辽宁鞍山市海城市育才学校2026-2027学年高二上学期10月份月考数学试卷

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B A A D C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据对称即可求解. 【详解】点关于平面yOz对称的点的坐标为， 故选：B 2．C 【分析】利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得的值，进而得解. 【详解】∵向量,且， ∴,解得. ∴, 故选：. 3．C 【分析】以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标，，，进而可得结果. 【详解】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则 ，设EF与所成的角为， 则 故选：C 4.B 【详解】设， 因为， 所以， ， 又因， 所以，得到， 所以，， 所以， 5．A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 6．A 【分析】求出，利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题可得，又直线的方向向量为， 所以点到的距离为； 故选：A 7．D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 8．C 【详解】对于A，分别是棱的中点，则， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，所以平面， 因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变， 即三棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，因为，平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h， ， ，，， 由，得，则，B错误；    对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,    设，则，，，， 由，得，解得， 由于，因此存在点，使得，C正确； 对于D，由选项C得在的投影点为， 则P到的距离， 面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决. 9．ACD 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 10．ACD 【解析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择. 【详解】解：对于A：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故A正确； 对于B：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故B错误； 对于C：若，，是空间的一组基底，且， 则，即， 可得到，，，四点共面，故C正确； 对于D：若向量，，，是空间一组基底， 则空间任意一个向量，存在唯一实数组， 使， 则，，也是空间的一组基底. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题型. 11．ABD 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明线性垂直、求异面直线所成角判断A、C；根据正方体的结构特征及二面角的定义判断B、D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 对于A：， 因为，所以，即，正确；    对于B：由正方体的结构特征知，且四边形为矩形， 所以E到的距离为，正确． 对于C：， 设直线AE与所成角为，则， 显然在中，随的变大而变小， 当时，最大等于，此时最小为， 当时，最小等于0，此时最大为， 所以，即直线AE与所成角的范围为，不正确； 对于D：二面角，即二面角， 平面平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，则二面角的大小为，正确. 故选：ABD 12．8 【分析】由题意得，再根据空间向量平行公式求解即可. 【详解】由题意得，则，得． 故答案为：8 13． 【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标. 【详解】依题意，设， 因为，，， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 14．-2 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，求最小值. 【详解】以D为原点，DA 为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，，点为底面上一点，设， 有，， ， 当时，的最小值为-2. 故答案为：-2 15．(1) (2)2或 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【详解】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 16．(1) (2)0 【分析】（1）将放在三角形或多边形中利用向量的线性运算法则表示即可； （2）将均用基底表示出来，再运算即可． 【详解】（1）因为点E为的中点， 所以． （2）因为， 所以 . 17．(1) 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则，     因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以，     因为，，平面，所以平面，     又平面，则； (2). 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用向量夹角和线面角之间的关系求出. 【详解】（1）略 （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 设与平面所成角为， 所以，     即与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离； （2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值. 【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP. ∵为等边三角形，∴，OA=1，. 又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面PAD，∴平面ABC. 又∵平面ABCD，∴. ∵，∴，∴. 又∵，平面POB， 平面POB，，∴平面POB. 又∵平面POB，∴. ∴， 设点A到平面PBC的距离为h， 则即，∴； （2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，. 设，则，. 得，则. 又平面ABC，则取平面ABCD的法向量. 设AE与平面ABCD所成的角为，则 ，解得. 则，. 设平面ADE的法向量，则. 令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量. 故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为. 19．(1) 如图所示： 在图1中连接，交于， 因为四边形是边长为2的菱形，并且， 所以，且， 所以在图2中，如图所示， 所以是二面角的平面角， 因为，所以， 所以二面角是直二面角， 即平面平面； (2)存在，，理由如下： 由（1）知， 所以分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 因为到平面的距离， 解得， 所以，所以， 设直线与平面所成的角为， 则直线与平面所成角的正弦值为 【分析】（1）先根据菱形对角线互相垂直得到，再得到二面角并根据边长关系求出二面角为直角，最后得到结论即可； （2）先有三边两两垂直建立空间直角坐标系，然后根据点到面的距离求出，最后根据线面角的正弦值的额公式代入求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学 校 班 级 姓 名 学 号 高二数学 2026-2027学年度上学期10月份考试 考试时间：120分钟 分数：150分 考试范围：选择性必修一第一章空间向量与立体几何 第I卷（选择题，共60分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题5分）2．在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知向量,且，则（    ） A．4 B．8 C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 3．（本题5分）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知点，若点P满足，则（    ）． A．37 B． C．57 D． 5．（本题5分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）．已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 7．（本题5分）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（    ）    A． 三棱锥的体积不是定值 B．直线到平面的距离是 B． 存在点，使得 D．面积的最小值是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．（本题6分）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 10．（本题6分）下列关于空间向量的命题中，正确的有（   ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D．若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底. 11．（本题6分）如图，正方体的棱长为a，E是棱CD上的动点，且．则下列结论正确的是（   ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线AE与所成角的范围为 D．二面角的大小为 第II卷（非选择题，共90分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（本题5分）在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 13．（本题5分）在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是_____________. 14．（本题5分）在长方体中，，，点为底面上一点，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 16．（本题15分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 17．（本题15分）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值． 19．（本题17分）图1是直角梯形，四边形是边长为2的菱形并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $