第三章 空间向量与立体几何（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版选择性必修第一册

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第三章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以下4个命题中，正确的命题的个数为（     ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】①举反例，若为零向量，零向量和任意向量的数量积都为0， 所以时，和不一定相等，①错误. ②举反例，设，， ， 可知满足，，两两共面，但，，不共面，②错误. ③， 由共面向量基本定理可知，，共面， 故不能组成空间向量的一组基底，③错误. ④：左边， 只有，即，共线才等于右边，一般情况下不成立，④错误. 2．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理的推论计算即可． 【详解】因为A，B，C，P四点共面，则根据平面向量基本定理可知， ，则， 整理得，其中，系数和为１， 故由，可知，解得 3．在四面体中，点满足，点在线段上，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算将用基底表示，结合空间向量基本定理对应系数相等求解，进而计算. 【详解】由，可得； 因点在线段上，设，则； 由向量减法法则得：； 将展开，其中，代入得：； 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等，列方程组： ，解得，； 计算得. 4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法，结合中点向量公式求出，再由线段比例得到，代入化简，用基底表示． 【详解】由，得， 因为点为的中点，所以， 所以． 5．已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设，，，从而求得，，结合空间向量的坐标运算即可求解的最小值. 【详解】因为，，设，，， 又，所以，且，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最小值是. 6．《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式，取余弦绝对值，得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】设底面扇环的圆心为，以为坐标原点，为轴，底面内垂直于向上为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 已知底面扇环内外半径为和，圆心角为，曲池高为，为中点． 可得各点坐标：，，， ，，， 是中点，故．，． 计算数量积：， ，， 异面直线所成角范围是，余弦取绝对值： ． 7．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 8．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法分别判断，对命题①转化为方程（）的解个数可得；对②则转化为（）的解的个数可得；对③则根据向量共线条件直接可得；对④只需判断三点的坐标都为即可判断正确. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A．已知，则 B．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 C．已知空间三点，则向量与的夹角余弦值为 D．若为空间中任意一点，有，则点在平面内. 【答案】ABD 【详解】已知，则， 故A正确； 若存在实数，使，且共线，则与共面； 若存在实数，使，且不共线，则由共面定理可知与共面； 故充分性成立， 若共线，但与不共线，则不存在实数，使，故必要性不成立， 故B正确； ， 则向量与的夹角余弦值为，故C错误； ，则， 则，则点在平面内，故D正确. 10．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（   ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法逐一判断各选项即可. 【详解】因为平面，底面是正方形， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.    设，则、、、、， 因为、分别是、的中点，所以、. 设，其中，则，，. 选项A：，所以，故A正确； 选项B：，.设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 若平面，则，解得. 此时为中点，且不在平面内，所以存在点使平面，故B正确； 选项C：若直线与所成的角为， . 整理得，因为，方程无解，故C错误； 选项D：易知平面的一个法向量为，且， 则点到平面的距离为， 平面的一个法向量为，则点到平面的距离为， 故点到平面和平面的距离之和为，故D正确. 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论正确的是（ ） A．直线平面 B．存在点，使得 C．面积的最小值是 D．，，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】选项A，取特殊位置的点，举出反例，即当与重合，当与重合时，可以得到直线和平面不平行，从而得到结论；选项B，建立空间直角坐标系，设，，则，利用向量的坐标公式求出的坐标，假设存在点，使得，则，利用向量的数量积公式得解；选项C，由点得到在上的投影，利用两点间的距离公式求解；选项D，取的中点，通过线段成比例得到 ，利用线面垂直的判定定理和线面垂直的定义得到，同理，，从而得到是和的公垂线段，则此时的为最小值，求出    ，从而得到的最小值. 【详解】选项A，因为点在上，点在上，且， 所以当与重合，当与重合时，满足， 但是直线与平面不平行，故选项A错误； 选项B，以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为2 ， 则， 点在线段上运动，设，，则， ，， 则，解得， 则， ，即， ，即， 假设存在点，使得， 则，即， 即， 解得，解得， 因为，所以， 故存在点，使得，故选项B正确； 选项C，，点在上的投影为， 则点到的距离为， 则的面积为， 当时，的面积取最小值，且最小值为， 故选项C正确； 选项D，，，取的中点，连接交于， 连接交于，连接，此时为最小值， 因为为的中点，所以，， 则，， 则，则，且， 连接，因为是正方形，所以， 因为是正方体，所以平面， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 同理，，因为，所以，， 则是和的公垂线段，则此时的为最小值，     因为，，所以， 则的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】由直线的方向向量与平行求出，进而得到和的坐标；再利用向量投影求出点到直线的距离，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】由题可知，，又直线的一个方向向量为，所以，解得， 所以，， 又，所以，且， 所以向量在向量上的投影向量的模长为， 故点A到直线的距离为， 所以． 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 14．在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】 【分析】根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，根据线面角的向量求法即可得到的坐标，从而得到答案. 【详解】因为，，所以是等腰三角形，取的中点为，连接，则， 在中，，，所以， 因为，且在平面内的投影为，所以，这意味着点在的中垂线上，即在直线上， 已知，而，所以在上，且，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，如图所示， 各点坐标如下，，，， 因为在上，且，所以的坐标为，即，点在的正上方，，所以， 已知点 ，计算向量， ， 设平面 的法向量为 ，则，令，则，，所以， 点在线段上，设，其中， 向量，直线与平面所成角 ，为锐角， ， 平方得，解得或（舍去，不在内）， 所以，此时，，，，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用基底法求出长度，再通过向量数量积计算与夹角的余弦值，进而求出正弦值，代入平行四边形面积公式求解. （2）先证明平面，确定与平面所成角为，再通过向量模长公式分别计算、，代入三角函数公式求解即可. 【详解】（1）设， 因为且，， 所以，，又， ∴，............2分 ，即， 所以，............4分 所以；............6分 （2）连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角，............9分 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为.............13分 16．（15分）如图，在长方体中，，点在上，且． (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【详解】（1）证明：在长方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以，得，则，而不在直线上， 因此，又平面，平面， 所以平面.............5分 （2）由（1）得， 设平面的法向量为， 则，，令，得，.............8分 因为，，所以 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值.............11分 （3）由（1）得， 由（2）平面的法向量， 所以到平面的距离为.............15分 17．（15分）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． (1)求二面角的平面角的余弦值． (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)直线上是存在点，使得平面，点在直线上，且位于点的另一侧（相对于），满足 . 【分析】（1）通过边长与角度关系，建立空间直角坐标系，直接求出平面的法向量与 平面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值； （2）线面平行转化为线与平面的法向量垂直，利用的坐标将表示出来，根据公式将求出来. 【详解】（1）在底面菱形中， 已知，且边长均为2 连接交于点 ，则，且为的中点 在中，,，故为正三角形 所以，， 建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于底面向上的方向为轴。............2分 则 已知平面平面，且交线为 因为在平面 内，所以在底面的投影落在交线（即轴）上。 又已知， 在平面内，过 作于 在中，， 因为，且 在上，，故，即与重合。 因此 设平面的法向量 , 则，令，则 故............5分 平面的法向量可为， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐角。 所以，二面角的余弦值为.............7分 （2）存在，设平面的法向量为， ，， 所以，令，则 ............10分 由（1）可知，， 设， 所以， 平面，所以， 即，解得 所以点在直线上，且位于点的另一侧（相对于），满足 .............15分 18．（17分）如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， (1)若，当E从A运动到B时，求截面扫过的几何体的体积； (2)若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见详解 （ⅱ） 【分析】（1）根据判断动点运动范围，确定截面扫出的四棱锥，用补成三棱柱减去三棱锥的方法求体积； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，写出两向量坐标，计算数量积等于0，证两直线垂直； （ⅱ）利用三棱锥体积公式转化为求底面面积最大值，用基本不等式求出m，再由三垂线定理找到二面角的平面角，计算正切值． 【详解】（1）由，结合正方形性质可知，当E从A运动到B时，F从C运动到B， 截面始终为梯形，最终收缩为三角形，扫过的几何体是四棱锥， 把几何体补为三棱柱，则， 三棱锥的体积为， 故截面扫过的几何体的体积．............5分 （2）（ⅰ）以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图： ，则，，，， ，， 由，．............10分 （ⅱ），若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值， ， 当且仅当时，即时取等号，...........13分 即，分别是棱，上中点，则，， 过作，则是中点，连接，则， 又平面，平面， 故为平面与平面的夹角， ，，所以．............17分 19．(17分）如图1，在平面五边形中，，，，，、分别为、的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2． (1)若平面． （i）证明：； （ii）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围． (2)在翻折的过程中，二面角正弦值的范围为，求平面与平面夹角的最小值． 【答案】(1)（ⅰ）证明见详解 （ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理得证； （ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式列式求出球心坐标，再结合球面的性质求出的范围； （2）由二面角的定义确定二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）（ⅰ）如图，令， 由，得，由，，得， 则，， 而，则为正三角形，于是， 又，则， 由平面，平面，得， 而，、平面，因此平面， 又平面，所以.............5分 （ⅱ）由、分别为、的中点，得，则， 作，则直线、、两两垂直， 以为原点，直线、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 设球心为，由， 得，解得，............8分 即，因此球的半径， ， 则的最小值为，的最大值为， 所以的取值范围为.............11分 （2）令，因为，且为的中点，所以为的中点， 连接，则，，作平面， 则直线、、两两垂直，以为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 设，由（1）知，而，则是二面角的平面角， ，由二面角正弦值的范围为，得， 由，得，， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，取，得， ，取，得，............14分 设平面与平面夹角的大小为，则 ，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，此时取得最小值， 所以平面与平面夹角的最小值为.............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第三章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以下4个命题中，正确的命题的个数为（     ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，点满足，点在线段上，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 8．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A．已知，则 B．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 C．已知空间三点，则向量与的夹角余弦值为 D．若为空间中任意一点，有，则点在平面内. 10．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论正确的是（ ） A．直线平面 B．存在点，使得 C．面积的最小值是 D．，，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14．在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 16．（15分）如图，在长方体中，，点在上，且． (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求点到平面的距离． 17．（15分）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． (1)求二面角的平面角的余弦值． (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 18．（17分）如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， (1)若，当E从A运动到B时，求截面扫过的几何体的体积； (2)若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 19．(17分）如图1，在平面五边形中，，，，，、分别为、的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2． (1)若平面． （i）证明：； （ii）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围． (2)在翻折的过程中，二面角正弦值的范围为，求平面与平面夹角的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第三章 空间向量与立体几何·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D B A D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）设， 因为且，， 所以，，又， ∴，............2分 ，即， 所以，............4分 所以；............6分 （2）连接，交于点H，连接， ∵菱形，∴， 又，所以. 又，，平面，所以平面. ∴为与平面所成的角，............9分 又， ， ∴， 又，， ∴，所以， 所以与平面所成角的余弦值为.............13分 16.解：（1）证明：在长方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以，得，则，而不在直线上， 因此，又平面，平面， 所以平面.............5分 （2）由（1）得， 设平面的法向量为， 则，，令，得，.............8分 因为，，所以 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值.............11分 （3）由（1）得， 由（2）平面的法向量， 所以到平面的距离为.............15分 17.解：（1）在底面菱形中， 已知，且边长均为2 连接交于点 ，则，且为的中点 在中，,，故为正三角形 所以，， 建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于底面向上的方向为轴。............2分 则 已知平面平面，且交线为 因为在平面 内，所以在底面的投影落在交线（即轴）上。 又已知， 在平面内，过 作于 在中，， 因为，且 在上，，故，即与重合。 因此 设平面的法向量 , 则，令，则 故............5分 平面的法向量可为， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐角。 所以，二面角的余弦值为.............7分 （2）存在，设平面的法向量为， ，， 所以，令，则 ............10分 由（1）可知，， 设， 所以， 平面，所以， 即，解得 所以点在直线上，且位于点的另一侧（相对于），满足 .............15分 18.解：（1）由，结合正方形性质可知，当E从A运动到B时，F从C运动到B， 截面始终为梯形，最终收缩为三角形，扫过的几何体是四棱锥， 把几何体补为三棱柱，则， 三棱锥的体积为， 故截面扫过的几何体的体积．............5分 （2）（ⅰ）以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图： ，则，，，， ，， 由，．............10分 （ⅱ），若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值， ， 当且仅当时，即时取等号，...........13分 即，分别是棱，上中点，则，， 过作，则是中点，连接，则， 又平面，平面， 故为平面与平面的夹角， ，，所以．............17分 19.解：（1）（ⅰ）如图，令， 由，得，由，，得， 则，， 而，则为正三角形，于是， 又，则， 由平面，平面，得， 而，、平面，因此平面， 又平面，所以.............5分 （ⅱ）由、分别为、的中点，得，则， 作，则直线、、两两垂直， 以为原点，直线、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 设球心为，由， 得，解得，............8分 即，因此球的半径， ， 则的最小值为，的最大值为， 所以的取值范围为.............11分 （2）令，因为，且为的中点，所以为的中点， 连接，则，，作平面， 则直线、、两两垂直，以为原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 设，由（1）知，而，则是二面角的平面角， ，由二面角正弦值的范围为，得， 由，得，， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，取，得， ，取，得，............14分 设平面与平面夹角的大小为，则 ，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，此时取得最小值， 所以平面与平面夹角的最小值为.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第三章 空间向量与立体几何·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在以下4个命题中，正确的命题的个数为（     ） ①若，则； ②若三个向量，，两两共面，则向量，，共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知O为平面外一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，点满足，点在线段上，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）的柱体．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为和，对应的圆心角为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 8．如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题为真命题的是（    ） A．已知，则 B．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 C．已知空间三点，则向量与的夹角余弦值为 D．若为空间中任意一点，有，则点在平面内. 10．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论正确的是（ ） A．直线平面 B．存在点，使得 C．面积的最小值是 D．，，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在空间直角坐标系中，已知，，，若直线的一个方向向量为，则的面积为_________． 13．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 14．在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，. (1)求四边形的面积； (2)求与平面所成角的余弦值. 16．（15分）如图，在长方体中，，点在上，且． (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求点到平面的距离． 17．（15分）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． (1)求二面角的平面角的余弦值． (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 18．（17分）如图，在棱长为的正方体中，E，F分别是棱，上的动点， (1)若，当E从A运动到B时，求截面扫过的几何体的体积； (2)若，则 （ⅰ）求证：； （ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 19．(17分）如图1，在平面五边形中，，，，，、分别为、的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2． (1)若平面． （i）证明：； （ii）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围． (2)在翻折的过程中，二面角正弦值的范围为，求平面与平面夹角的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $