精品解析：四川成都市青羊实验中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

八年级数学 （满分：150分 时间：120分钟） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不是“勾股数”的是（ ） A. 5，3，4 B. 7，24，25 C. 30，40，50 D. 0.3，0.4，0.5 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. 负数没有立方根 D. 的立方根是它本身 5. 与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 7 6. 如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB=6，AC=10，则=（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 计算：________． 11. 如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 12. 已知一个正数x的两个平方根是和，则a的值是________． 13. 如图，在中，，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，BC相交于点D，E，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知是网格中的格点三角形． （1）求的面积； （2）求BC边上的高． 16. 按要求完成下列各题： （1）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； （2）已知，，求代数式的值． 17. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 18. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． B卷（满分50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值为________． 20. 已知x，y都是实数，且，则的值为________． 21. 已知等腰三角形的腰长为，一腰上的高为9，则底边长为________． 22. 如图，中，，为边上中线，若，周长为，则的面积为____. 23. 如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 二、解答题（共30分） 24. 如图所示，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，点表示的数记为，点表示的数记为，令． （1）分别求出和的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 25. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 26. 在中，，点E是直线AB上一点，于点F，于点H，点D为的中点，连接 ． （1）如图1，若，E在边上，交于点M，F为的中点，若，求的值． （2）如图2，若，且E在边上，求证：； （3）如图3，若，且E在的延长线上，，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （满分：150分 时间：120分钟） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；，是整数，属于有理数；是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数 2. 下列各组数中，不是“勾股数”的是（ ） A. 5，3，4 B. 7，24，25 C. 30，40，50 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需为正整数，可先据此快速排查选项． 【详解】解：满足的三个正整数称为勾股数． ∵ A、B、C中的数均为正整数，且分别满足，，， ∴ A、B、C均是勾股数， ∵ D中的数为，，，不是正整数， ∴ D不是勾股数． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 与不是同类二次根式，不能合并， ∴ A选项错误； ∵ ， ∴ B选项错误； ∵ ， ∴ C选项错误； ∵ ， ∴ D选项正确． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，是三角形的三边，则 B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. 负数没有立方根 D. 的立方根是它本身 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形性质和立方根的概念．选项A和B涉及勾股定理的条件，选项C和D涉及立方根的定义，通过逐一判断，只有选项D正确． 【详解】解：A、只有当三角形是直角三角形，且c为斜边时，才有，但题干未指定三角形类型，故A错误； B、在直角三角形中，只有两条直角边的平方和等于斜边的平方，若第三边不是斜边，则不成立，故B错误； C、负数有立方根，如，故C错误； D、，所以的立方根是，即它本身，故D正确． 故选：D． 5. 与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 6. 如图，在中，，，是的高线．若，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由直角三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 8. 如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB=6，AC=10，则=（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理求出BC的长，再由折叠性质求出EC的长、证明△DEC是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE的方程，求出DE后，由面积公式求出 【详解】∵△ABC是直角三角形，AB=6，AC=10 由勾股定理得：BC= 8， 由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°， ∴EC=AC-AE=10-6=4， 设BD=x，则DE=x，，CD=8-x， 在Rt△CDE中，，即， 解得x=3，即DE=3， 所以△CDE的面积为：6． 故选：D． 【点睛】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE中的三边，运用折叠易求得EC=4，和其它两边的一个相等关系即：DE+CD=8，此时列方程就很关键了． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简两项，再合并计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴原式． 11. 如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正方形的面积可知和，利用勾股定理求出，进而可得出字母R所代表的正方形的边长． 【详解】解：根据正方形的面积为边长的平方可知和， 在中，， 则字母R所代表的正方形的边长为． 12. 已知一个正数x的两个平方根是和，则a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 合并同类项得， 移项得， 解得． 13. 如图，在中，，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，BC相交于点D，E，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用．连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，，再由已知条件利用勾股定理的逆定理证得为直角三角形，设，则，利用勾股定理列出方程求解x的值，并最终求得的长． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，为的垂直平分线， ∴，， 由线段垂直平分线的性质可知，， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算或解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘除法则化简，再合并同类二次根式； （2） 分别化简每一项，再合并计算结果； （3） 整理方程后，直接开平方求解； （4） 整理方程后，直接开立方求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 当，得 当，得 综上所述， 【小问4详解】 解： ． 15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，已知是网格中的格点三角形． （1）求的面积； （2）求BC边上的高． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）因为三角形在网格中且顶点都是格点，所以可使用割补法，用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积求解． （2）首先根据勾股定理计算的长度，再结合三角形面积公式，将已求得的面积和的长度代入，即可求出对应高． 【小问1详解】 解：把放在它外围的边长为4的正方形中，用正方形的总面积减去周围3个直角三角形的面积，就能得到的面积． 外围大正方形面积：， 左上角直角三角形面积：， 右面角直角三角形面积：， 下面角直角三角形面积：，  因此． 【小问2详解】 解：观察格点可知，横向占1格、纵向占4格， 因此， 设边上的高为， ∴， 解得． 16. 按要求完成下列各题： （1）已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）的平方根为 （2）的值为 【解析】 【小问1详解】 解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 17. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】 （1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） ①证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ； ②点G到直线的距离为 （2） ，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折得，，， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②解：， ，， ， ，， ， ， ， 由翻折得，，， ， ， ， 点、点、点三点共线， ， 设点到直线的距离为， 则， 即； 【小问2详解】 略 B卷（满分50分） 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，得到整数部分和小数部分的值，代入代数式后利用平方差公式计算即可. 【详解】解：， ， ∴， 的整数部分为，小数部分为， ，， . 20. 已知x，y都是实数，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负，先求出的值，再代入求出的值，最后计算． 【详解】解：∵二次根式中被开方数必须是非负数， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 因此， 把代入， 得， 所以． 21. 已知等腰三角形的腰长为，一腰上的高为9，则底边长为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】当等腰三角形为锐角三角形时，高在三角形内部，记等腰三角形为，过点作交于点，则：，，根据勾股定理求出，即可得，再根据勾股定理即可求出底边长，同理求出当等腰三角形为钝角三角形时，底边的长，综合即可得答案. 【详解】解：①如图， 当等腰三角形为锐角三角形时，高在三角形内部，记等腰三角形为，过点作交于点，则：，， 在中，根据勾股定理得：， ∴ ， 在中，根据勾股定理得：， ∴当等腰三角形为锐角三角形时，底边长为. ②如图， 当等腰三角形为钝角三角形时，高在三角形外部，记等腰三角形为，过点作的延长线于点，则：，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴当等腰三角形为钝角三角形时，底边长为. 综上所述，等腰三角形的腰长为，一腰上的高为9，底边长为或. 22. 如图，中，，为边上中线，若，周长为，则的面积为____. 【答案】4 【解析】 【分析】设长为，长为，根据为直角三角形斜边的中线，可求出的长度，即求出的值，然后根据周长为，可求出的值，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设长为，长为， 在中，，为边上中线且， ， ， 又周长为， ， ． 的面积为：． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和完全平方公式，解答本题的关键在于根据为直角三角形斜边的中线，求出的长度，利用勾股定理和完全平方公式变形求解． 23. 如图，在等腰中，，，点M是边上一动点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】在上取一点，连接，使，在上截取，连接， 作直线， 因为， ，所以，，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值是，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线， ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 二、解答题（共30分） 24. 如图所示，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，点表示的数记为，点表示的数记为，令． （1）分别求出和的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）39 （3）7 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用网格的性质，勾股定理求出，再结合数轴得出结果即可； （2）根据完全平方公式进行化简求值即可； （3）先利用分母有理化求出t的值，化简得到，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵点A表示的数为1， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是________； （2）若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． （3）已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． （4）拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】（1） （2）如图，即为所求， ； 3 （3）的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 （4）5 【解析】 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ， 则的面积是； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， ， 则的面积是； 【小问3详解】 解：， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； 【小问4详解】 解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 26. 在中，，点E是直线AB上一点，于点F，于点H，点D为的中点，连接 ． （1）如图1，若，E在边上，交于点M，F为的中点，若，求的值． （2）如图2，若，且E在边上，求证：； （3）如图3，若，且E在的延长线上，，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：证明：如图2，连接， ∵，点D为的中点， ∴，即； ∵，即是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，在上取一点N，连接使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得到；证明，得到，，再证明，得到，进一步证明，得到，则由勾股定理可得； （2）连接，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到；证明，得到，再证明，由勾股定理可得； （3）在上取一点N，连接使得，连接，证明是等边三角形，得到，；求出；证明是等腰直角三角形，得到，则垂直平分，据此得到；可证明，得到，得到；设，则，可求出；证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $