第五章 计数原理（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版选择性必修第一册
|
4份
|
20页
|
20人阅读
|
0人下载
内容正文：
2026-2027学年高二上学期数学单元自测
第五章 计数原理·基础通关
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（ ）
A．5种 B．11种 C．27种 D．45种
2．（ ）
A．17 B．22 C．27 D．34
3．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．120种
4．展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知，设，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ）
A．20种 B．19种 C．18种 D．17种
8．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21 B．35 C．36 D．45
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．关于，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为 B．所有项系数之和为
C． D．展开式中奇数项系数之和为
11．如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等
B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为
C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为________．
13．从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．
14．甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）用1，2，3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(1)1不在个位
(2)1与2相邻；
(3)1与2之间恰有两个数．
16．（15分）有6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？
(1)分给甲乙丙三人，每人两本；
(2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
17．（15分）已知．
(1)求的值和含的项的系数；
(2)求的值；
(3)已知，求的值．
18．（17分）已知，.
(1)求的值；
(2)证明：.
19．（17分）已知方程 ，求:
(1)这个方程的正整数解的组数；
(2)这个方程的非负整数解的组数；
(3)满足 ，( )的整数解的组数.
(注:不要求算出具体值，只列出式子即可)
1 / 9
学科网（北京）股份有限公
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
2026-2027学年高二上学期数学单元自测
第五章 计数原理·基础通关
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（ ）
A．5种 B．11种 C．27种 D．45种
【答案】D
【详解】分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法种数分别为5、3、3，
所以不同的选法种数共有.
2．（ ）
A．17 B．22 C．27 D．34
【答案】B
【详解】易知，；
所以可得.
3．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．120种
【答案】C
【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得.
【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法，
再对甲乙“松绑”，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种.
故选：C.
4．展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据二项式定理，其展开式通项公式为，
要求含项的系数，则令，解得，
所以系数为.
5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，所以,
在中，令得，
即展开式的各项系数之和为1.
6．已知，设，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先令，求得；把所给的等式两边对求导，再令，即可求解．
【详解】由题意得，令，得.
两边对求导，可得，
令，则，
所以．
7．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ）
A．20种 B．19种 C．18种 D．17种
【答案】D
【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解.
【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红，
三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红)种；
第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)，
要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）；
第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)，
X、Y无相邻限制，共种合法染色；
第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色；
第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)，
X可红可蓝，共2种合法染色.
所以总染色方法数：种，故选D.
8．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21 B．35 C．36 D．45
【答案】C
【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可.
【详解】“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有：
若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”；
若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”；
若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；
若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”；
若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；
若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”；
综上所述：共有个“幸运数”.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用排列数、组合数的阶乘展开公式与两大核心性质（组合对称性质，组合递推公式，排列数恒等变形），分别对四个选项左右两边展开化简对比，判断等式是否成立，得出B、C、D正确．
【详解】对于A，，，显然，A错误；
对于B，根据组合数性质，得，B正确；
对于C，，
，
所以，C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确．
10．关于，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为 B．所有项系数之和为
C． D．展开式中奇数项系数之和为
【答案】BCD
【详解】对于A，由，得二项式的系数和为，故A错误；
对于B，令，得，即所有项系数之和为，故B正确；
对于C，二项式的展开式的通项公式，
令，得，则，故C正确；
对于D，令，；
令，得，则，
即展开式中奇数项系数之和为.
11．如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等
B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为
C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则
【答案】ACD
【分析】A选项：第行第个数为，再结合进行运算；B选项：根据组合数性质进行运算；C选项：先由组合数性质得到第48行的所有数字之和，再结合二项式定理展开可得结论；D选项：根据组合数性质解出，再结合二项式定理展开进行运算.
【详解】第2027行中从左到右第29个数是，第2000个数是，因为，
所以第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等，A正确.
从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为，
因为，所以，
即每一行的第4个数字之和为，B错误.
第48行的所有数字之和为，
因为，
故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确.
因为，即（且）为公差不为0的等差数列，
则，解得，
又，
所以，又，
故，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为________．
【答案】40
【详解】在中，由二项式的展开式的通项公式可得，
所以展开式含的系数为，
乘以之后，得的系数为．
13．从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．
【答案】756
【分析】利用加法原理，分为不取0与取0两种，然后分别讨论能够组成没有重复数字的四位数的个数即可.
【详解】若不取0，则可以组成个没有重复数字的四位数；
若取0，则可以组成个没有重复数字的四位数，
于是可以组成个没有重复数字的四位数.
14．甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种．
【答案】10
【详解】由题意可知，甲选的数字为5或6，
若甲选的数字是5，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数一个是奇数一个是偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法；
若甲选的数是6，因为三个数的和是偶数，则乙和丙选的数同为奇数或者同为偶数，且乙选的数比丙选的数大，故共有种取法；
故满足条件的取法有种.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）用1，2，3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(1)1不在个位
(2)1与2相邻；
(3)1与2之间恰有两个数．
【答案】(1)600
(2)240
(3)144
【分析】（1）小问用总排列减去1在个位的情况即可；
（2）小问用捆绑法，将1和2捆绑在一起，组内全排列，然后5个元素全排列即可；
（3）小问分类讨论如下情况：1在编号1的位置，且2在编号4的位置；1在编号2的位置，且2在编号5的位置；1在编号3的位置，且2在编号6的位置；然后交换2在前1在后，又有3种情况，分类讨论6种情况即可.
【详解】（1）1不在个位，
总排列数：减去1在个位的情况：1固定在个位，剩下5个数全排列，
则.............4分
（2）1与2相邻（捆绑法），
把1、2捆绑看成一个整体，内部 1、2 可以互换（），一共5个元素全排列，
则..............8分
（3）1与2之间恰有两个数，
6 个位置编号：1，2，3，4，5，6 满足中间隔2个数的位置组合：
1在位1，2在位4；1 在位2，2在位5；1 在位3，2在位6，
反过来2在前，1在后，所以位置选择共6种．
中间两个位置，从剩下4个数选2个排列：剩余2个位置，剩下2个数全排列：，则..............13分
16．（15分）有6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？
(1)分给甲乙丙三人，每人两本；
(2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）分3步，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙即可.
（2）先分成3份，1份1本，1份2本，1份3本，将3份分给甲、乙、丙三人即可.
（3）分为3类，按411，321和222分，由分类加法计数原理即可求解.
【详解】（1）先从6本书中取出2本给甲，有种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，
最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法. .............5分
（2）先分成3份，1份1本，1份2本，1份3本，有种，
再将3份分给甲、乙、丙三人，故共有种分法. .............9分
（3）分为3类，按411，321和222分，①按411分，有种；
②按321分，有种；③按222分，有种，
故共有种．.............15分
17．（15分）已知．
(1)求的值和含的项的系数；
(2)求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，令即可求出，利用二项式的通项公式，即可求出的项的系数；
（2）根据题意，令即可求解；
（3）根据题意，令，通过已知条件求出即可.
【详解】（1）已知，
令，所以，解得，
由于的通项公式为，
当时，，
所以含的项的系数为..............6分
（2）令，则．.............10分
（3）当时，则与矛盾，所以，
令，则，
所以．即，解得，
所以..............15分
18．（17分）已知，.
(1)求的值；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见详解
【分析】（1）先利用二项式展开式的通项判断系数符号，再求二项式系数的绝对值的和.
（2）考查组合恒等式与数列求和，需要先化简通项，利用组合数公式得到组合数性质
转化为求和式，再结合二项式定理放缩证明不等式.
【详解】（1）由二项式定理得，的展开式的通项为：
，
因为，所以，
故，
所以，
此处可看作在 处时的值，则..............7分
（2）由（1）知， ，，
由得，，
故，则，所以，
令 ，则
，
..............17分
19．（17分）已知方程 ，求:
(1)这个方程的正整数解的组数；
(2)这个方程的非负整数解的组数；
(3)满足 ，( )的整数解的组数.
(注:不要求算出具体值，只列出式子即可)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，将原问题转化为100个小球的分组问题，考虑到每一组都需分配小球即可求解；
（2）考虑部分小组不分小球，我们假设有104个小球，每组都至少分一个小球，从而求解；
（3），每个小组的球的个数不少于其编号数，先给第一组0个小球，第二组1个小球，第三组2个小球，第四组3个小球，还剩94个小球，将其分成4组，即可求解.
【详解】（1）假设有100个完全相同的小球， 将其排成一列， 共有99个空位，
在其中选3个，插入挡板，即可将100个小球分成4组，有种分组方法;
第一组小球的数目是 ，第二组小球的数目是 ，第三组小球的数目是 ，第四组小球的数目是 ，则方程的正整数解的组数就是；.............5分
（2）由(1)假设有104个完全相同的小球，将其排成一列，共有103个空位，方程的非负整数解的组数是；.............9分
（3）我们先给第一组0个小球，第二组1个小球，第三组2个小球，第四组3个小球，
一共用掉（个）小球，还剩94个小球，.............12分
将其分成4组，每组至少分一个小球，94个小球共有93个空位，.............15分
所以满足的原方程的整数解的组数是..............17分
学科网（北京）股份有限公司1 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
2026-2027学年高二上学期数学单元自测
第五章 计数原理·基础通关（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
C
A
B
C
D
C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9
10
11
BCD
BCD
ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．40
13．756
14．10
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（1）1不在个位，
总排列数：减去1在个位的情况：1固定在个位，剩下5个数全排列，
则.............4分
（2）1与2相邻（捆绑法），
把1、2捆绑看成一个整体，内部 1、2 可以互换（），一共5个元素全排列，
则..............8分
（3）1与2之间恰有两个数，
6 个位置编号：1，2，3，4，5，6 满足中间隔2个数的位置组合：
1在位1，2在位4；1 在位2，2在位5；1 在位3，2在位6，
反过来2在前，1在后，所以位置选择共6种．
中间两个位置，从剩下4个数选2个排列：剩余2个位置，剩下2个数全排列：，则..............13分
16.解：（1）先从6本书中取出2本给甲，有种取法，
再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，
最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，
则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法. .............5分
（2）先分成3份，1份1本，1份2本，1份3本，有种，
再将3份分给甲、乙、丙三人，故共有种分法. .............9分
（3）分为3类，按411，321和222分，①按411分，有种；
②按321分，有种；③按222分，有种，
故共有种．.............15分
17.解：（1）已知，
令，所以，解得，
由于的通项公式为，
当时，，
所以含的项的系数为..............6分
（2）令，则．.............10分
（3）当时，则与矛盾，所以，
令，则，
所以．即，解得，
所以..............15分
18.解：（1）由二项式定理得，的展开式的通项为：
，
因为，所以，
故，
所以，
此处可看作在 处时的值，则..............7分
（2）由（1）知， ，，
由得，，
故，则，所以，
令 ，则
，
..............17分
19.解：（1）假设有100个完全相同的小球， 将其排成一列， 共有99个空位，
在其中选3个，插入挡板，即可将100个小球分成4组，有种分组方法;
第一组小球的数目是 ，第二组小球的数目是 ，第三组小球的数目是 ，第四组小球的数目是 ，则方程的正整数解的组数就是；.............5分
（2）由(1)假设有104个完全相同的小球，将其排成一列，共有103个空位，方程的非负整数解的组数是；.............9分
（3）我们先给第一组0个小球，第二组1个小球，第三组2个小球，第四组3个小球，
一共用掉（个）小球，还剩94个小球，.............12分
将其分成4组，每组至少分一个小球，94个小球共有93个空位，.............15分
所以满足的原方程的整数解的组数是..............17分
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1
学科网（北京）股份有限公司1 / 16
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此卷只装订不密封
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027学年高二上学期数学单元自测
第五章 计数原理·基础通关
建议用时：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（ ）
A．5种 B．11种 C．27种 D．45种
2．（ ）
A．17 B．22 C．27 D．34
3．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．120种
4．展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
5．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式的各项系数之和为（ ）．
A． B． C． D．
6．已知，设，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ）
A．20种 B．19种 C．18种 D．17种
8．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ）
A．21 B．35 C．36 D．45
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．关于，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为 B．所有项系数之和为
C． D．展开式中奇数项系数之和为
11．如图所示为杨辉三角.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623年-1662年）首先发现的.然而我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.该表第n行的第r个数可以表示为，同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A．第2027行中从左到右第29个数和第2000个数大小相等
B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为
C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为________．
13．从中任取两个数字，从中任取两个数字，一共可以组成______个没有重复数字的四位数．
14．甲、乙、丙三个人从中各取1个数，且所选的数字互不相同．甲说：“我选的数不小于5”；乙说：“我选的数比丙大”；丙说：“我们三个数的和是偶数”，已知三人说法均正确，则满足条件的取法有_____种．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）用1，2，3，4，5，6六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(1)1不在个位
(2)1与2相邻；
(3)1与2之间恰有两个数．
16．（15分）有6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？
(1)分给甲乙丙三人，每人两本；
(2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
17．（15分）已知．
(1)求的值和含的项的系数；
(2)求的值；
(3)已知，求的值．
18．（17分）已知，.
(1)求的值；
(2)证明：.
19．（17分）已知方程 ，求:
(1)这个方程的正整数解的组数；
(2)这个方程的非负整数解的组数；
(3)满足 ，( )的整数解的组数.
(注:不要求算出具体值，只列出式子即可)
试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页）
试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
