03 单元素养测评卷（三）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

单元素养测评卷(三)  第三章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·广东梅州高二期末] 在空间直角坐标系中,已知点A(0,1,2),B(1,-2,-1),=2,则点P的坐标是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(2,-6,-6) B.(2,-5,-4) C.(2,-7,-8) D.(3,-8,-7) 2.平面α的一个法向量为(1,-2,-1),平面β的一个法向量为(-1,2,k),α∥β,则k= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ= (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, 以D为原点, {,,}为标准正交基, 建立空间直角坐标系D-xyz, 则平面AB1C的法向量的坐标可以是 (　　) A.(1,1,1) B.(-1,1,1) C.(1,-1,1) D.(1,1,-1) 5.已知几何体ABCD-EFGH是棱长为4的正方体,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,P(3,1,2),则P到AB的距离为 (　　) A. B. C. D.2 6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,且BC=AB=AA1,E,F,G分别为AB,CC1,A1C1的中点,则EF与平面GB1F夹角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为面对角线BD的中点. 设点P在棱CC1上,直线OP与平面A1BD的夹角为α,则sin α的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 8.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,O为BC的中点,M是棱B1C1上一动点,过O作ON⊥AM于点N,则线段MN长度的最小值为 (　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,BC的中点,G,H分别在棱CC1,A1D1上,且满足=2,=2,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是 (　　) A.=-a+b+c B.=a-b-c C.=a-b+c D.=a+b+c 10.已知空间向量a=(-3,-1,2),b=(3,3,1),则下列说法正确的是 (　　) A.(3a+2b)∥a B.a⊥(5a+7b) C.|a|= D.|b|= 11.[2024·云南昆明高二期末] 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,若PA=AB=AD=2,E,F分别为PD,PB的中点,则 (　　) A.EF⊥平面PAC B.异面直线AB,CE夹角的余弦值为 C.点A到平面PCD的距离为 D.直线AC与平面EFC夹角的正弦值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知平面α的一个法向量为n=(1,2,-2),直线l的一个方向向量为u=(-2,m,4),且l⊥α,则实数m=　　　　.  13.[2024·广西南宁高二期末] 已知空间向量a=(1,0,-1),b=(2,-1,1),则向量b在向量a方向上的投影向量的坐标是　　　　.  14.[2024·江苏盐城高二期末] 已知=(1,0,0),=(1,1,0),=(1,1,1),点M在直线OC上运动,则cos<,>的最大值为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)求cos<a,b>; (2)若ka+b与ka-2b垂直,求实数k的值. 16.(15分)[2024·江苏盐城高二期末] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,AB⊥AC. (1)求直线AB1与A1C夹角的余弦值; (2)设点D∈平面ABC,C1D⊥平面A1BC,求线段C1D的长度. 17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形且AD=2AB=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD是正三角形,E,F分别是AD,PB的中点. (1)求证:AF∥平面PCE; (2)求直线CF与平面PCE夹角的正弦值; (3)求点F到平面PCE的距离. 18.(17分)[2024·辽宁沈阳高二期末] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱AA1,CC1上,且AE=2EA1,2CF=FC1. (1)求证:B,E,D1,F四点共面; (2)若AB=2,AD=2,AA1=3,求平面DEF与平面BDF夹角的正弦值. 19.(17分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AC=BC=2,∠ACB=90°,D,E分别是A1B1,CC1的中点. (1)求证:C1D∥平面A1BE. (2)求平面C1A1E与平面A1BE夹角的正弦值. (3)在棱CC1上是否存在一点P,使得直线PD与平面A1BE夹角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(三) 1.B　[解析] 设P(x,y,z),因为=2,所以(x,y-1,z-2)=2(1,-3,-3),可得所以P(2,-5,-4).故选B. 2.C　[解析] 因为平面α的一个法向量为(1,-2,-1),平面β的一个法向量为(-1,2,k),且α∥β,所以==,解得k=1.故选C. 3.B　[解析] 连接PD,由=6-4+λ,得-=6-4+λ,整理得=6-3+λ.∵A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,∴6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B. 4.D　[解析] 由题可知B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),则=(0,1,1),=(-1,1,0),设平面AB1C的法向量为n=(x,y,z),则即 取y=1,则x=1,z=-1,∴平面AB1C的一个法向量为n=(1,1,-1),选项A,B,C中坐标表示的向量与n=(1,1,-1)不共线,故选D. 5.C　[解析] 由题可知A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(0,0,4),P(3,1,2),则=(4,0,0),=(0,4,0),=(0,0,4),=(3,1,2),设a==(3,1,2),u==(1,0,0),因为在方向上的投影数量的绝对值为=|a·u|,a2=32+12+22=14,a·u=3×1+1×0+2×0=3,所以点P到AB的距离d===.故选C. 6.A　[解析] 设BC=AB=AA1=2,则AC=2,如图,以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则F(2,0,1),B1(0,0,2),G(1,1,2),E(0,1,0),则=(2,-1,1),=(1,-1,-1),=(-1,-1,0).设平面GB1F的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,则x=-1,z=-2,故n=(-1,1,-2)为平面GB1F的一个法向量.设EF与平面GB1F的夹角为θ,则sin θ===,∴EF与平面GB1F夹角的正弦值为.故选A. 7.B　[解析] 设正方体的棱长为1,以C为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则O,B(0,1,0),D(1,0,0),A1(1,1,1),∴=(1,-1,0),=(0,1,1).令P(0,0,m),m∈[0,1],则=,m∈[0,1].设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),由可得取y=1,则n=(1,1,-1),∴sin α=|cos<n,>|===.设1+m=t,∵m∈[0,1],∴t∈[1,2],sin α==,∴sin α∈.故选B. 8.B　[解析] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O为BC的中点,取B1C1的中点Q,连接OQ,OM,OA.易知OA,OC,OQ两两垂直,故以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,∵AB=2,AA1=,∴O(0,0,0),A(0,,0),B1(-1,0,),C1(1,0,).∵M是棱B1C1上一动点,∴设M(a,0,),且a∈[-1,1],∴·=(a,0,)·(0,,0)=0,则OA⊥OM,又ON⊥AM,∴△OMN∽△AMO,则=,即MN===.令t=,t∈[,],则==t-,t∈[,],又函数y=t-在[,]上单调递增,∴当t=时,=-=,即线段MN长度的最小值为,故选B. 9.AD　[解析] 由已知可得,==,==,==,==.对于A,=++=-++=-a+b+c,故A正确;对于B,=++=--=a-b-c,故B错误;对于C,=+++=--++=a-b+c,故C错误;对于D,=+++=-+++=a+b+c,故D正确.故选AD. 10.BCD　[解析] 对于A选项,3a+2b=3(-3,-1,2)+2(3,3,1)=(-3,3,8),且≠≠,则3a+2b与a不共线,A错误;对于B选项,5a+7b=5(-3,-1,2)+7(3,3,1)=(6,16,17),所以a·(5a+7b)=-3×6-16+34=0,所以a⊥(5a+7b),B正确;对于C选项,|a|==,C正确;对于D选项,|b|==,D正确.故选BCD. 11.AD　[解析] 对于A,连接BD,则BD⊥AC,因为E,F分别为PD,PB的中点,所以EF∥BD.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC,则EF⊥平面PAC,故A正确.对于B,因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AB⊥AD,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(0,1,1),F(1,0,1),则=(2,0,0),=(-2,-1,1),所以cos<,>===-,则异面直线AB,CE夹角的余弦值为,故B错误.对于C,设点A到平面PCD的距离为h,易得PD=2,S△ACD=×2×2=2,S△PCD=×2×2=2,则由VP-ACD=VA-PCD,得S△ACD·PA=S△PCD·h,即×2×2=×2×h,则h=,故C错误.对于D,由选项B,知=(1,-1,0),=(2,1,-1),=(2,2,0),设平面EFC的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=3,所以m=(1,1,3),设AC与平面EFC的夹角为θ,则sin θ===,故D正确.故选AD. 12.-4　[解析] 因为平面α的一个法向量为n=(1,2,-2),直线l的一个方向向量为u=(-2,m,4),且l⊥α,所以n∥u,则存在实数λ使得u=λn,即(-2,m,4)=(λ,2λ,-2λ),解得λ=-2,m=-4. 13.　[解析] 因为空间向量a=(1,0,-1),b=(2,-1,1),所以向量b在向量a方向上的投影向量是|b|·cos<a,b>·=·a=·(1,0,-1)=. 14.　[解析] 设=t=(t,t,t),t∈R,则=-=(1-t,1-t,-t),所以cos<,>==,既然求上式的最大值,必有1-t>0,令1-t=m,m>0,则cos<,>====≤=,当m=1,即t=0时取等号,所以cos<,>的最大值为. 15.解:(1)由题可知a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以cos<a,b>===-. (2)由(1)可知ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),因为ka+b与ka-2b垂直,所以(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=(2k+5)(k-2)=0,解得k=-或k=2. 16.解:(1)由题意得AA1⊥平面ABC,因为AB,AC⊂平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又因为AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两垂直,以点A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0),所以=(1,0,2),=(0,1,-2).设异面直线AB1与A1C的夹角为θ, 可得cos θ=|cos<,>|===, 所以直线AB1与A1C夹角的余弦值为. (2)由(1)中的空间直角坐标系,可得B(1,0,0),C1(0,1,2),因为点D∈平面ABC,所以设点D的坐标为(x,y,0),可得=(x,y-1,-2). 易知=(1,0,-2),=(0,1,-2), 设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则 取z=1,可得x=2,y=2,所以n=(2,2,1). 要使得C1D⊥平面A1BC,则满足∥n,即==, 解得x=-4,y=-3,所以=(-4,-4,-2),则||==6,即线段C1D的长度为6. 17.解:(1)证明:取PC的中点M,连接MF,ME,如图,因为F是PB的中点,所以MF是三角形PBC的中位线,所以MF∥BC,且MF=BC. 因为底面ABCD为矩形,E是AD的中点, 所以AE∥BC,AE=BC.所以MF∥AE,且MF=AE,所以四边形AFME是平行四边形,故AF∥ME.因为AF⊄平面PCE,ME⊂平面PCE,所以AF∥平面PCE. (2)因为侧面PAD是正三角形,E是AD的中点,所以PE⊥AD, 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE⊂平面PAD,所以PE⊥底面ABCD. 取BC的中点H,连接EH.以E为坐标原点,ED所在直线为x轴,EH所在直线为y轴,EP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(1,1,0),P(0,0,),B(-1,1,0),F,E(0,0,0), 所以=,=(-1,-1,0),=(0,0,). 设平面PCE的法向量为m=(x,y,z), 则令x=1得y=-1,所以m=(1,-1,0). 设直线CF与平面PCE的夹角为α,则sin α=|cos<,m>|== =, 所以直线CF与平面PCE夹角的正弦值为. (3)由(2)可知,点F到平面PCE的距离d===. 18.解:(1)证明:如图所示,在棱BB1上取点M,使得BM=CF,连接A1M,MF,D1F,EB, 又BM∥CF,所以四边形BMFC为平行四边形, 则MF∥BC且MF=BC,又BC∥A1D1且BC=A1D1,所以MF∥A1D1且MF=A1D1, 则四边形A1D1FM为平行四边形,所以A1M∥D1F. 同理可证四边形A1MBE为平行四边形,则BE∥A1M.所以BE∥D1F, 所以B,E,D1,F四点共面. (2)以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0,2),F(0,2,1), 所以=(2,0,2),=(0,2,1),=(-2,-2,0),=(-2,0,1). 设平面DEF的法向量为n=(x1,y1,z1), 则令z1=2,则n=(-2,-1,2). 设平面BDF的法向量为m=(x2,y2,z2), 则令x2=1,则m=(1,-1,2).设平面DEF与平面BDF的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,m>|===.所以sin θ==,所以平面DEF与平面BDF夹角的正弦值为. 19.解:(1)证明:取AB的中点F,连接DF,记DF与A1B的交点为M,可知M为A1B的中点,连接EM,如图, 易知四边形EMDC1 为平行四边形, 所以C1D∥EM,又C1D⊄平面A1BE,EM⊂平面A1BE,所以C1D∥平面A1BE. (2)以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则B(0,2,0),E(0,0,1),A1(2,0,2), 所以=(2,0,1),=(0,2,-1). 设平面A1BE的法向量为n1=(x,y,z), 则即令x=1,可得n1=(1,-1,-2). 由题意知平面C1A1E的一个法向量为n2=(0,2,0), 所以|cos<n1,n2>|===,所以平面C1A1E与平面A1BE夹角的正弦值为= . (3)假设在棱CC1上存在一点P,使得直线PD与平面A1BE夹角的正弦值为,由(2)知D(1,1,2),设点P(0,0,c),0≤c≤2,则=(1,1,2-c).由(2)知平面A1BE的一个法向量为n1=(1,-1,-2), 所以|cos<,n1>|===, 解得c=(舍去)或c=,故在棱CC1上存在一点P, 使得直线PD与平面A1BE夹角的正弦值为,此时==. 学科网（北京）股份有限公司 $