4.1.1 实数指数幂及其运算 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.1.1 实数指数幂及其运算　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 从整数指数幂到实数指数幂：n 次方根、根式、分数指数幂与运算性质 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 回顾整数指数幂的运算性质，知道底数与指数的意义，知道非零实数的 0 次幂等于 1、0 的 0 次幂无意义； ② 理解 n 次方根与根式的概念，掌握根式的两条性质，会进行简单的根式化简； ③ 掌握分数指数幂的规定，会在根式与分数指数幂之间互化； ④ 掌握有理数指数幂和实数指数幂的运算性质，会用运算性质进行化简与求值； ⑤ 了解无理数指数幂的意义，知道当 a>0 时，指数为任意实数的幂都有意义。 重点 分数指数幂的规定；根式与分数指数幂的互化；实数指数幂的运算性质及其应用。 难点 无理数指数幂的意义（用有理数无限逼近的思想理解 a^t 是确定的实数）；含根式的式的化简。 二、情境引入：增长越来越快的经费支出 国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年增长越来越快：2013 年为 221.59 亿元，2014 年、2015 年、2016 年的年增长率分别为 16.84%、14.06%、14.26%。 年份 经费支出（亿元） 年增长率 2013 221.59 — 2014 258.91（按增长率推算） 16.84% 2015 295.31（按增长率推算） 14.06% 2016 337.42（按增长率推算） 14.26% 三年的增长有快有慢。怎样用一个「年平均增长率」来描述这三年的共同增长效果？如果求出了年平均增长率，就能以 2013 年的经费支出为基础，预测 2017 年及以后各年的经费支出。 设年平均增长率为 x。「每年都按 x 增长」三年后的经费，应当等于「按实际增长率增长」三年后的经费，因此 两边约去 221.59，得到 。要从中解出 x，需要「开立方」；而开立方得到的指数是 —— 一个分数。这说明仅靠整数指数幂已经无法表示这类运算，必须把指数推广到分数，进一步还要推广到实数。这正是本节「实数指数幂及其运算」要解决的问题。 思考两个问题： 问题 1　如果三年增长率相同，都是 15%，2016 年的经费是多少亿元？（结果保留两位小数） 问题 2　增长率不同时，怎样的 x 才能「代表」这三年的平均增长？ 试一试：用计算器算一算，把「三年连乘积开立方」的等式解出来，得到 x≈15.05%。若以 2013 年的 221.59 亿元为基数，按此年平均增长率再增长 4 年，2017 年的经费支出约为 ≈ 388.2 亿元，明显高于 2016 年的 337.42 亿元。 可见，增长越来越快的背后，是「指数」在起作用——这正是我们需要把指数从整数推广出去的现实动机。 练一练：若某指标在 2014、2015、2016 年的增长率依次为 10%、20%、30%，请仿照上面的方法，写出「扳平」成同一个年平均增长率 x 后所满足的等式。 答案：。 注意：这里的平均增长率 x 不是三年增长率的算术平均数，而是「复合增长」意义下的平均，二者不要混淆；这种「先相乘、再开 n 次方」的求法，是处理连乘增长的标准思路。 三、整数指数幂的回顾 一般地，在 中，a 称为底数，n 称为指数。整数指数幂包括正整数指数幂、负整数指数幂和零指数幂，它们满足如下运算性质： 整数指数幂的运算性质（m、n 为整数）： ； ； 。 其中负整数指数幂表示倒数：（a≠0，n 为正整数）。特别地，对于幂指数 0，要注意两点： 关于 0 指数幂： （a≠0，非零实数的 0 次幂等于 1）； 无意义。 下面先做一个小练习，热热身： 练一练：计算下列各式的值：① ；② ；③ ；④ 。 答案：① ；② ；③ ；④ 。 整数指数幂只是指数推广的起点。本节的学习路线是：先把指数从整数推广到分数，再推广到无理数，最后推广到整个实数。 图 1　指数幂的推广过程 从正整数指数幂到整数指数幂，再到分数指数幂、无理数指数幂，指数的取值范围一步一步扩大，而三条运算性质始终保持不变。记住「乘相加、除相减、幂相乘」这九个字，就抓住了整数指数幂运算的核心，后面的推广也只是在这个核心上把指数的范围越放越宽。 四、n 次方根 类比二次方根和三次方根，可以给出一般的 n 次方根的概念： n 次方根：一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 ，那么 x 称为 a 的 n 次方根。 求 a 的 n 次方根，就是求方程 的实数根。按 n 的奇偶性分类，结果如下： 图 2　n 次方根：按 n 的奇偶分类 由图 2 可以看出：当 n 为奇数时，任意实数 a 都有唯一的 n 次方根，记作 ；当 n 为偶数时，正数 a 有两个 n 次方根，它们互为相反数，记作 ，其中正的方根称为 a 的 n 次算术根；0 的 n 次方根是 0；负数没有偶次方根。 例 1　求 n 次方根 （1）27 的立方根是 3；16 的 4 次方根是 ±2。 （2）已知 ，求 x。 解：（1）由 ，得 27 的立方根是 3；由 ，得 16 的 4 次方根是 ±2。（2）因为 x 是 2022 的 6 次方根，2022>0 且 6 是偶数，所以 x 有两个值，它们互为相反数： 五、根式及其性质 当 有意义时， 称为根式，其中 n 称为根指数，a 称为被开方数。根式有两条重要性质： 根式的性质： ； （n 为奇数）；（n 为偶数）。 性质 ① 说明「先开方、再乘方」返回原数；性质 ② 说明「先乘方、再开方」的结果与 n 的奇偶性有关：n 为奇数时返回原数，n 为偶数时返回绝对值。两条性质都不要求 a>0，只要式子有意义即可。 例 2　化简下列各式 （1）； （2）+； （3）。 解：（1）原式=−2。 （2）原式=。 （3）原式=。 练一练：用根式的性质化简：① ；② ；③ （x 为任意实数）。 答案：① 原式=（n 为偶数，用性质 ②）；② 原式=7（用性质 ①）；③ 原式=2x（n 为奇数，用性质 ②）。 辨析：性质 ② 里的「|a|」只在 n 为偶数时出现；n 为奇数时直接得 a，不要多写绝对值。判断时先看 n 的奇偶，再决定要不要加绝对值。 六、分数指数幂 观察根式的性质 可知：当被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示成整数指数幂。更一般地，教材作出如下规定： 分数指数幂的规定（n 为正整数）： 当 有意义时，规定 =； 对于正分数 （既约分数），规定 ==； 当 没有意义时，称 没有意义。 负分数指数幂表示倒数：如果 s 是正分数， 有意义且 ，那么规定 。 另外规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。例如 ，而 没有意义。 温馨提示：以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。当指数的分母为偶数时，底数必须为正数，例如 中 a>0。 根式与分数指数幂是同一种数量的两种写法，可以互相转化： 图 3　根式与分数指数幂的互化 例 3　根式与分数指数幂的互化 （1）把下列根式化为分数指数幂的形式（字母均为正数）：① ；② ；③ a。 （2）化简：（xy>0）。 解：（1）① 原式=；② 原式=；③ 原式=a·。 （2）原式==，即 ，也就是 。 七、有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂： 有理数指数幂的运算性质（a>0，b>0，s、t 为有理数）： ； ； 。 由乘除法之间的关系，还可以得到两条常用的性质：，。 记忆口诀：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减；幂的乘方，指数相乘。 例 4　利用运算性质化简（字母均为正数） （1）； （2）； （3）。 解：（1）原式==，即 。 （2）原式==a−b。 （3）原式==，即 。 练一练：化简下列各式（字母均为正数）： （1）； （2）； （3）。 答案：（1）=； （2）； （3）=ab。 化简的「三个统一」：先把负指数化为正指数，再把根式化为分数指数幂，最后把小数化为分数，统一成同一种写法后用性质合并。 结果要满足「两个不能」：不能既有根式又有分数指数幂，不能同时含有分母和负指数。 八、无理数指数幂与实数指数幂 整数指数幂、分数指数幂都有了意义，指数还能不能继续扩大？例如 ，指数 是无理数，它有没有意义？ 无理数可以由一系列有理数无限逼近，因此可以用「逼近」的办法回答这个问题。以 为例：≈1.414213…，用 1.4、1.41、1.414、1.4142 这些有理数从一侧逼近 时，相应的幂也不断逼近一个确定的数： 练一练：判断下列说法是否正确，并说明理由：① 无理数指数幂没有意义；② 当 a>0 时， 是一个确定的实数；③ 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用。 答案：① 不正确，当 a>0 时任意实数指数都有意义；② 正确；③ 正确。 记住：「a>0 时，a 的任意实数次幂都有意义」是实数指数幂最根本的规定，也是三条运算性质的统一前提。 图 4　无理数指数幂：指数逼近 √2，幂值逼近确定的数 无理数指数幂与实数指数幂：一般地，当 a>0 且 t 是无理数时， 都是一个确定的实数；有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用。因此，当 a>0、t 为任意实数时，实数指数幂 都有意义。 数学文化：牛顿（1643—1727）在 1676 年 6 月 13 日写给莱布尼茨的信中说：「因为数学家将 、、，… 写成 、、，…；所以可将 、、，… 写成 、、，…；将 、、，… 写成 、、。』这是牛顿首次使用任意实数指数。 实数指数幂满足如下运算性质： 实数指数幂的运算性质（a>0，b>0，r、s 为实数）： ； ； 。 与有理数指数幂的运算性质相比，三条性质完全相同，只是把指数的范围从有理数扩大到了实数。 例 5　判断下列说法是否正确，并说明理由 ① 无理数指数幂都不是实数；② 当 a>0 时， 中的 x 只能是有理数；③ 是一个确定的实数。 解：① 不正确。当 a>0 且 t 是无理数时， 是一个确定的实数。② 不正确。当 a>0 时，x 可以是任意实数。③ 正确。5>0 且 是无理数，所以 是一个确定的实数。 九、典型例题 例 6　计算下列各式的值 （1）； （2）（a>0，b>0）。 解：（1）原式==。 （2）原式==4a。 例 7　条件求值 已知 ，求 、、 的值。 解：==； ==； ==。 例 8　含根式的化简 已知 −3<x<3，化简 。 解：原式=−。因为 −3<x<3，所以 x−1 可正可负，x+3>0，分两段讨论： 当 −3<x<1 时，x−1<0，原式=−(x−1)−(x+3)=； 当 1≤x<3 时，x−1≥0，原式=(x−1)−(x+3)=。 练一练：已知 −2<x<2，化简 。 答案：原式=−。当 −2<x<−1 时，原式=；当 −1≤x<2 时，原式=。 十、回扣情境：求年平均增长率 现在回到本节开头的问题。设年平均增长率为 x，则三年累计增长应当满足 把三个年增长率「扳平」成同一个数 x，再开立方「均摊」到每一年： 图 5　回扣情境：由三年增长率求年平均增长率 具体计算：，两边开立方得 ，所以 ，即这三年的年平均增长率约为 15.05%。 以 2013 年的经费支出 221.59 亿元为基础，可以预测 2017 年的经费支出为 （亿元）；继续乘下去，还能预测 2018 年及以后各年的经费支出。 回味一番：像 这样未知量在指数上的方程，可以借助「乘方与开方互为逆运算」来解：两边开立方，把指数降下来。实际应用中，这种「先乘方、后开方」的思路还会反复出现。 十一、易错警示与常见结论 易错点 错误表现 提醒 0 的 0 次幂 认为 要求 a≠0； 无意义 负数开偶次方 写出 （n 为偶数）=−2 负数没有偶次方根；16 的 4 次方根是 ±2 混淆两条根式性质 认为 =a 恒成立 （n 奇）与 （n 偶）要分清 指数分母为偶数 写出 分母为偶数时底数必须为正数，如 中 a>0 指数未约成既约 把 直接按 处理 如无特别说明，指数都认为是既约分数 化简结果的形式 结果中同时有根式和分数指数幂 两个不能：不能既有根式又有分数指数幂，不能同时含有分母和负指数 用性质忘条件 对 忘记 b>0 三条运算性质都要求 a>0、b>0 方根个数记错 认为任意数都有两个 n 次方根 n 为奇数方根唯一；n 为偶数且 a>0 时有两个，互为相反数 提示：带偶次根号的「先平方再开方」都要先化成绝对值，再按区间去掉绝对值；去绝对值的关键是比较绝对值内部与 0 的大小。 十二、巩固练习 题号 题目 1 在 中，a 称为____，n 称为____。 2 计算：① ；② ；③ 。（用 OMML 公式书写，下同） 3 下列说法正确的是（　）A. 　B. 非零实数的 0 次幂等于 1　C. 0 的任何指数幂都等于 0　D. 4 求下列方程的实数根：① ；② 。 5 27 的立方根是____；16 的 4 次方根是____。 6 若 有意义，则实数 x 的取值范围是____。 7 化简：① ；② +；③ −。 8 把下列根式化为分数指数幂（字母均为正数）：① ；② ；③ a。 9 把下列分数指数幂化为根式（a>0）：① ；② 。 10 化简（字母均为正数）：。 11 计算：。 12 已知 ，求 与 的值。 13 已知 −3<x<3，化简 。 14 判断下列说法是否正确：① 当 a>0 且 t 是无理数时， 是一个确定的实数；② 有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂不适用；③ 0 的正分数指数幂等于 0。 15 某工厂 2019、2020、2021 三年的年增长率分别为 10%、12%、15%。以 2018 年的产值为基础，求这三年的年平均增长率（精确到 0.1%），并预测 2022 年的产值约为 2018 年的多少倍（精确到 0.01）。 十三、参考答案 1. 底数；指数。 2. ① ；② ；③ 。 3. B。 4. ① ；② 。 5. 3；±2。 6. [2, +∞)。 7. ① −2；② ；③ 。 8. ① ；② ；③ 。 9. ① ；② 。 10. 原式==a。 11. 原式==。 12. ==；==。 13. 原式=−。当 −3<x<1 时，原式=；当 1≤x<3 时，原式=。 14. ① 正确；② 错误，无理数指数幂同样适用这些运算性质；③ 正确。 15. ，，年平均增长率约为 12.3%；2022 年产值约为 2018 年的 倍。 十四、方法归纳 任务 做法 例子 求 n 次方根 看 n 的奇偶：n 为奇数方根唯一，n 为偶数且 a>0 时有两个 ； 根式化简 用 与 或 |a| 根式化指数 根指数写成分母，被开方数的指数写成分子 指数化根式 分母写成根指数，分子写成被开方数的指数 用性质化简 化负指数为正、化根式为分数指数幂、化小数为分数 检查结果 不既有根式又有分数指数幂；不既有分母又有负指数 理解无理数指数幂 有理逼近：指数逼近 t，幂值逼近 aᵗ → 解指数方程 化成同底数的幂，或两边开方把指数降下来 ，x≈15.05% 实数指数幂的运算，本质上是「把不同写法统一成同一种写法，再用性质合并」：根式与分数指数幂互化是统一写法，三条运算性质是合并工具，运算顺序与「两个不能」是检查标准。抓住这条主线，化简与求值就有了章法。 本节三句话：① 根式与分数指数幂是同一种数量的两种写法，互化的关键是「根指数做分母、被开方数指数做分子」；② 实数指数幂的三条运算性质，在 a>0 时对任意实数指数都成立；③ 化简要满足「两个不能」。 本节边界：本节从整数指数幂出发，经过 n 次方根、根式、分数指数幂，利用「无限逼近」的思想把指数推广到整个实数，并得到三条在 a>0 时对任意实数指数都成立的运算性质。实数指数幂是后续学习更丰富函数类型的运算基础，也是解决增长率、复利等实际问题的有力工具。 学科网（北京）股份有限公司 $