第一章 空间向量与立体几何（单元分层自测·培优冲刺卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该高二数学选择性必修一空间向量与立体几何培优冲刺单元卷，以核心素养为导向，覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算等知识，通过基础巩固到创新探究的梯度设计，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|空间直角坐标系、方向向量与法向量|基础概念辨析，如对称点坐标、线面关系判断| |多项选择|3/18|共面判定、基底性质|多维度辨析，如正方体图案中空间关系判断（第11题）| |填空题|3/15|向量垂直、阳马模型|文化情境融入，如《九章算术》阳马（第13题）| |解答题|5/92|空间向量应用、二面角、存在性探究|综合能力梯度，如刍甍折叠问题（第19题）融合直观想象与创新意识|

2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D C A B C C C AD AB ABC 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 12．5 13．1 14． 三、解答题（共9小题，共72分） 15．（13分） 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【详解】（1），，，，（2分） 又，，. （4分） 因此，，. （5分） （2），.（7分） ，. （8分） . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （10分） （3）在上的投影向量为. （13分） 16.（15分） 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ，（3分） 又， 所以；（5分） 由题意，， 所以，，，（7分） 所以 ．（9分） （2）因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，·（12分） 所以.（15分） 17.（15分） 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面.（2分） 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，，（4分） ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面.（6分） （2）平面即为底面，取其一个法向量.（7分） 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即.（9分） 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.（11分） （3）设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即.（13分） ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为.（15分） 18.（17分） 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3). 【详解】（1）当时，是的中点，因是的中点，则， 连接，交于点，连接， 因四棱锥是正四棱锥，则平面，且互相垂直平分， 又是的中点，则，故，（2分） 又平面，平面，故平面.（4分） （2）由（1）易得两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 所以，则，（6分） ， 则（8分） 由可得： ，解得.（10分） （3）由上分析，， 设平面的法向量为，则，可取；（11分） 又，， 设平面的法向量为，则， 可取 （13分） 设平面与平面的夹角为，则，（15分） 因，则，故可得. 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析 【详解】（1）取CF中点M，连接OM，GM， 由题意可知∥且，（1分） 又因为O是矩形EBCF对角线的交点，所以∥且， 所以∥且，则四边形AOMG为平行四边形，（3分） 所以∥且， 又因为平面GCF，平面GCF，所以∥平面GCF；（5分） （2）因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立，所以∠AEB即为二面角的平面角，则，（6分） 以E为坐标原点，，分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，所以， 又因为，∥平面BCFE，所以， 所以，，，（8分） 设平面GFC的一个法向量， 则，则有，取，（9分） 所以， 所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为；（11分） （3）假设存在满足条件的点P，设，所以， 则，，设平面EBP的一个法向量为， 则，所以，取，（13分） 由（2）知平面GFC的一个法向量， 则，（15分） 要使平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为， 则只需，即，整理得，解得， 所以在棱AG上不存在点P，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】空间中的点关于平面的对称的点横纵坐标不变，竖坐标变为相反数， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：C 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 3．如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 5．若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 因为向量在基底下的坐标为， 所以， 则，故向量在基底下的坐标为. 故选：B. 6．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 8．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则， 如图，作，，垂足分别为点、，连接，    则， 所以， 由图可知，， ，，， 所以， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：C. 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 【答案】AD 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若平面与平面的法向量分别为，则 C．为所在平面外一点，若，则点平面且在内部 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AB 【详解】因，则异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 因，则，故B正确； 因，则， 则，即， 由平面向量基本定理可知，共面， 又有公共点，有公共点，则点平面， 设，由向量的加法法则可知，点在的外部， 又同向，则点在的外部，故C错误； 设，则， 因是空间的一个基底，则，故共面， 则不可以是空间的一个基底，故D错误. 故选：AB 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C． D．异面直线与所成角的正切值为4 【答案】ABC 【详解】依题意得，故A正确； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， 对于BC，， 所以，设， 则点到直线的距离，故BC正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误． 故选：ABC． 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二上·湖北·期中）已知向量，，若，则______. 【答案】5 【详解】由，得，解得，， 所以 13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 14．如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 四、解答题 15．（13分） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 16.（15分） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ， 又， 所以； 由题意，， 所以，，， 所以 ． （2）因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，· 所以. 17.（15分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 18.（17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3). 【详解】（1）当时，是的中点，因是的中点，则， 连接，交于点，连接， 因四棱锥是正四棱锥，则平面，且互相垂直平分， 又是的中点，则，故， 又平面，平面，故平面. （2）由（1）易得两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 所以，则，， 则 由可得： ，解得. （3）由上分析，， 设平面的法向量为，则，可取； 又，， 设平面的法向量为，则，可取 设平面与平面的夹角为，则， 因，则，故可得. 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 19．（17分） 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：∥平面GCF； (2)若二面角的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析 【详解】（1）取CF中点M，连接OM，GM， 由题意可知∥且， 又因为O是矩形EBCF对角线的交点，所以∥且， 所以∥且，则四边形AOMG为平行四边形， 所以∥且， 又因为平面GCF，平面GCF，所以∥平面GCF； （2）因为在图1中，，且，， 在图2中上述关系依然成立，所以∠AEB即为二面角的平面角，则， 以E为坐标原点，，分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，所以， 又因为，∥平面BCFE，所以， 所以，，， 设平面GFC的一个法向量， 则，则有，取， 所以， 所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点P，设，所以， 则，，设平面EBP的一个法向量为， 则，所以，取， 由（2）知平面GFC的一个法向量， 则， 要使平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为， 则只需，即，整理得，解得， 所以在棱AG上不存在点P，平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 5．若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 8．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若平面与平面的法向量分别为，则 C．为所在平面外一点，若，则点平面且在内部 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C． D．异面直线与所成角的正切值为4 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二上·湖北·期中）已知向量，，若，则______. 13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 14．如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 四、解答题 15．（13分） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16.（15分） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 17.（15分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 18.（17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19．（17分） 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：∥平面GCF； (2)若二面角的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学选择性必修一单元自测 第一章 空间向量与立体几何·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（    ） A． B． C． D． 4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 5．若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 8．如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2、 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若平面与平面的法向量分别为，则 C．为所在平面外一点，若，则点平面且在内部 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C． D．异面直线与所成角的正切值为4 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二上·湖北·期中）已知向量，，若，则______. 13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 14．如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 四、解答题 15．（13分） 已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 16.（15分） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． (1)用，，表示并求出的值； (2)求的值. 17.（15分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 18.（17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且. (1)若，证明：平面； (2)若，求的值； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19．（17分） 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：∥平面GCF； (2)若二面角的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P，使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $