16.3.1 平方差公式 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3.1 平方差公式 2026-2027学年人教版八年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 3．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（　　） A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c] C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）] 4．若（a+3b）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 5．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 7．三个连续偶数，中间一个数为k，则这三个数的积为（　　） A．k3﹣4k B．8k3﹣8k C．4k3﹣k D．8k3﹣2k 8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：8＝32﹣12，32＝92﹣72，所以8，…都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．86 B．230 C．462 D．480 9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　） A．30 B．20 C．60 D．40 10．3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　） A．4 B．6 C．2 D．8 二．填空题（共5小题） 11．若a＝1954×1946，b＝1957×1943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为__________ （用“＜”连接）． 12．现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n＝mn（m﹣n），如：1⊕2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊕（a﹣b）的值是 _____________ ． 13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是_______ ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是_______ ． 14．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝8，那么a2+b2的值为 _____ ． 15．已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝_______ ． 三．解答题（共8小题） 16．利用乘法公式计算： （1）5002﹣499×501． （2）50×49 17．观察下列各式： （2+3）2﹣22＝7×3； （4+3）2﹣42＝11×3； （6+3）2﹣62＝15×3；… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）（12+3）2﹣122的结果是3的_______ 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大k的数与2n的平方差能被k整除（与k均为正整数）． 18．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步） ＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） ＝2ab﹣b2（第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 19．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形土地A，B，其中不能使用的面积为M． （1）用含b，M的代数式表示B中能使用的面积 _________ ； （2）若a+b＝15，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积． 20．阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得＝__________________ ×__________________ ； ③．反过来，得＝____________________ ＝； （1）利用上面的材料中的方法和结论计算下题： ； （2）求20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12的值； （3）应用：如图，10个图由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 21．乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 __________ （写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ________ ，长是 ________ ，面积是 _______________ ．（写成多项式乘法的形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ____________________ ．（用式子表达） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）； ②10.2×9.8． 22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是_____ ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+ab＝a（a+b） C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）应用你从（1）中选出的等式，解答下列各题： ①已知9a2﹣4b2＝24，3a+2b＝6，则3a﹣2b＝_____ ； ②计算：20252﹣2024×2026； ③某同学在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以两数差公式计算：3×（4+1）×（42+1）＝（4﹣1）×（4+1）×（42+1）＝（42﹣1）×（42+1）＝（42）2﹣1＝256﹣1＝255． 请借鉴该同学的经验，计算：2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）+1． 23．（1）填空并观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）＝ __________ ； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； （a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5； … 可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝ ________________ ． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ __________ （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：37﹣36+35⋯+33﹣32+3． 16.3.1 平方差公式 2026-2027学年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b） 【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答． 【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有． 2．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　） A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 【分析】根据左侧图形2个梯形的面积和等于右图梯形面积即可验证平方差公式． 【解答】解：根据两个图形面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 3．为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（　　） A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c] C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）] 【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项． 【解答】解：（a﹣b+c）（a+b﹣c）＝[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]． 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单． 4．若（a+3b）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 【分析】根据平方差公式进行分解因式，即可得到答案． 【解答】解：根据平方差公式进行分解因式可知：括号内应填的代数式是3b﹣a， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，熟记平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是解决此题的关键． 5．已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】直接利用平方差公式分解因式，再把已知代入，进而得出答案． 【解答】解：∵a﹣b＝2， ∴a2﹣b2﹣4b ＝（a+b）（a﹣b）﹣4b ＝2（a+b）﹣4b ＝2a+2b﹣4b ＝2（a﹣b） ＝2×2 ＝4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题的关键． 6．王大爷改建一个边长为x（x＞3）米的正方形养殖场，计划正方形养殖场纵向增加3米，横向减少3米，则改建后养殖场面积的变化情况是（　　） A．面积减少3m2 B．面积减少9m2 C．面积增加3m2 D．面积增加9m2 【分析】求出变化前后面积差即可． 【解答】解：变化前正方形的面积为x2平方米， 变化后的长为（x+3）米，宽为（x﹣3）米，因此面积为（x+3）（x﹣3）＝（x2﹣9）平方米， 所以变化后面积减少9平方米， 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征以及用代数式表示图形的面积是正确解答的关键． 7．三个连续偶数，中间一个数为k，则这三个数的积为（　　） A．k3﹣4k B．8k3﹣8k C．4k3﹣k D．8k3﹣2k 【分析】根据三个连续偶数，中间一个是k，则另外两个分别为k﹣2，k+2，再求出之积即可． 【解答】解：由条件可知k（k﹣2）（k+2）＝k（k2﹣4）＝k3﹣4k． 故选：A． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：8＝32﹣12，32＝92﹣72，所以8，…都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A．86 B．230 C．462 D．480 【分析】设两个连续奇数为2n﹣1和2n+1（n为正整数），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【解答】解：设两个连续奇数为2n﹣1和2n+1（n为正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，据此逐项分析判断如下： A．86÷8＝10……6，86不是“凤凰数”，不符合题意； B．230÷8＝28……6，230不是“凤凰数”，不符合题意； C．462÷8＝57……6，462不是“凤凰数”，不符合题意； D．480÷8＝60，480是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是关键． 9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是（　　） A．30 B．20 C．60 D．40 【分析】设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案． 【解答】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE＝x﹣y， 阴影部分的面积是： AE•BC+AE•DB， ＝（x﹣y）•x+（x﹣y）•y， ＝（x﹣y）（x+y）， ＝（x2﹣y2）， ＝60， ＝30． 故选：A． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积． 10．3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　） A．4 B．6 C．2 D．8 【分析】已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可． 【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝（22﹣1）×（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1 ＝（232﹣1）（232+1）+1 ＝264﹣1+1 ＝264， 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， 以此类推，个位数字以2，4，8，6循环， ∵64÷4＝16， ∴264的个位数字为6， 即原式计算结果的个位数字是6． 故选：B． 【点评】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．若a＝1954×1946，b＝1957×1943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b （用“＜”连接）． 【分析】根据平方差公式，可得答案． 【解答】解：a＝1954×1946＝（1950+4）（1950﹣4）＝19502﹣16， b＝1957×1943＝（1950+7）（1950﹣7）＝19502﹣49， c＝1949×1951＝（1950+1）（1950﹣1）＝19502﹣1， c＞a＞b， 故答案为：c＞a＞b． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，利用平方差公式是解题关键． 12．现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m，n规定：m⊕n＝mn（m﹣n），如：1⊕2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊕（a﹣b）的值是 　2a2b﹣2b3 ． 【分析】先根据新运算进行变形，再根据整式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（a+b）⊕（a﹣b） ＝（a+b）（a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）] ＝（a+b）（a﹣b）（a+b﹣a+b） ＝（a2﹣b2）•2b ＝2a2b﹣2b3． 故答案为：2a2b﹣2b3． 【点评】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键． 13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第4个智慧优数是　16　 ；在1至60的正整数中的智慧优数的个数是　24　 ． 【分析】根据规律计算求解即可． 【解答】解：∵m﹣n＞1，m，n为正整数， ∴m﹣n≥2， ∴m≥n+2， 当m＝n+2时，由（n+2）2﹣n2＝4+4n，产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…， 当m＝n+3时，由（n+3）2﹣n2＝9+6n，产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…， 当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n，产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…， 当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n，产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…， 当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n，产生的智慧优数为：48，60，72，84，…， 当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n，产生的智慧优数为：63，77，91，…， 当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n，产生的智慧优数为：80，96，…， 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…， ∴第4个智慧优数是16，在1至60的正整数中的智慧优数的个数是24个， 故答案为：16；24． 【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，掌握相关知识是解题的关键． 14．如果（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝8，那么a2+b2的值为 　3　 ． 【分析】设y＝a2+b2，则原方程变形为y2﹣9＝0，运用因式分解法解得y1＝3，y2＝﹣3，即可求得a2+b2的值为3． 【解答】解：设y＝a2+b2， 原方程变形为y2﹣9＝0， （y+3）（y﹣3）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣3， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2的值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 15．已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝　﹣6　 ． 【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可． 【解答】解：∵a2﹣b2＝12， ∴（a+b）（a﹣b）＝12， ∵a﹣b＝﹣2， ∴a+b＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 三．解答题（共8小题） 16．利用乘法公式计算： （1）5002﹣499×501． （2）50×49 【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值； （2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣（5002﹣1）＝5002﹣5002+1＝1； （2）原式＝（50+）×（50﹣）＝2500﹣＝2499． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 17．观察下列各式： （2+3）2﹣22＝7×3； （4+3）2﹣42＝11×3； （6+3）2﹣62＝15×3；… 不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）（12+3）2﹣122的结果是3的　27　 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大k的数与2n的平方差能被k整除（与k均为正整数）． 【分析】（1）根据规律进行计算即可； （2）利用平方差公式将（2n+k）2﹣（2n）2化为（2n+k+2n）（2n+k﹣2n），即k（4n+k）即可． 【解答】解：（1）（12+3）2﹣122＝27×3， 故答案为：27； （2）∵（2n+k）2﹣（2n）2＝（2n+k+2n）（2n+k﹣2n）＝k（4n+k）， ∴比2n大k的数与2n的平方差能被k整除． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 18．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下： 原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步） ＝a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步） ＝2ab﹣b2（第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么； （2）写出此题正确的解答过程． 【分析】（1）观察该同学解题过程，找出错误步骤，分析原因即可； （2）原式利用单项式乘多项式法则，平方差公式化简，去括号合并即可得到正确结果． 【解答】解：（1）该同学解题过程从第二步开始出错，错误的原因是去括号时第二项没有变号； （2）正确解答为： 原式＝a2+2ab﹣（a2﹣b2） ＝a2+2ab﹣a2+b2 ＝2ab+b2． 【点评】此题考查了平方差公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 19．如图，学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教育实践需要．某校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形土地A，B，其中不能使用的面积为M． （1）用含b，M的代数式表示B中能使用的面积 b2﹣M ； （2）若a+b＝15，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积． 【分析】（1）根据面积之间的关系，从边长为b的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可； （2）用代数式表示A比B多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵正方形土地B的边长是b， ∴SB＝b2， ∵B中能使用的面积＝正方形B的面积一不能使用的面积M， ∴B中能使用的面积为：b2﹣M， 故答案为：b2﹣M， （2）∵a+b＝15，a﹣b＝5， ∴A比B多出的使用面积为： （a2﹣M）﹣（b2﹣M） ＝a2﹣M﹣b2﹣M＝a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝15×5 ＝75， 答：A比B多出的使用面积为75． 【点评】本题考查列代数式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． 20．阅读下面的材料并填空： ①，反过来，得； ②，反过来，得＝　　 ×　　 ； ③．反过来，得＝　（1﹣）（1+）　 ＝； （1）利用上面的材料中的方法和结论计算下题： ； （2）求20242﹣20232+20222﹣20212+…+22﹣12的值； （3）应用：如图，10个图由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为10cm，向里依次为9cm，8cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【分析】（1）利用题干中的方法与乘法的运算律解答即可； （2）利用平方差公式解答即可； （3）利用（2）的方法列式解答即可． 【解答】解：②，反过来，得＝×； 故答案为：；； ③．反过来，得＝（1﹣）（1+）＝； 故答案为：（1﹣）（1+）； （1）原式＝...× ＝ ＝； （2）原式＝（2024﹣2023）（2024+2023）+（2022﹣2021）（2022+2021）+..+（2﹣1）（2+1） ＝2024+2023+2022+2021+...+2+1 ＝ ＝2049300； （3）所有阴影的面积和＝π（102﹣92）+π（82﹣72）+π（62﹣52）+π（42﹣32）+π（22﹣12） ＝π（102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12） ＝π（10+9+8+7+6+5+4+3+2+1） ＝55π（cm2）． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，平方差公式的应用，正确利用数字变化的规律解答是解题的关键． 21．乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 　（a+b）（a﹣b）　 ．（写成多项式乘法的形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．（用式子表达） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）； ②10.2×9.8． 【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2； （2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）； （3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）①原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）] ＝（2m）2﹣（n﹣p）2 ＝4m2﹣n2+2np﹣p2； ②原式＝（10+0.2）×（10﹣0.2） ＝102﹣0.22 ＝100﹣0.04 ＝99.96． 【点评】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 22．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是D ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2+ab＝a（a+b） C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）应用你从（1）中选出的等式，解答下列各题： ①已知9a2﹣4b2＝24，3a+2b＝6，则3a﹣2b＝　4　 ； ②计算：20252﹣2024×2026； ③某同学在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以两数差公式计算：3×（4+1）×（42+1）＝（4﹣1）×（4+1）×（42+1）＝（42﹣1）×（42+1）＝（42）2﹣1＝256﹣1＝255． 请借鉴该同学的经验，计算：2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）+1． 【分析】（1）分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案； （2）①逆用（1）中等式得出（3a+2b）（3a﹣2b）＝24，然后把3a+2b＝6整体代入求解即可； ②把2024×2026变形为（2025﹣1）×（2025+1），然后根据（1）中等式计算即可； ③仿照例子，把2写成3﹣1，根据（1）中等式依次计算即可． 【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2， 第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故D选项符合要求； 故答案为：D； （2）①∵9a2﹣4b2＝（3a+2b）（3a﹣2b）＝24，3a+2b＝6， ∴6（3a﹣2b）＝24， ∴3a﹣2b＝4； 故答案为：4； ②20252﹣2024×2026＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝1； ③2×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）+1 ＝（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）+1 ＝（38）2﹣1+1 ＝316． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（1）填空并观察下列各式的规律： （a﹣b）（a+b）＝ a2﹣b2 ； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4； （a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5； … 可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝ a2025﹣b2025 ． （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：37﹣36+35⋯+33﹣32+3． 【分析】（1）根据平方差公式和规律即可得出答案； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）把（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝8代入即可求解． 【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2， 可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝a2025﹣b2025； 故答案为：a2﹣b2；a2025﹣b2025； （2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）； 故答案为：an﹣bn； （3）设（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝8， 则有[3﹣（﹣1）][37+36•（﹣1）+35•（﹣1）2+⋯+3•（﹣1）6+（﹣1）7）]＝38﹣（﹣1）8， 即4×（37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1）＝38﹣1， ∴37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1＝， ∴37﹣36+35+…+33﹣32+3＝+1＝． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，规律型：数字的变化类，平方差公式，解题的关键是明确题意，利用猜想解答问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/16 22:38:35；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $