3.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时：椭圆几何性质的应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【答案】(1)长轴长，短轴长，离心率 (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得长轴长，短轴长及离心率； （2）先求得焦点坐标，然后设出所求椭圆的方程，通过代入点来求得正确答案. 【详解】（1）由题可知， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为. （2）因为椭圆的焦点为， 所以与其有相同的焦点的椭圆的方程可设为， 其中， 所以椭圆的方程为， 将代入得， 解得，或（舍）， 所以椭圆的标准方程为． 【例2】若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，求该椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据题意可得，，利用待定系数法即可求解. 【详解】由题可设椭圆的标准方程为, 因为椭圆一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍， 则有解得, 故椭圆的标准方程为. 【例3】已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，求出，再由 求出，从而可求得椭圆方程， （2）设，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可 【详解】（1）依题意，得，离心率， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）设，则，则有 所以， 由两点间的距离公式，得 ， 因为， 所以当时，线段的长度最大，为. 【基础夯实】 一、单选题 1．若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 2．已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 3．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 4．焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定椭圆标准方程的形式，再计算参数的值，代入即可得到椭圆方程. 【详解】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 5．椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得椭圆的长半轴长，短半轴长和焦距，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 又由椭圆，可得， 则， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率， 所以变化时，椭圆的离心率不一定相同，所以A不正确； 对于B，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为， 所以无论怎样变化，椭圆的焦距相同，所以B正确； 对于C，根据椭圆的性质，椭圆没有渐近线，所以C不正确； 对于D，椭圆的顶点坐标为， 椭圆的顶点坐标为， 所以椭圆的顶点坐标不相同，所以D不正确. 故选：B. 6．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知分别为该椭圆的右顶点和上顶点，，则其焦点在纵轴上， 不妨设该椭圆方程为，即，所以该椭圆方程为. 故选：C 二、多选题 7．椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】根据题设椭圆方程及的关系先求出，再结合条件求出，即得，，再由椭圆的定义求出的周长即可. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则焦距为，故A正确； 由椭圆的对称性，知，又，则得， 则的短半轴长，则短轴长为2，故B错误； 则椭圆的离心率为，故C正确； 的周长为，故D错误. 8．已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 【答案】BD 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（   ） A．离心率 B．的周长与点M的位置无关 C． D．直线与直线的斜率之积为定值 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误； ∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合）， ∴，故B正确； 因为，即，故C正确； 不妨设，，，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 10．已知椭圆：的右焦点，则________； 【答案】 【分析】根据椭圆中的的关系求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 又， 解得 11．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 12．已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由椭圆方程求出的范围，的范围，即可得解. 【详解】由，可得，. 所以的最小值为，的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题 13．设椭圆：（），长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程． 【答案】(1) 因为长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，， 所以，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形； (2). 【分析】（1）根据菱形的判定定理，结合椭圆长轴和短轴的定义进行证明即可‘ （2）根据菱形的面积公式和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：四边形为菱形， 因为四边形的面积为120，边长为13， 所以有，椭圆的标准方程为：. 14．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 【答案】 【分析】由，两点关于y轴对称，得椭圆C经过，两点，又，得点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程列方程组即可求解. 【详解】解：由题意，因为，两点关于y轴对称，所以椭圆C经过，两点， 又由，知，椭圆C不经过点，所以点在椭圆C上， 因此，解得， 所以椭圆C的方程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第1课时：椭圆几何性质的应用） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆. (1)求椭圆的长轴长，短轴长及离心率； (2)求与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程． 【例2】若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，求该椭圆的标准方程． 【例3】已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值. 【基础夯实】 一、单选题 1．若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 2．已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 4．焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 5．椭圆与椭圆的关系为（   ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 6．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点，的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的焦距为2 B．的短轴长为1 C．的离心率为 D．的周长为 8．已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（   ） A．离心率 B．的周长与点M的位置无关 C． D．直线与直线的斜率之积为定值 三、填空题 10．已知椭圆：的右焦点，则________； 11．与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 12．已知为椭圆上任意一点，则的最小值为_____，的取值范围是_____. 四、解答题 13．设椭圆：（），长轴的两个端点分别为，，短轴的两个端点分别为，． (1)证明：四边形为菱形； (2)若四边形的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程． 14．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $