精品解析：江苏江阴市长泾第二中学2026-2027学年八年级上学期数学10月随堂练习（3）

初二数学随堂练习（3） 一、选择题 1. 的立方根等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 若为实数，且，则的值是（ ） A. −1 B. 2 C. 1 D. 9 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(　　) A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 7. 如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 10. 如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 不确 二、填空题 11. 64的平方根是__________． 12. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 _________． 13. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是___________． 14. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 15. 如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为_______cm． 17. 如图，是的角平分线上的一点，，，是的中点，点是上的一个动点，若的最小值为，则的长度为____． 18. 如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是________________． 三、解答题（66分） 19. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程：． 20. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 如图，在ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离； （2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离． 22. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 23. 如图，在和中，，E是的中点，，求的度数． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 25. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是、且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得，得到，即． （1）写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 26. 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学随堂练习（3） 一、选择题 1. 的立方根等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 如图，，分别是的中线、高．已知的面积是6，，则的长是（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积的求解，解题的关键是熟记三角形面积公式：． 由，代入可得，再由是的中线即可得即可求解． 【详解】，分别是的中线、高．已知的面积是6，， ， 解得， 即． 故选：C． 3. 如图，数轴上有、、、四点，距离表示的点最近的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】先根据无理数的估算可得，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知，点所表示的数与最接近． 4. 若为实数，且，则的值是（ ） A. −1 B. 2 C. 1 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 6. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(　　) A. 36 B. 24 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， 是的角平分线，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 7. 如图，已知，小明利用如图所示的作图痕迹作出，由此他说，请你说明小明作图的根据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 9. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答． 题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意， 得①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 10. 如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 不确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题 11. 64的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 12. 若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；利用这一性质求出的值，进而求出这个正数． 【详解】解：由题可知， ， 解得：， 则这个正数是. 故答案为：． 13. 若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三条边的关系作答即可． 【详解】∵长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 【答案】80°或50° 【解析】 【详解】分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数=(180°−80°)÷2=50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50或80． 故答案为：80°或50°． 15. 如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=135°，∠DAC=55°，那么∠CFE的度数是_________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，设AD与BC交于点G， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， ∵∠BAE=135°，∠DAC=55°， ∴∠BAD+∠CAE=135°-55°=80°， ∴∠BAD=∠CAE=40°， ∵∠B=∠D，∠BGA=∠DGF， ∴∠CFE=∠DFB=∠BAD=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 17. 如图，是的角平分线上的一点，，，是的中点，点是上的一个动点，若的最小值为，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N，根据角平分线的定义可得∠AOP=∠AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到PD的长，继而根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求得结果． 【详解】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N， ∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°， ∴∠AOP=∠AOB=30°， 又∵PD⊥OA， ∴PD=OP，PN=PD， ∵点C是OB上一个动点， ∴PC的最小值为P到OB距离，即PN=PC的最小值=3， ∴PD =3， ∴OP=6， 又∵M是OP的中点， ∴DM=OP=3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 18. 如图，在边长为2的等边中，D是的中点，点E在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是________________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】连接，由都是等边三角形，是的中点，得，，，证明，所以，从而得在过并且垂直的线上运动，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，然后通过等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵都是等边三角形，是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在过并且垂直的线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，， ∴， ∴如图，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 三、解答题（66分） 19. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程：． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 移项得， 两边除以得， 开平方得， 解得，． 【小问3详解】 解：， 开立方得， 解得． 20. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出，，的值； （2）将，，的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：将，，， 代入得：， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． 21. 如图，在ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离； （2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离． 【答案】 （1）如图①，点P即为所求作： （2）如图②，点Q即为所求作： 【解析】 【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于P，如图①； （2）先作∠BAC的平分线AP，然后作PQ⊥BC交AB于Q，如图②． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22. 如图，． （1）求证：； （2）当，时，求点A到点的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形和等边三角形的判定定理成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，然后再根据即可证明结论； （2）连接，由全等三角形的性质可得，然后证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即点A到点的距离为4． 23. 如图，在和中，，E是的中点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可推出，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 24. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 25. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是、且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得，得到，即． （1）写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）估算出即可得到答案； （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为； 【小问2详解】 解：∵面积为249的正方形的边长是、且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中最大正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得，得到，即． 26. 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 （1）用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 （2）如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 【答案】（1）①②④ （2）证明：法：如图，过作于点，作，交于点， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在角平分线上， 平分； 法：如图，四边形是邻等对补四边形，延长至点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）过作于点，作，交于点，则，又四边形是邻等对补四边形，所以，又，则有，证明，所以，从而得点在角平分线上，即有平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【小问1详解】 解：根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④； 故答案为：①②④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ， ， ， ， ； ②当，时，如图， ，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ； ③当时，如图，同②； ④当，时，如图， ； 综上所述，的大小为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $