高中数学单元测试——第三章排列、组合与二项式定理（适中版02）

**基本信息** 高中数学第三章排列、组合与二项式定理单元复习卷，覆盖分类加法、分步乘法、排列组合应用、二项式定理等核心知识，题型梯度合理，注重数学思维与应用意识，适配单元巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分类加法（影城选电影）、分步乘法（报名小组）、排列数计算（偶数三位数）|基础概念与简单应用结合，情境贴近生活| |多选题|3/18|排列概念辨析、小球放盒（不同/相同球，空盒与否）|多角度考查易混点，培养批判性思维| |填空题|3/15|组合数计算、赵爽勾股定理涂色问题、二项式系数之和|融入文化传承情境，考查抽象建模能力| |解答题|5/77|方程不等式求解、二项式展开项（系数最大）、整除证明（二项式定理应用）、竞赛报名分配、函数视角下二项式系数性质|综合应用与逻辑推理并重，体现数学语言表达与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：D 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 【答案】A 【分析】应用组合数求可作的平面数即可. 【详解】由题意不可能出现3点共线的情况，所以一共可以作个平面. 故选：A 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 【答案】B 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得展开式中含项的系数 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，所以， 故的展开式中含有项的系数为-10. 故选：B 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】C 【分析】利用插空法结合排列组合的知识即可求解. 【详解】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种）. 故选：C. 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10．（本题6分）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）______. 【答案】35 【分析】利用组合公式进行计算. 【详解】. 故答案为：35. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证. 【详解】（1）, 易知除以外各项都能被7整除． 又显然能被7整除， 所以能被7整除． （2）是64的倍数， 故原式可被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析﹒ 【分析】(1)借助于杨辉三角可以画出图象； (2)借助于组合数公式，，利用组合数公式的阶乘式化简即可； (3)结合函数单调性的判断方法：满足时对应的是递增，时对应递减．由此再结合的奇偶性下结论． 【详解】（1） （2）证明：， ． （3）证明：由（2）得． 令得． 为正整数，此时，中间两项的二项式系数最大； ②若是偶数，则当时，是递增的，故最大，所以中间一项的二项式系数最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 排列、组合与二项式定理（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、2部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（   ） A．12 B．9 C．8 D．7 2．（本题5分）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（   ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（   ） A．24 B．30 C．36 D．60 5．（本题5分）在空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作（   ）个平面 A．56 B．70 C．210 D．336 6．（本题5分）的展开式中含有项的系数为（    ） A．10 B．-10 C．20 D．-20 7．（本题5分）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 8．（本题5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10．（本题6分）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）______. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 14．（本题5分）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 18．（本题17分）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 19．（本题17分）从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是． (1)画出函数的图象； (2)求证：； (3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $