精品解析： 四川省成都市青羊区教育科学研究院附属中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

青羊教科附初2024级数学学情反馈（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. ，， 4. 下列计算，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（ ） A. 13 B. C. D. 16 7. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ部分（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 10. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 11. 已知实数，满足，则代数式的值为_______． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 13. 如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于_____． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. （1）解方程：； （2）解方程：． （3）计算：； （4）计算：． 15. 解答 （1）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 18. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 20. 若，则________． 21. 在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______，______． 22. 如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为___________． 23. 在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为___________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24. （1）化简：； （2）若，求的值． 25. 成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 26. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青羊教科附初2024级数学学情反馈（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列数，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义． 利用无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，为有理数； ，为有理数； ，为无理数； ，为无理数； ，为有理数； （相邻两个1之间0的个数逐次加1），为无理数． ∴无理数有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， 故选：A． 2. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，先计算，再计算该值的平方根． 【详解】， 的平方根是， 故选：B． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，5 B. ，2， C. 8，15，17 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 6. 如图，有一圆柱，其高为9，它的底面周长为10，蚂蚁从圆柱外部表面点A爬到圆柱内部点B处，其中B离上沿为3，则蚂蚁经过的最短路程为（ ） A. 13 B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，在中，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面沿过A点的一条竖线展开， 连接，则线段的长即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意得，，， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁经过的最短路程为， 故选：B． 7. 若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得 ，， 由点P位于第四象限，得 ，， 点P的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键． 8. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 第Ⅱ部分（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 要使二次根式有意义，则x的取值范围为____________. 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x﹣8≥0， 解得：x≥8 故答案为x≥8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的被开方数为非负数的性质是解题关键. 10. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 11. 已知实数，满足，则代数式的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，求代数式的值， 根据求出x，y，再代入待求式求出结果 【详解】解：∵ ∴ 解得 所以代数式 故答案为：1 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于_____． 【答案】##0.875 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. （1）解方程：； （2）解方程：． （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）或；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，求平方根和求立方根的方法来解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； （3）先计算二次根式乘法，再计算立方根，最后计算减法即可得到答案； （4）先化简二次根式和计算负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴； （3） ； （4） ． 15. 解答 （1）实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数轴上的位置，判断出，，的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到、的值，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：由数轴知， 原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及三角形面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求三角形面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）直接根据关于轴对称的点的坐标变化规律写出坐标； （3）利用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于轴对称的点的坐标特征可知： ； 【小问3详解】 解：． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 18. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】∵为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者． 或者作差法：， 所以，前者小于后者． 故答案为＜ 20. 若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的意义，零指数幂，有理数的乘方，不等式组，代数式求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据二次根式的意义求出x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， 则， ∴． 故答案为：2． 21. 在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 2或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两点间的距离等于纵坐标之差的绝对值是解题关键．根据在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两点间的距离等于纵坐标之差的绝对值可得，，由此即可得． 【详解】解：∵点，点，且轴，， ∴，， ∴或， 故答案为：1；2或． 22. 如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质分别求出的边长即可解决问题． 【详解】∵等边的边长为1，作于点D， ∴， ∴的长分别为， ， 等边的顶点的横坐标＝， 等边的边的中点的横坐标为， 其纵坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是发现点的横坐标变化规律． 23. 在中，，，，点D在线段上从点C向点B移动，同时，点E在线段上由点A向点B移动，当点D与点B重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，可证，得，由，当点、、三点共线时，取等号，即可求解． 【详解】解：∵，，，则， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，，、 ∴， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，取等号，即的最小值为：． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，添加辅助线构造，得，将转化为是解决问题的关键． 二、解答题（本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24. （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）9；（2）5． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化． （1）先分母有理化，再进行加减法即可； （2）先得到，再求出，整体代入求值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， ，， ， 原式． 25. 成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段上一动点，分别过B、D作，．连接、．已知，，．设，则，，则问题转化成求的最小值． 【探究发现】 （1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【拓展迁移】 （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；（2）13；（3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题和用转化的思想解决问题． （1）根据题意，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形，则，，利用勾股定理即可求得答案； （2）同（1）解决问题即可； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C，则线段的长为的最大值． 【详解】解：（1）如图1，过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为5， ∵， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图2，取线段，分别过B、D作，，且，，连接， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小， ∴线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为13； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过B、D作，，且，，连接，点C为的延长线的一点，连接，， 设，则，， ∵， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最大， ∴线段的长即为的最大值， 过点A作交于F，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， 根据勾股定理得，， ∴最大值为． 26. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于点F， ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $