16.3.1 平方差公式（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

16.3.1 平方差公式 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平方差公式的适用条件 题型02 运用平方差公式进行计算 题型03 利用平方差公式进行简便运算 题型04 利用平方差公式进行化简求值 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 题型06 利用平方差公式解决整除问题 题型07 规律探究型问题 题型08 几何背景 题型09 新定义问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平方差公式的适用条件 1．（26-27七年级上·全国·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（     ） A．； B．； C．； D．． 3．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知（________），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列算式中，能用平方差公式计算的是________． ①；②；③；④ 题型02 运用平方差公式进行计算 6．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）_______． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）______． 8．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）已知，且满足，那么的值为___________． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）化简． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 利用平方差公式进行简便运算 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 12．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）简便计算 (1)； (2)． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 14．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算： 15．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）用公式计算： 9999×10001－100002 题型04 利用平方差公式进行化简求值 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）求代数式的值：，其中，． 17．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 18．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 20．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简求值：；其中， 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 21．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）的结果是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 24．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 25．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 题型06 利用平方差公式解决整除问题 26．（2025·河南郑州·一模）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 27．（25-26七年级下·广东佛山·期末）已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 28．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【初步观察】 ； ； ； 【发现猜想】 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 【应用探究】 (1)；． (2)设偶数为，试说明比大的数与的平方差能被整除． 29．（21-22八年级上·河北承德·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：（1）的结果是8的几倍？ （2）设n为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数． 延伸：任意两个连续偶数的平方差能否被6整除，请说明理由． 30．（2025·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． (1)8是否为“特色数”？说明理由； (2)在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 题型07 规律探究型问题 31．（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律： ． (3)根据（2）求出：的结果． 32．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： (1)照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； (2)（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 33．阅读下列材料：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他受到启发，后来在求的值时，又仿照此法，将乘积式前面乘，且把写为，得 ， ， 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的经验，计算：； (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 34．计算并观察下列各式： (1)___________； ___________； ___________； (2)根据上面的规律可得：___________； (3)利用该规律求的值． 题型08 几何背景 35．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 36．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 37．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 38．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 39．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 题型09 新定义问题 40．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）定义一种新运算“⊕”：对于实数 a，b，规定． (1)计算：； (2)化简：（结果用含x的最简多项式表示）； (3)已知，求的值． 41．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 42．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 43．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 44．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． (1)下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）；             【猜想验证】 (2)小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 (3)某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． B组 能力进阶 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 2．（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）把式子化简的结果为___________． 3．（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 5．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 7．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 3．（26-27八年级上·甘肃·期中）______． 4．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 5．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分面积S1可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为___________（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A．    B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． ③计算：． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 拓展 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）下列式子中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·中考真题）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川乐山·中考真题）化简：． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2026·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 7．（2026·河北·中考真题）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.3.1平方差公式 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01平方差公式的适用条件 题型02运用平方差公式进行计算 题型03利用平方差公式进行简便运算 题型04利用平方差公式进行化简求值 题型05利用平方差公式进行多个因式相乘 题型06利用平方差公式解决整除问题 题型07规律探究型问题 题型08几何背景 题型09新定义问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01平方差公式的适用条件 1.D 2.D 3.B 4.D 5.④ 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型02运用平方差公式进行计算 6.4049 7.9y2-4 8.5 9.【详解】解：原式=m2-4n2+mn+4n2 =m2-4n2+mn+4n2 =m2+mn 10.【详解】(1)解：原式=a2-(2b2 =a2-4b2; (2)解：原式=(2a2-(5b}2 =4a2-25b2: (3)解：原式=x2-1x2+1 =(x22-12 =x4-1: 4解：尿或后2后* =3- 64 题型03利用平方差公式进行简便运算 11.【详解】解：原式=200-1×200+1+1=2002-12+1=40000. 12【详解1(a)解：原式2×2+号12 =12-g-12 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：原式=20272-2027-1×2027+1 =20272-20272-1 =20272-20272+1 =1. 13.【详解】(1)解：498×502 =500-2×500+2 =5002-22 =250000-4 =249996: (2)解：999×1001 =1000-1×1000+1 =10002-12 =1000000-1 =999999 14.【详解】解：20262-2025×2027 =20262-(2026-1川2026+1 =20262-20262-1 =20262-20262+1 =1. 15.【详解】解：原式=(10000-1)(10000+1)-100002 =100002-12-100002 =-1. 题型04利用平方差公式进行化简求值 16.【详解】解：3x+2y川x-2y+x+2y川2y-x÷2x, =3x2+2xy-6Xy-4y2+4y2-x2÷2x, =2x2-4xy÷2x, =x-2y, 当x=1,y时，原式1-2×-2 17.【详解】解：x-3y3x+4y-2x+3y2x-3y 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3x2+4xy-9xy-12y2-4x2-9y2) =3x2+4xy-9xy-12y-4x2+9y =-x2-5xy-3y2, 当x=-2,y=1时，原式=--22-5×-2×1-3×12=-4+10-3=3. 18.【详解】解：原式=(4x2-9)-(4x2-4x)+(x-1) =4x2-9-4x+4x+X-1=5x-10 当x=-2时，原式=5×(-2)-10=-10-10=-20. 19.【详解】解：原式=2m2-n2-m2m+m·n-2n2m-2nn =2m2-2n2-2m2+mn-4mn-2n2 =2m2-2n2-2m2-3mn-2n2 =2m2-2n2-2m2+3mn+2n2 =3mn 当m三3，n=-2时 原武3×兮×-2 =-2 20.【详解】解：(x+2y)(x-2y)+(x+y)(2x+4y) =x2-4y2+2x2+4xy+2xy+4y =3x2+6xXy, 当x=1,y=2时， 原式=3×12+6×1×2=3+12=15. 题型05利用平方差公式进行多个因式相乘 21.B 22.B 23.5 24.2512 32 25. 2 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06利用平方差公式解决整除问题 26.C 27.【详解】(1)解：原式=9x2-24x+16-x2+3x-2x+6 =8x2-23x+22: (2)解：A=8x2-24x+20+x+2=42x2-6x+5+x+2, 故当X为除以4余2的整数（或x=4k+2,k为整数）时，A能被4整除： (3)解：B=5x-1川x+1-x+1川x-1 =5x2+5x-x-1-x2+1=4x2+4x, .x>0且B=12, .4x2+4x=12, 整理，得x2+X=3, .x5+x+21x-36=xx2+x+21x-36=3x4+21x-36 =3x2+21x-36=33-x2+21x-36=3x2-18x+27+21x-36 =3x2+3X-9 =3x2+x-9=3×3-9=0: 28.【详解】(1)解：8+32-82=112-8=11+811-8=19×3： 12+32-12=152-122=15+1215-12=27×3. (2)证明：偶数为2n,则比2n大7的数为2n+7, ∴.2n+7-2n2=2n+7-2nl2n+7+2nl=74n+7, ,n为整数，4n+7为整数， .74n+7能被7整除， ∴.比2n大7的数与2n的平方差能被7整除. 29.【详解】验证：(1)52-32=5+35-3=8×2 .52-3的结果是8的2倍： (2)设n为整数，任意连续的奇数为2n+1,2n-1,则 2n+12-2n-12=2n+1+2n-12n+1-2n+1 =4n×2 =8n n为整数， .2n+12-2n-12是8的倍数： 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延伸：任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除，理由如下， 设n为整数，任意连续的偶数为2n+2,2n,则 2n+22-2n2=2n+2+2nj2n+2-2n =4n+2×2 =8n+4 8n+4-4」 6 3 ∴.任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除 30.【详解】1)解：12+32-122=152-12=15-1215+12=3×27， 即12+32-12的结果是3的27倍， 故答案为：27； (2)证明：偶数为2n,比2n大7的数为2n+7, :.2n+72-2n2=2n+7-2nll2n+7+2n=74n+7, .4n+7为整数， .74n+7能被7整除， ∴.比2n大7的数与2n的平方差能被7整除. 题型07规律探究型问题 31.【详解】(1)解：x-1x+x5+x4+x3+x2+x+1 =x+x+x+x4+x3+x2+x-x5-x5-X4-x2-x2-x-1 =x-1, 故答案为：x2-1: (2)解：x-1x+x-1+…+x+1 =x+1+x+…+X2+X-x”-xn-1-…-X-1 =xn+1-1, 故答案为：x”+1-1: (3)解：1+3+32+…+32023+32024 =32024+32023+…+32+3+1 =×13-1×130+3m8++32+3+1 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1×32025-1 2 32025-1 2 32.【详解】(1)解：第1个图形中最外圈的小正方形个数为32-12=8=8×1， 第2个图形中最外圈的小正方形个数为52-3=16=8×2， 第3个图形中最外圈的小正方形个数为7-52=24=8×3， 照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为92-7=32： (2)解：(i)2n+12-2n-12=8n.理由如下： 左边=2n+1+2n-1川2n+1-2n-1 =2n+1+2n-12n+1-2n+1 =4n×2 =8n=右边， 等式成立： (ii)10012-9992+1012-99+112-92 =8×500+8×50+8×5 =4000+400+40 =4440 33.【详解】(1)解：由题意得，3+13+134+138+1 方×3-13+13+1l3+13+1明 =3×32-132+1川3*+13+1 =3-13+1+1 =安3-13+1i =1×316-1 =316-1 2 (2)解：由题意得 11 1-1+11+1-1+-1-+0 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =x3x2x4x3x5x…x9x1 223344 1010 111 三X 210 s11 201 34.【详解】(1)解：x-1x+1=x2-1, x-1x2+x+1=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1, x-1x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x-x2-x2-x-1=x4-1: (2)解：根据上面的规律可得：x-1x+x-1+…+x2+x+1=x+1-1; (3)解：1+6+62+63+…+62022 1×6-1×1+6+62+63+…+62022 5 =1×62023-1 62023-1 5 题型08几何背景 35.D 36.【详解】(1)解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2-b2, 图②的阴影部分为长为a+b),宽为a-b)的矩形，则其面积为a+b)(a-b): (2)解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：（a+b)(a-b)=a-b2: (3)①解：原式2-x2+xn+x2=4-x2n+x21, .2-x2+xn+x2=16-x4,4-x24+x2=16-x4, .n=4: ②解：原式=x2-9)(x+9】 =(x22-92 =x4-81; (4)解：（2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1） =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(2+1).…(232+1)】 =(22-1)(22+1)(24+1)(2+1).(232+1) 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(24-1)(24+1)(28+1).(232+1） =(28-1)(2+1)小…(232+1) =24-1. 37.【详解】(1)解：如图， -a- 图1 图2 在图1中，S网影图1=a2-b, 在图2中，S阴影口图2=a+b川a-b, ,图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴.S阴网1=S网影口图2， ∴.（a+b)(a-b)=a2-b2 (2)解：①.m2=5+4n2 ∴m2-2n}=5, .m+2njm-2n=5, .m-2n=1, .m+2n=5, ∴.m+2n的值为5. ②20272-2026×2028 =2027-(2027-1)×(2027+1) =20272-20272-1 =1 e解原威那11引1+…小1应+品 1324 2026×2028 2233 20272027 12028 =2×2027 -1014 2027 9116 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 38。【详解】(1)解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2, 图②是长为a+b,宽为a-b的长方形，因此面积为a+b川a-b, 由图①、图②中阴影部分面积相等可得a+b川a-b=a2-b2,故选项B符合题意. (2)解：原式=2-1×2+1×22+1×24+1×…×24+1 =22-1×22+1×24+1×…×24+1 … =2128-1. （3)解：原武+之×3-13+1×32+1×3+1×13+1 -x3-1x3+1×3+1x×3+1 … =1+1x364-1 22 =1+1×34-1 22 =364 2· 39.【详解】(1)解：①根据题意，B是长为a-b、宽为b的长方形， .阴影部分是一个边长为b的正方形，则其面积为b: ②图1的面积为a+b川a-b,图2的面积为a2-b2, 则由题意可得a+b川a-b=a-b2: (2)解：由题意得DF=CH=a-b, '.S阴影溜分=SE方形ACDE+SE方形CBGF-S△ABH -d+b-fa+bila-bl 2 题型09新定义问题 40.【详解】(1)解：a⊕b=a+b-a-b2=a+b+a-ba+b-a+b=2a×2b=4ab: -2⊕3=4×-2×3=-24： 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知a⊕b=4ab,故 2x-1⊕x+3=42x-1x+3=42x2+6x-x-3=42x2+5x-3=8x2+20x-12: (3)解：由(1)知a⊕b=4ab,故x⊕y=4xy=4×3=12. 41.【详解】(1)解：-2△3=-22-3=4-3=1， (2)解：.x△y=1, .x2-y=1, ∴.3x+2y3x-2y+y4y-9 =9x2-4y2+4y2-9y =9x2-9y, 当x2-y=1时，原式=9x2-y=9×1=9, 42.【详解】(1)解：102-82=10+8×10-8=18×2=36， 122-102=12+10×12-10=22×2=44: (2)解：2n+22-2n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=42n+1, .n为非负整数， .2n+1为非负整数 ∴.两个连续偶数的平方差一定能被4整除 43.【详解】(1)解：第n个式子为2n2-2n-22=42n-1,取n=6,得⑥：122-102=4×11；取 n=7,得⑦：142-12=4×13. (2)解：取n=1013,则2n=2026,2n-2=2024,2n-1=2025,故第1013个式子为 20262-20242=4×2025 (3)解：由规律42n-1=2n2-2n-22, 取n=1,2,.,1013,将各式相加，中间项两两抵消，得 4×1+3+5+..+2025=22-02+42-22+..+20262-20242=20262, 于是1+3+5+…+2025=2026=1013. 1 故原式=202 ×10132=1013 2 44.【详解】(1)解：①9=52-42=25-16，所以9是“智慧数”： ②10÷4=2...2,42-3=7,52-42=9,52-3=16，无法找到两个自然数的平方差是10，所以 10不是“智慧数”； ③12=4×3，根据小圳的结论，4的倍数都是“智慧数”.验证：12=4×3=3+12-3-1}=16-4， 11/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以12是“智慧数”； ④14是偶数，但不是4的倍数，52-42=9,52-3=16，无法找到两个自然数的平方差是14，所以14 不是“智慧数”. (2)证明：设k是自然数， ,(k+1)2-k2 =k+1+kk+1-k =2k+1 2k+1表示自然数中所有的奇数， .自然数中所有的奇数都是“智慧数” (3)舞台的边长为5米，走廊的面积是“智慧数”，理由如下： x+7x-3 =x2+4x-21 =x2+4x+4-25 =(x+2)2-52 B组 能力进阶 1.B 2.252-1 3.-90 4.9.5 5.2704 6.【详解】(1)解：上述操作能验证的等式是a-b=a+b川a-b: (2)解：①101-992-962+942 =1012-992-962-942 =101+99101-99-96+9496-94 =200×2-190×2 =400-380 =20: ②20262-2×20252+2×20242-2023 =20262-20252-20252-20242+20242-20232 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2026+20252026-2025-2025+20242025-2024+2024+20232024-2023 =2026+2025-2025-2024+2024+2023 =4049 7.【详解】(1)解：112-92=11+9川11-9=40， 设较小的奇数为x,则较大的奇数为x+2, x+2}-x2=48, 解得x=11, .48=132-112, 故答案为：40,13,11. (2)解：928是神秘数， 设较小的奇数为，则较大的奇数为m+2 根据“神秘数”的定义可得：m+22-m2=928, 解得m=231, ∴.另一个奇数为m+2=231+2=233, .928=2332-2312, ∴.928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差. (3)证明：设较大的奇数为2n+1,则较小的奇数为2n-1, 依题意得：2n+12-2n-12=4n:2=8n, .“神秘数”一定是8的倍数. (4)解：S隔影=992-972+952-932+912-892+…+72-52+32-12 =99+97川99-97+95+93川95-93+…+7+57-5+3+13-1 =99+97+95+93+…3+1×2 =99+97+95+93+…3+1+1+3+…+93+95+97+99 =100×50 =5000. C组 思维拔高 1.C 2.6 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 350-到 4.5 5.【详解】(1)解：S1=a+ba-b,S2=a2-b: (2)解：根据(1)可得a+ba-b=a-b2: (3)解：①由(2)得（2m+n)(2m-n)=4m-n2, .4m2-n2=12,2m+n=4, .42m-n=12, 解得2m-n=3: ②原式=2-12+12+1川24+1…232+1+1 =22-122+124+1…22+1+1 =24-1川24+1小…232+1+1 =232-1232+1+1 =264-1+1 =24, 22=2,2=4,2=8,24=16,25=32,2=64,2=128… ∴.个位数根据2,4,8,6四个数一个循环， 即64÷4=16， 所以24的个位数字是6： ③原式=100+99×(100-99+98+97×98-97++4+3×4-3+2+1×2-1 =100+99+98+97+.·+4+3+2+1 =100+1×100 2 =5050. 6.【详解】(1)解：2×8+8×16+16×10+10×2=16+128+160+20=324： (2)解：设E位置的数为m,根据月历数字规律，得A=m-7,B=m-1,C=m+7,D=m+1, 则该“十字型”的“美好数”为： (m-7)(m-1)+(m-1)(m+7)+(m+7)(m+1)+(m+1)(m-7) =(m2-8m+7）+m2+6m-7)+(m2+8m+7)+(m2-6m-7） =4m2: (3)解：设H型中间位置的数为m,根据月历数字规律，得a=m-8,b=m-6,c=m+6,d=m+8, 则bc-ad=(m-6)(m+6)-(m-8)(m+8】 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(m2-36)-(m2-64】 =28: (4)解：设十字型中间数为m,则十字型五个数之和S1=(m-7)+(m-1)+m+(m+1)+(m+7)=5m, 设H型中间数为n,则H型七个数之和S2=(n-8)+(n-6)+(n-1)+n+(n+1)+(n+6)+(n+8)=7n, 由S1+S,=175,得5m+7n=175,变形为m=35-7”n 7n 又：m为正整数，5需为正整数， .n是5的倍数， 当n=5时，H型中间数为5，月历中不存在这种情况： 当n=10时，H型中间数为10，月历中不存在这种情况； 当n=15时，m=14,H型中间数为15，十字型中间数为14， 此时S2-S1=7n-5m=7×15-5×14=35: 当n=20时，m=7,H型中间数为20，十字型中间数为7，月历中不存在这种情况： 当n=25时，m=0,月历中不存在这种情况： 综上，S2-S1的最大值为35. 拓展 链接中考 1.C 2.B 3.-9 4.【详解】解：a+2a-2+a3-a =a2-4+3a-a2 =3a-4 5.【详解】解：原式=a+a-a-4) =a2+a-a2+4 =a+4: 当a=6时， 原式=6+4=10. 6.【详解】解：m+2m-2-mm-3 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =m2-4-m2-3m =m2-4-m2+3m =3m-4, 当m=3时，原式=3×}-4=-3 1 3 7.【详解】(1)证明：右边=a+b川a-b+b2=a2-b2+b2=a2-b+b2=a2=左边， a2=a+bl川a-b+b2, 992=9801: 解：992=992-12+12 =99+1×99-1+1 =100×98+1 =9800+1 =9801: (2)解：-1052=-1052-52+52 =-105+5×-105-5+25 =-100×-110+25 =11000+25 =11025. 16/16 16.3.1 平方差公式 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平方差公式的适用条件 题型02 运用平方差公式进行计算 题型03 利用平方差公式进行简便运算 题型04 利用平方差公式进行化简求值 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 题型06 利用平方差公式解决整除问题 题型07 规律探究型问题 题型08 几何背景 题型09 新定义问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平方差公式的适用条件 1．（26-27七年级上·全国·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、无法转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，不能转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，不能转化为两数和与两数差的积的形式，不能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、是两数和与两数差的积的形式，能用平方差公式计算，该选项符合题意． 2．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据平方差公式特征判断即可． 【详解】解：选项A：，可利用平方差公式计算； 选项B：，可利用平方差公式计算； 选项C：，可利用平方差公式计算； 选项D：，不可利用平方差公式计算． 3．（26-27八年级上·四川·期中）下列各式不能使用平方差公式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：选项：存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算，符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意； 选项：中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，不符合题意． 4．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）已知（________），则横线上应填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴横线上应填的代数式是． 5．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）下列算式中，能用平方差公式计算的是________． ①；②；③；④ 【答案】④ 【分析】平方差公式的结构为，即两个因式相乘，存在一项相同，另一项互为相反数，逐一判断即可． 【详解】解：①中不存在相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算； ②，两项都互为相反的项，没有同号，不符合结构，不能用平方差公式计算； ③，两项都互为相反的项，没有同号，不符合结构，不能用平方差公式计算； ④，有相同项，互为相反项和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算， 因此能用平方差公式计算的是④． 题型02 运用平方差公式进行计算 6．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）_______． 【答案】 【分析】根据平方差公式对进行计算即可得答案． 【详解】解：． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）______． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 8．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）已知，且满足，那么的值为___________． 【答案】 【分析】将看作整体，利用平方差公式化简方程，结合确定的符号，即可求出结果． 【详解】解：设， ∵ ， ∴ ， 原等式可化为， 根据平方差公式展开得， 整理得， ∴， ∵ ， ∴ ，即． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）化简． 【答案】 【详解】解：原式 ． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型03 利用平方差公式进行简便运算 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 12．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）简便计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）将改写成，利用平方差公式计算即可； （2）将改写成，利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（26-27七年级上·上海浦东新·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】将和改写为与相关的式子，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ． 15．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）用公式计算： 9999×10001－100002 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型04 利用平方差公式进行化简求值 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）求代数式的值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的混合运算法则化简原式，再将，代入计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时，原式． 17．（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘以多项式，平方差公式进行化简，再将字母的值代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 18．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式= 当时，原式 = ． 19．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先用平方差公式展开第一部分，多项式乘多项式展开第二部分，去括号合并同类项，最后代入数值计算．注意去括号时符号变化． 【详解】解：原式 当，时 原式 20．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）化简求值：；其中， 【答案】 ， 【详解】 解： ， 当，时， 原式 ． 题型05 利用平方差公式进行多个因式相乘 21．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多次利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 22．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 23．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个分解为，然后通过“约分”消去中间项，直接得到首尾相乘的结果即可． 【详解】解：原式 ． 24．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 25．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 【答案】 【分析】仿照题目示例，构造平方差公式即可求解． 【详解】解：原式=    = 题型06 利用平方差公式解决整除问题 26．（2025·河南郑州·一模）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 27．（25-26七年级下·广东佛山·期末）已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2)当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除 (3) 【分析】（1）根据整式的乘法运算，展开后，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，根据整除的意义，解答即可； （3）根据题意，得，对进行化简求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 故当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除； （3）解： ， 且， ， 整理，得， ； 28．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【初步观察】 ； ； ； 【发现猜想】 比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． 【应用探究】 (1) ； ． (2)设偶数为，试说明比大的数与的平方差能被整除． 【答案】(1)19，27 (2)证明：偶数为，则比大7的数为， ∴， ∵为整数，为整数， ∴能被7整除， ∴比大的数与的平方差能被整除． 【分析】（1）分别利用平方差公式计算和即可解答； （2）根据“比大7的数与的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）略． 29．（21-22八年级上·河北承德·期末）发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数． 验证：（1）的结果是8的几倍？ （2）设n为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数． 延伸：任意两个连续偶数的平方差能否被6整除，请说明理由． 【答案】验证：（1）2倍；（2）见解析；延伸：不一定能被6整除，理由见解析 【分析】验证：（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）设n为整数，任意连续的奇数为根据平方差公式进行计算即可求解； 延伸：设n为整数，任意连续的偶数为根据平方差公式进行计算即可求解； 【详解】验证：（1） 的结果是8的2倍； （2）设n为整数，任意连续的奇数为，则 n为整数， 是8的倍数； 延伸：任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除，理由如下， 设n为整数，任意连续的偶数为，则 任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 30．（2025·福建莆田·三模）定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． (1)8是否为“特色数”？说明理由； (2)在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 【答案】(1)是， 理由如下： ， 可以被4整除， ， 是特色数； (2)40 【分析】本题考查了“特色数”的定义，平方差公式，正确理解“特色数”的定义是解此题的关键． （1）根据“特色数”的定义判断即可得解； （2）根据题意可得这个两位数是13或22或31或40，再结合“特色数”的定义判断即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，得m，n为整数，且，． ， 的值为1，2，3，4，的相应值为3，2，1，0． 这个两位数是13或22或31或40， ，，不能被4整除， ，，不是特色数， ． 题型07 规律探究型问题 31．（24-25八年级上·四川乐山·期中）观察下列各式： ; ； ； … (1)根据以上规律，则 ； (2)你能否由此归纳出一般性规律：= ． (3)根据（2）求出：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 32．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）观察下列每个图形中的最外圈的小正方形个数，归纳图中的等式规律： (1)照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为______； (2)（ⅰ）写出第n个图中的等式（用含n的式子表示），并说明其正确性； （ⅱ）利用（ⅰ）中的等式规律计算：． 【答案】(1)32 (2)（ⅰ）．理由如下： 左边 右边， ∴等式成立； （ⅱ） 【分析】（1）根据给出的前三个图形中最外圈小正方形个数规律，得出答案即可； （2）（ⅰ）根据第（1）问得出规律，得出，根据平方差公式进行计算即可； （ⅱ）根据得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个图形中最外圈的小正方形个数为， 第2个图形中最外圈的小正方形个数为， 第3个图形中最外圈的小正方形个数为， 照这样的规律，接下来第4个图形中最外圈的小正方形个数为； （2）解：（ⅰ）略； （ⅱ） ． 33．阅读下列材料：某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他受到启发，后来在求的值时，又仿照此法，将乘积式前面乘，且把写为，得 ， ， 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的经验，计算：； (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将乘积式前面乘，且把写为，再利用平方差公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算，得出规律，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ． 34．计算并观察下列各式： (1)___________； ___________； ___________； (2)根据上面的规律可得：___________； (3)利用该规律求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式、多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）通过（1）中计算的式子得出规律即可； （3）将所求式子转化为上述规律的形式，利用公式直接计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：根据上面的规律可得：； （3）解： ． 题型08 几何背景 35．（25-26七年级下·河南郑州·期末）下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 36．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【答案】(1)；； (2)； (3)①B； ②； (4)． 【分析】（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长方形的面积； （2）根据图①与图②的面积相等即可得； （3）①利用两次平方差公式求解即可； ②利用两次平方差公式求解即可； （4）将原式改写成，再多次利用平方差公式即可得． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为； （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：； （3）①解：原式， ∵，， ∴； ②解：原式 ； （4）解： ． 37．（26-27八年级上·河南驻马店·阶段检测）学习了平方差公式后，就下面内容展开探究． (1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______________________（用含a，b的等式表示）． (2)①已知，，则的值为_____________． ②计算：（使用乘法公式简便计算）． (3)根据（1）中的结论逆推，直接写出的结果． 【答案】(1) (2)①5；② (3)． 【分析】（1）根据图1中的阴影部分拼成图2的长方形，得 ，根据图形分别求出、，即可得． （2）根据得，根据公式得，再根据即可求出的值． （3）先计算的乘方后，再根据计算，再约分后找到规律，计算即可． 【详解】（1）解：如图， 在图1中，， 在图2中，， ∵图1中的阴影部分拼成图2的长方形， ∴ ， ∴． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为5． ② （3）解：原式 38．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，图②是长为，宽为的长方形，据此求出两个阴影部分面积，再由图①、图②中阴影部分面积相等可得答案； （2）利用平方差公式求解即可； （3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． 39．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 题型09 新定义问题 40．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）定义一种新运算“⊕”：对于实数 a，b，规定． (1)计算：； (2)化简：（结果用含x的最简多项式表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)12 【分析】先运用平方差公式化简，再解决三问即可． 【详解】（1）解：∴； （2）解：由（1）知，故； （3）解：由（1）知，故． 41．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则得到，再化简所求代数式，最后利用整体代入即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ， ， 当时，原式． 42．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 【答案】(1)； (2)解：， 为非负整数， 为非负整数 两个连续偶数的平方差一定能被整除 【分析】（1）根据规律计算即可； （2）用含的式子把规律表示出来，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：， ； （2）略． 43．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）观察下列等式：①；②；③；④； 按照以上规律，解决下列问题： (1)请写出⑥⑦两个等式：⑥_________，⑦_________； (2)根据以上式子的规律，请写出第1013个式子：_________； (3)利用这个规律计算的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】观察①②③④，等式左边是两个连续偶数的平方差，右边是与相应奇数的乘积，第个式子可表示为，用平方差公式即可验证． 【详解】（1）解：第个式子为，取，得⑥：；取，得⑦：． （2）解：取，则，，，故第1013个式子为． （3）解：由规律， 取，将各式相加，中间项两两抵消，得 ， 于是． 故原式． 44．（25-26八年级下·广东深圳·期末）若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． (1)下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）；             【猜想验证】 (2)小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 (3)某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 【答案】(1)①③ (2)证明：设是自然数，                                   表示自然数中所有的奇数， 自然数中所有的奇数都是“智慧数” (3)舞台的边长为5米，走廊的面积是“智慧数”，理由如下：                  【分析】（1）通过尝试法或观察规律(奇数和4的倍数通常是智慧数)来解决． （2）利用平方差公式的逆运算，构造出两个连续自然数的平方差等于奇数． （3）根据图形特征(L型走廊)和地胶尺寸，计算面积并判断． 【详解】（1）解：，所以9是“智慧数”； ，， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”； ，根据小圳的结论，4的倍数都是“智慧数”．验证：，所以是“智慧数”；    是偶数，但不是4的倍数， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”． （2）证明见答案 （3）解析见答案 B组 能力进阶 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“美好数”．如，，即8，16均为“美好数”，在不超过530的正整数中，所有的“美好数”之和为（     ） A．17687 B．17688 C．17689 D．17670 【答案】B 【分析】根据“美好数”的定义，设两个连续奇数分别为，，为正整数，利用平方差公式推导“美好数”的表达式，结合不超过530的条件确定n的范围，再求和计算即可． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，为正整数， 由平方差公式得：， 即“美好数”可表示为， 由题意得：， 解得， 为正整数， 的最大值为， 最大的对应奇数为， 所有“美好数”之和为． 2．（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）把式子化简的结果为___________． 【答案】 【分析】在原式前乘，其值为不改变原式结果，再连续利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·山东聊城·期末）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，四边形是长方形，四边形是面积为24的正方形，点M、N分别在、上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接、、，若正方形的面积为5，则图中阴影部分的总面积为___________． 【答案】9.5 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，，，，再根据图中阴影部分的总面积为，计算即可得出结果． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，， ∵四边形是面积为24的正方形，正方形的面积为5， ∴，， ∴图中阴影部分的总面积为 ． 5．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2026个智慧数是_______． 【答案】2704 【分析】设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式， 证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等． ∴不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵， ∴第2026个智慧数在（组），并且是第组的最后一个数，即． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 【答案】(1)A (2)①20；②4049 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）①利用平方差公式进行计算； ②利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 7．（25-26八年级上·广东珠海·期末）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如： 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：（____）；（____）（____）； (2)【知识技能】斗门广播电台频率为“FM928”，928是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差？如果不是，请说明理由； (3)【深入探究】试说明“神秘数”一定是8的倍数； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼叠到正方形，正方形的边长99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2) 是， (3) 证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为， 依题意得：， ∴“神秘数”一定是8的倍数． (4)5000 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用及平方差公式的应用． （1）根据“神秘数”的定义，通过计算两个连续奇数的平方差来填空，再设较小的奇数为x，则较大的奇数为，列出方程求解x的值即可得出结果； （2）先假设928是神秘数，设出两个连续奇数，根据神秘数的定义列出方程，求解方程看是否能得到符合条件的连续正奇数即可； （3）设出两个连续奇数，根据平方差公式计算它们的平方差，然后分析结果是否为8的倍数； （4）利用平方差公式求和，结合“神秘数”的规律分析阴影面积之和即可． 【详解】（1）解：， 设较小的奇数为x，则较大的奇数为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：40，13，11． （2）解：928是神秘数， 设较小的奇数为m，则较大的奇数为， 根据“神秘数”的定义可得：， 解得， ∴另一个奇数为， ∴， ∴928是“神秘数”，它是233和231这两个连续正奇数的平方差． （3）略 （4）解： ． C组 思维拔高 1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若实数满足，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】利用换元法设，则由已知可得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（26-27八年级上·甘肃·期中）______． 【答案】 【分析】先把原式变形为，再连续利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ． 4．（26-27八年级上·湖南湘潭·开学考试）若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式化简，再根据的幂次的个位数字的周期性规律计算结果． 【详解】解： ， 观察的幂次的个位数字规律：个位为，个位为，个位为，个位为，个位，可得个位数字周期为， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 5．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． (1)在图2中的阴影部分面积S1可表示为___________（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为___________（写成两数平方差的形式）； (2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是（     ） A．    B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题： ①已知，则 ___________； ②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． ③计算：． 【答案】(1)， (2)B (3)①3 ②，6 ③5050 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘宽得出答案，再根据大正方形的面积减去小正方形面积解答； （2）根据面积相等得出答案； （3）①根据（2）得出的关系式，再代入数值求出解即可；②先添加，再根据平方差公式计算，然后个位数的变化特征得出答案；③根据平方差公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据（1）可得； （3）解：①由（2）得， ∵， ∴， 解得； ②原式 ， ∵ ∴个位数根据2,4,8,6四个数一个循环， 即， 所以的个位数字是6； ③原式 ． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）【问题背景】同学们一定都熟悉月历吧，月历中有很多奥秘．下面以年1月份的月历(图1)为例，进行数学探究活动． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (图1) 探究一 （1）如图2的“十字型”可以框住月历中的5个数，若将位置，，，上的数按逆时针方向依次两两相乘，再把它们的积相加，所得的和叫做这个“十字型”的“美好数”．例如，图1中阴影部分所示“十字型”的“美好数”，请直接写出计算结果________； （2）在月历中移动“十字型”，可以发现每个“美好数”都与字母位置上的数有关．设这个位置上的数为，请用的代数式表示该“十字型”的“美好数”=________； 探究二 （3）“型”可以框住7个数，其中四个数，，，的位置如图3所示，求的值； 探究三 （4）“十字型”和“型”在月历上可以上下左右移动，也可以重叠覆盖，但覆盖的区域都要有数字．设“十字型”框出来的五个数字之和为，“型”框出来的七个数字之和为．在年1月份的月历中，若，则的最大值是________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）直接按照有理数混合运算法则计算“美好数”的结果； （2）设位置的数为，用表示出、、、的数，根据“美好数”的定义列出代数式并化简； （3）设型中间数为，用表示出的数，代入进行整式的乘法与减法运算并化简； （4）分别用字母表示出和，根据建立方程，结合月历中数的取值范围确，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：设位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则该“十字型”的“美好数”为： ； （3）解：设型中间位置的数为，根据月历数字规律，得，，，， 则 28； （4）解：设十字型中间数为，则十字型五个数之和， 设型中间数为，则型七个数之和， 由，得，变形为， 又∵为正整数，需为正整数， ∴是5的倍数， 当时，型中间数为5，月历中不存在这种情况； 当时，型中间数为，月历中不存在这种情况； 当时，，型中间数为，十字型中间数为， 此时； 当时，，型中间数为，十字型中间数为7，月历中不存在这种情况； 当时，，月历中不存在这种情况； 综上，的最大值为． 拓展 链接中考 1．（2026·河南·中考真题）下列式子中，运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法运算，只需将各选项展开后，与目标结果对比即可得到答案，可利用平方差公式简化计算． 【详解】解：选项A，，不符合要求； 选项B，，不符合要求； 选项C，根据平方差公式，，符合要求； 选项D，，不符合要求． 2．（2026·江苏南通·中考真题）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1和图2得出该算式应满足的形式，即可解答； 【详解】解：由图1知长方形面积为，由图2知面积为， 该算式应满足的形式， ，此时，符合题意，其余选项均不符合． 3．（2026·四川乐山·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 5．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 6．（2026·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简整式，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．（2026·河北·中考真题）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 【答案】(1) 证明：∵右边左边， ∴， ； (2) 【详解】（1）证明见答案 解： ； （2）解： ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $