．．．．．① ．．．．．．．．．．．．．．．② 因为 ．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得，即，所以， 由③得， ，则， 过平行于的直线与椭圆交于B，C两点, ， ， 设直线BC为 联立,可得 ，则, .由题意 即直线的方程为 故答案为: ; 四、解答题 13．已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 14．已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得到，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第4课时：直线与椭圆相交，弦长与中点弦问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，， (1)若，中点的纵坐标为，求直线的方程； (2)若弦长，求的值. 【例2】已知是椭圆的右顶点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，且，求弦的长. 【例3】已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于两点， (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 2．设为椭圆上一点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则矩形面积的最大值为（    ） A．9 B． C． D．18 3．已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 4．设为坐标原点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与垂直 B．若点的坐标为，则直线的方程为 C．若直线的方程为，则点的坐标为 D．若直线过椭圆的焦点，则 8．已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 9．已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 三、填空题 10．已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为______． 11．已知椭圆的右焦点为，经过该焦点的直线交椭圆于两点，若中点的坐标为，则椭圆的方程为______． 12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点， M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为_________；若，则直线的方程为_________． 四、解答题 13．已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 14．已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $