4.3 指数函数与对数函数的关系 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.3 指数函数与对数函数的关系　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 同一个关系的两个方向：从指数函数到对数函数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解反函数的概念，知道「给定值域中任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应」是存在反函数的前提，会判断一个函数是否存在反函数； ② 会求简单函数的反函数（对调 x 与 y，再解出 y），知道反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域； ③ 理解互为反函数的两个函数图象关于直线 y=x 对称，会用对称性作图和求对应点的坐标； ④ 知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，会用这一关系求反函数、求点的坐标。 重点 反函数的概念与求法；指数函数与对数函数互为反函数。 难点 理解「任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应」这一前提；用图象的对称性处理点的坐标与函数值问题。 二、情境引入：同一个关系的两个方向 4.1 节研究指数函数 （a>0 且 a≠1）时，我们反复做过指数式与对数式的互化： 与 表示同一个关系，而后者又可以写成 。 于是得到一对函数： 与 。它们来自同一个关系 ，区别只在于把 x 与 y 的位置对调了。把两个变量对调，函数会发生什么变化？定义域、值域、单调性、图象能不能由原来的函数直接看出来？这就是本节要研究的「反函数」。 想一想：把 中的 x 与 y 对调，得 ，再解出 y 得 。这两个函数是什么关系？它们的图象又有什么联系？ 三、反函数的概念 定义：一般地，如果在函数 中，给定值域中任意一个 y 的值，只有唯一的 x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 的反函数，记作 ，此时称 存在反函数。 定义中有三个要点：① 前提是「给定值域中任意一个 y 的值，只有唯一的 x 与之对应」，一个 y 对应两个 x 时反函数不存在；② 由此得到的 x 是 y 的函数，把这个函数（自变量记作 x）称为原函数的反函数；③ 两者互为反函数，即 的反函数就是 。 要注意记号： 中的 −1 不是指数，也不是取倒数，它只是一个记号，表示「f 的反函数在 x 处的函数值」，读作「f 逆 x」。因此一般地 与 并不相等。 求法（三步）：第一步，对调：把 中的 x 与 y 互换，得 ；第二步，解出：从 中把 y 解出来，写成 的形式；第三步，定域：反函数的定义域是原函数的值域。 以 为例。对调 x 与 y，得 ；由 解出 ；原函数的定义域、值域都是 R，所以反函数的定义域、值域也都是 R。所以 的反函数是 。 图 1　从原函数到反函数：对调 x 与 y 四、反函数存在的条件 「任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应」，换个说法就是：不同的 x 一定对应不同的 y。只要有一个 y 值对应了两个不同的 x，反函数就不存在，因为这时「x 是 y 的函数」这句话已经不成立了。 例如 （x 取全体实数）。取 y=1，由 得 x=1 或 x=−1，一个 y 对应两个 x，所以它没有反函数。若把定义域限制为 x≥0，则 y=1 只对应 x=1，条件满足，这时它有反函数 （x≥0）。同一个对应关系，定义域不同，结论可能完全不同。 单调性与反函数有密切联系：在定义域上单调的函数，不同的 x 一定对应不同的 y，因此一定存在反函数。这也是判断反函数是否存在最常用的办法：先看单调性。 图 2　存在反函数的条件：任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应 五、互为反函数的三要素 设原函数 的定义域为 A、值域为 C，它的反函数为 。由定义可以直接读出下面三条结论。 ① 定义域与值域互换：原函数的定义域 A 是反函数的值域，原函数的值域 C 是反函数的定义域。因为反函数把「y 的值」当作自变量、把「x 的值」当作函数值，两个集合正好交换了位置。 ② 单调性一致：原函数是增函数，反函数也是增函数；原函数是减函数，反函数也是减函数。直观地说，x 变大时 y 变大，那么反过来 y 变大时 x 也变大。 ③ 图象上的点成对出现：点 (a, b) 在原函数图象上，点 (b, a) 就在反函数图象上。原函数中每个 x 对应唯一的 y，反函数中每个 y 对应唯一的 x，这种对应称为一一对应，所以两边的点总是成对出现、坐标恰好对调。 以 与 验一验：两者的定义域、值域都是 R；都是增函数；点 (0, 2) 在原函数图象上，点 (2, 0) 就在反函数图象上，三条结论都对得上。 再看一对减函数： 与 也互为反函数，两者都是减函数；点 (1, 2) 在原函数图象上，点 (2, 1) 就在反函数图象上。 可见这三条结论不是某一对函数的特例，凡是互为反函数的两个函数都满足。 图 3　互为反函数：定义域与值域互换、单调性一致 六、图象关于直线 y=x 对称 把点 (a, b) 与点 (b, a) 画在同一坐标系中，可以发现这两个点关于直线 对称。于是「点成对出现」可以换一种更直观的说法： 结论：函数 的图象与它的反函数 的图象关于直线 对称。 由此得到作反函数图象的简便办法：先画出原函数的图象，再把它沿直线 翻折，得到的曲线就是反函数的图象，不必重新列表描点。翻折后原来「横坐标为 a、纵坐标为 b」的点，变成「横坐标为 b、纵坐标为 a」的点。 对称性还能直接用来求点的坐标：已知 的图象过点 (2, 5)，那么 的图象一定过点 (5, 2)，反过来也成立。注意这里是关于直线 对称，而不是关于 x 轴或 y 轴对称。 为什么一定对称？设点 P(a, b) 在原函数图象上，则 b=f(a)；把 a 与 b 对调，得 a=f(b)，即点 (b, a) 在反函数图象上。而点 (a, b) 与点 (b, a) 恰好关于直线 对称：两点的中点落在直线 上，两点连线又与直线 垂直。所以两个图象上的点一一配对，整个图象关于直线 对称。 两个细节：翻折时可以借助方格纸的对角线，图象与直线 的交点在翻折后位置不变；若原函数的图象与直线 有两个交点，这两点在反函数图象上仍然是同样的两个点。 由此还能得到一个常用的判断办法：若两条曲线关于直线 对称，它们就互为反函数；反过来，互为反函数的两个图象也一定关于这条直线对称。判断时可以先把两图象上的几对点标出来，看坐标是否对调，再看整体是否对称。 图 4　图象关于直线 y=x 对称 七、指数函数与对数函数互为反函数 回到本节开头的那一对函数：（a>0 且 a≠1）与 。它们由同一个关系 得到，只是把 x 与 y 对调了，所以它们互为反函数。 结论：同底的指数函数 与对数函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称。 这一结论与前面的三条完全吻合：指数函数的定义域 R 是对数函数的值域，指数函数的值域 (0, +∞) 是对数函数的定义域，也就是真数必须大于 0；a>1 时两者都是增函数，0<a<1 时两者都是减函数；指数函数的图象过定点 (0, 1)，对数函数的图象过定点 (1, 0)，而 (0, 1) 与 (1, 0) 恰好关于直线 对称。 底数 a 的范围 指数函数 对数函数 a>1 是增函数；定义域 R，值域 (0, +∞)；图象过定点 (0, 1) 是增函数；定义域 (0, +∞)，值域 R；图象过定点 (1, 0) 0<a<1 是减函数；定义域 R，值域 (0, +∞)；图象过定点 (0, 1) 是减函数；定义域 (0, +∞)，值域 R；图象过定点 (1, 0) 对照上表还能看出：两列的定义域与值域正好互换，单调性完全相同，定点 (0, 1) 与 (1, 0) 也互相对调——这正是「三要素互换」在一对具体函数上的样子。把两列对照着记，比单独背两条性质更省力，也更不容易记错。 图 5　同底的指数函数与对数函数互为反函数 八、典型例题 例 1　判断下列函数是否存在反函数，若存在，求出它的反函数： （1）；（2）（x 取全体实数）；（3）（x≥0）。 解：（1） 是增函数，不同的 x 对应不同的 y，存在反函数。对调得 ，解出 ，所以它的反函数是 。 （2）取 y=0，由 得 x=1 或 x=−1，一个 y 对应两个 x，所以不存在反函数。（3）x≥0 时 是增函数，存在反函数；对调得 ，由 x≥0 知 y≥0，所以 （x≥0）。 例 2　求函数 的反函数，并说明两个图象的关系。 解：对调 x 与 y，得 ；解出 y：由 得 ，所以 。原函数的定义域、值域都是 R，反函数的定义域、值域也都是 R。所以反函数是 ，两个图象关于直线 对称。 验证：把两个函数图象上的对应点列出来——(0, 2) 与 (2, 0)、(1, 4) 与 (4, 1)，每一对点的坐标恰好对调，它们的中点都在直线 上，连线又都与 垂直，可见两个图象确实关于 对称。 例 3　已知 ，写出 ，并求 。 解： 是增函数，存在反函数。对调得 ，写成对数式即 ，所以 （x>0）。于是 。 也可以不解出反函数： 就是「使 的 x 的值」，由 得 x=3。这种「不解反函数、直接由原函数求值」的办法，在处理复杂函数时更省力。 九、易错警示与常见结论 典型错误 正确认识 把 中的 −1 当成指数，认为 −1 只是记号，表示「f 的反函数」，读作「f 逆」；反函数不是原函数的倒数 求反函数时只把字母对调，不再解出 y 对调后必须从 中解出 y，写成 的形式才算求出反函数 认为任何函数都有反函数 只有「任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应」时才有反函数，如 （x 取全体实数）就没有 把 的反函数写成 一个 x 对应两个 y，不是函数；限制 x≥0 后反函数才是 三条常用结论：① 与 的定义域、值域互换；② 两者单调性一致；③ 两者的图象关于直线 对称，点 (a, b) 与 (b, a) 成对出现。 十、巩固练习 题号 题目 1 求函数 的反函数。 2 求函数 的反函数。 3 求函数 的反函数。 4 判断下列函数是否存在反函数，并说明理由： （1）（x≤0）；（2）（x 取全体实数）；（3）；（4）。 5 已知 ，求 。 6 已知 ，求 。 7 判断 （x≥0）与 是否互为反函数，并写出两者的定义域与值域。 8 已知 的图象过点 (2, 5)，求 的图象所过的定点。 9 求函数 （a>0 且 a≠1）的反函数。 10 求函数 的反函数。 11 已知 ，，求 与 ，并说明这两个结果说明了什么。 12 求函数 的反函数，并写出定义域。 13 求函数 的反函数，并写出值域。 14 已知 （x≥0），求 。 15 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 任何函数都存在反函数； ② 若 与 的图象关于直线 对称，则它们互为反函数； ③ 增函数的反函数也是增函数。 十一、参考答案 1. 对调得 ，解出 ，所以反函数是 （x 取全体实数）。 2. 对调得 ，解出 ，所以反函数是 。 3. 对调得 ，解出 ，所以反函数是 。 4. （1）存在。x≤0 时 是减函数，一个 y 只对应一个 x，反函数是 （x≥0）。 （2）不存在。y=1 对应 x=1 与 x=−1 两个值。 （3）存在， 是增函数，反函数是 。 （4）存在， 是减函数，反函数是 。 5. 是使 的 x 的值，解得 x=1，所以 。 6. 是使 的 x 的值，解得 x=4，所以 。 7. 是。（x≥0）的定义域、值域都是 [0, +∞)， 的定义域、值域也都是 [0, +∞)；两者的定义域与值域恰好互换，图象关于直线 对称，所以互为反函数。 8. 点 (2, 5) 在 的图象上，由对称性，点 (5, 2) 在 的图象上，所以定点为 (5, 2)。 9. 对调得 ，写成对数式即 ，所以反函数是 （x>0）。 10. 对调得 ，写成指数式即 ，所以反函数是 （x 取全体实数）。 11. 先算内层：，所以 ；又 ，所以 。两个结果都回到 2，说明 f 把 2 送到 6、g 又把 6 送回 2，两个函数的对应方向正好相反，这正是互为反函数的表现。 12. 对调得 ，即 ，写成对数式得 。原函数的值域是 (1, +∞)，所以反函数 的定义域是 (1, +∞)。 13. 对调得 ，写成指数式得 ，解出 。原函数的定义域是 (−1, +∞)，所以反函数的值域是 (−1, +∞)。 14. 是使 且 x≥0 的 x 的值，解得 x=3，所以 。 15. ① 错误。只有「任意一个 y 只有唯一的 x 与之对应」时才有反函数，如 （x 取全体实数）就没有。② 正确。图象关于直线 对称，说明点 (a, b) 与 (b, a) 成对出现，正是互为反函数的图象特征。③ 正确。增函数中不同的 x 对应不同的 y，反函数把 y 与 x 的角色互换，仍是增函数。 十二、方法归纳 任务 方法 要点 判断是否有反函数 先看单调性 在定义域上单调的一定有；不单调的要找反例——某个 y 对应两个 x 求反函数 对调、解出、定域 对调得 ，解出 y 写成 ；定义域取原函数的值域 求反函数的函数值 不解反函数，回到原函数 就是使 的 x 的值 求对应点的坐标 用对称性 的图象过 (a, b)，则 的图象过 (b, a) 指数与对数的关系 互为反函数 与 互为反函数，定义域与值域互换，图象关于直线 对称 十三、本节三句话 本节三句话：① 在函数 中，若给定值域中任意一个 y 的值都有唯一的 x 与之对应，则 x 是 y 的函数，称为 的反函数，记作 ——−1 只是记号，不是指数； ② 求反函数三步走：对调、解出、定域；反函数的定义域是原函数的值域，两者单调性一致，图象关于直线 对称，点 (a, b) 与 (b, a) 成对出现； ③ 同底的指数函数 与对数函数 互为反函数，这是本节最重要的一对反函数。 十四、本节边界 本节边界：本节在指数函数与对数函数的基础上，由指数式与对数式的互化提出了反函数的概念，研究了反函数存在的条件、互为反函数的三条结论与图象的对称关系，并解决了「怎样求反函数」「怎样判断反函数是否存在」「怎样用对称性求点的坐标」三个问题。反函数的思想在后续研究函数图象的变换、由函数值反求自变量等问题时还会反复用到；其他类型的函数及其图象性质，将在后续章节逐步展开。 学科网（北京）股份有限公司 $