考案(4)第四章对数运算与对数函数-【成才之路·考案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

新敬学必修·第一香BSD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 材习、究、练、测四位一体 考案（四） 9.若10°=4,10°=25，则 A.a+b=2 B.b-a=I 第四章对数运算与对数函数 C.ab>8(Ig 2)2 D.b-a<lg 6 时间：120分钟满分：150分 10.已知实数a,b,c满足1ga=10=上，则下列关系式中可能成立的是 整 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 A.a>b>c B.a>c>6 目要求的 C.c>a>b D.e>b>a 1.若对数og.-,(4x-5)有意义，则x的取值范围是 ( 11.设函数八x)=g4x,下列四个命题正确的是 A2<2 B<<2 A.函数八xI)为偶函数 c经<<2或>2 B.若fa)=b)l,且a>0,b>0,a≠b,则ab=1 D.2≤x≤3 C,函数f八-x+2x)在(1.3)上单调递增 2.已知log,[1g(logx)]=0,那么x-等于 D.若0<a<1,则/1+a)I</1-a)t BE c唱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 A号 12.已知3”=7,1og5=b,若a+b=2,则l0gs3= 3.若y=l0g,6·log7·log,8·log9·log10,则 )13.天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”“区分，即选择某一特定的是光强度F。为标准，对 Ay∈(0,1) B.y∈(1,2) 于发出星光强度为F的星体，定义其~星等”为m=-25。并称该星体为°m等星”，已知天狼星 C.ye(2,3) D.y∈(3,4y 4.下列函数中，在区间(0，+)上单调递增的是 为-1.4等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的倍.（已知1g3=0.477, lg131.11,lg23≈1.36，lg33≈1.52.) A.f(x)=-Inx B)- 14.已知函数八x)=nx和g(x）=e的图象与函数y=-x+2的图象在第一象限内的交点分别为 ·区 c)=-} D.x)=3- M(x1少，)，N(2为2)，则1+名= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5.设函数f(x)=logx,若f(a+1)<2,则a的取值范围为 ) 15.(13分)(1)计算3+27+g50+lg2: A.(-1,3) B.(-9.3)》 (2)已知2"=3,4=6，求2b-a的值. C.(-0,1) D.(-1,1) 6.在同-直角坐标系中，函数y=y=lg.+》,(a>0且a≠0)的图象可能是 7.给出(x)= 2≥4. 则f1og3)的值等于 fx+1)(x<4), 8.已知9”=10.a=10°-11，b=8"-9.则 A.a>0>6 B.a>b>0 C.b>a>0 D.6>0>a 3814 3824 16.(15分)已知函数f八x)=log4(x-2ax+3). 18.(17分)已知f八x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时(x)=log4(-x+1). (1)若函数的定义域为(-2,1)U(3,+0),求实数a的值； (1)求f八x)的解析式： (2)若函数的值域为(-，-1]，求实数a的值. (2)若f(a-1)-f1)<0,求实数a的取值范周 19.(17分)若函数f(x)的定义域为R,且满足对任意1，x∈R,有f八x+,)≤x)+八），则称(x)为 17.(15分)食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏 “V形函数”：若函数g(x)定义域为R,g(x)恒大于0，且对任意，2∈R,有g[g(x,+2)]≤lg[g(x)] 时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数y=·a'(k≠0且a>0),若 +lg[g(名2)门则称g(x)为“对数V形函数”， 牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192小时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42小时. (1)当(x)=x时，判断函数f八x)是否为“V形函数”，并说明理由： (1)写出保鲜时间y(单位：小时)关于储藏温度x(单位：℃)的函数解析式： (2)当g(x)=2+2时，证明：g(x)是“对数V形函数”： (2)请运用(1)的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？ (3)若f(x)是“V形函数”，且满足对任意xeR,有fx)≥2，问f(x)是否为“对数V形函数”？如果 (精确到整数)（参考数据：lg3≈0.4771，lg8≈0.9031，lg7=≈0.8451，lg32✉1.5051） 是，请加以证明：如果不是，请说明理由. 383 3844所以()=6)-6-1)=-3=3(-）=号·3 可得Rx)的最小值为3)=4，g(x)=2+a在[-3，-21上单调 -g(》=2-49-2+4=41-4,0写x1<2每1,49> 考案（四）】 递减，在[-2.1门上单调逆增.可得g(x)的最小值为g(-2)=1+ 4g()-g)<0,pg(马)<g￥. <子3=号 所以4≥1+a,解得a≤3 ,函数g(x)在[0,1门上是减函数 x-1>0. 即？的取值范倒是(-，3】 (3)(x)在[0,1]上是减函数， .C 由题意得 x-11, 又因为号，3>0，所以g(6)=6)-(6-1)的取值范围为 a22(2[-是+）：m=)+M 六xe[0,1门时，有g(1)≤g(x)≤g0) 4r-5>0, (0) g(1)=2-4'=-2,g(0)=2-4=1 其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数 解得x>子，且xr2,放选C -2≤g(x)≤1 8.D根据题意，对任意的xe(一0.1门.恒有()=八x),等价于 ,fr-x)=g-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)②。 2C由g[og(lgex)】=0,得g(hgx)=L.'.logx=3,∴x= 故函数g(x)的值域为[-2,1门 对任意的x∈(-，1们，恒有x)运K,等价于函数爪x)在(-￥， ①2联立得g(x)x)--.2”-2 23=8, 2 1]上的最大的小于或等于Kx∈(-，1]时，2∈(0,2]，函数 =2+2 x)=24-4=-(2)2+2·2=-(2-1)2+1.-(2-1月 (2h(0=R0-g).2±2 ,若不等式2u·g(x)+k(2x)≥0 18.(1)已知得 解得， 2 b=0, +11,放两数Rx)在(-，1]上的最大值为1，则≥1，所以K 4 =4+2 3B原式-老答0号老器器长智9-9=0e1.2。 的最小值为上. 对任意[1,2]面成立，即a(2-2)+2+20恒成立. （2)由(1)知，代x)=2+2“.定义城为R关于原点对称因为 代-x)=2”+2=凡x),所以x)为偶函数 故选B 9.AD对于选项A,3·=a=3,放A正确：对于选项B, =2-2则[是]则2产+2=(2-2y+2=+ 4.C因为y=n在(0，+)上单调逆增，y=-x在(0，+面)上 (-2)'■-，故B错误：对于选项C,当40时，a■：当a (3)函数x)在（一，0]上单调递减 <0时，石=-a,即a=1a1,故C错误：对于迷项D. 2,即2m+F+2≥0在1e[子，]上恒成立.即a≥ 证明：设12(-x,0],且<2，则 单调递减， 斯)-f(与2》=(2t+21)-(2”+2)=(2n-2”)+ 所以爪x)量-nx在(0.+m)上单调递碱，放A错误： (-m)下=-，故D正确 之+2)恒成立 因为y=2在(0，+)上单髯递增， 10AB由2”-1≠0→x0,所以A项正确：因为Ax)是奇函数，所 (分)2m22山 22 2 所以凡)宁在(0，+0)止单调递减，故错误： 以0+-=022+a+22*a=0-2+2a=0 =1+子在1是]上单调造增当=之时， 1<00<21<2≤1,22>0,2-2<0212 4+二取得最小值为名。一+)的最大值为吕≥ -1<0, 一a=1,所以B项正确：1)=2+af-1)=-4+a,显燃f代1) 因为了=。在(0，+)上单调递诚， ,月x,》-f尺)>0，px)>f), >次-)，所以C项不正确)=名+a=3=1,因此D .函数fx)在（一，0]上单周递减 所以x)=-工在(0，+)上单则递增，故C正确 项不正确，故选AB 故实数：的取值范调刻[一吕+) 9.(1)爪x)为R上的奇函数，0)=0，“春= 因为2）=3+-1=3过=)=3-=3°=1，(2) 11.ABD h 2"+3 =3+26,)= 又f八-1)=-f1),得a=1 2+3x.g(x)■3+2x,易知f八x）. 15.1)原式=(2时x3)+(2于-4×(2×7)合-2立× 经检验4=1，b=1符合题意 39"=3.所以1)<2且1)<2)。 3+2 (x)都是增函数，画出八x),g(x)的 2+3 (2)-12×3+27×号-22×(2×7)-27×27-1=4×27+2 显然几x)=3“在(0，+)上不单刹，故D错误故选C 图象，如图所示根据图象可知：当 N -7-2-1=100 器 5.A雨数爪x)=g在定义域内单调递增，4)=l%4=2 0<x<1时，八x)图象在g(x)图象的上 不等式月a+1)<2等价于0<a+1<4,解得-1<a<3,枚选A 方，所以0<4<b<1食a)=b)可能面脑新言 (2)原式= a寸(a-8h) u寸-2h7 x a 46子+2(ab)十+m af .1-29)(29+1)-1-2)2+1D 成立，放A正确：当x<0时，因为八)图象在g(x)图象的下方 (2+1)(2+1) 6D令+=1，得=分 所以6<w<0a)=fb)可能成立，故B正确：当a=b=0或1 m{a-8 2(21-2） a-86 =2,1)(2+10 a函数y=g(x+）的图象过点（行0，排除A,C又函数y 时，显然成立，故D正确：当x>1时，因为八x)图象在g《)图象 下方，所以【<6<e代a)=(b)能减立，故C错误 16.（0)将点(-2.9)代人到=.得a=9.解得a=子代) 1<29-2>0.又(2+1)(29+1）>0， 凡》-)>0，即凡)>爪)，放x)为R上的减函数 一与了=(+号的单调性相反，排除，故选D 12号设fx)=a(a>0,a*), () (3),teR,不等式2-2)+f2r-)<0恒成立， 7.D因为1g3e(1,2), 2-2)<-2F-. 所以fg3)■flg:3+I) (2f2m-1）-m+3)<0∴f2m-1)<m+3. 到=（兮）广为减数2加-1>m+3解得m4 :八x)为奇函数，凡-2)<-2) =fg6)=f1g6+1) ,fx)为R上的减函数.F-2>-22,即k<32-立框成立，面 =fog12)=/fog12+1) )=3-2)=32= 故实数m的取值范出为(4，+￥). 13.(-,3】若对任章1∈[3,4]，存在[-3,1]，使f1)≥ 17.(1)fx)=3,.+2)=3=18 矿-号≥子 =e:24)=2方，放选D 8(), 3°=2. 8A由9少=10可特m=e10-智>1，面e1< 可得x)3g(x) ∴g(x)=2-4(xe[0,1] 由x)=x+1在[3,4]上单调递增， (2)设1,2为区问[01]上任意的两个值，且1<名，则g() 故长的取值范围为-第，一写)】 (生9=(<1=410，所以9>品即 2 405 406 >g11.所以a=10°-11>104-11=0. 因为天狼星为-L4等星，北极星为2等星， (1,+x)上单而递减， 4.A求上午8时的温度，即求t=-4时函数的值，所以T八-4)= 又影0<(10=（售）<(9月，所8 所以-4-25%2-2% 所以函数y=g时(x+1)在(0，+)上单调递减，故函数代x) (-4)-3×(-4)+60=8(℃).故迹A 在(0，+x)上单递减， 长9即g9>m 解得=10总R,月=10于R, 5D令g)=,)=(宁)厂，画出两致g)和()的偶象 因为fx)是定义在R上的偶函数，所以a-1)=代a-1)。 如图所示 所以b=8-9<8-9=0.综上，4>0>k故选A 9.AC10=4,10=25,∴a=lg4,6=1g25, 哈瓷(：a 所以不等式a-1)-1)<0,可化为f1a-11)<f1),所以 1a-11>1.所以a>2或<0，所以4的取位范围是(-%，0)U a+6g4+g25=g100=2,故A正确 14,2函数f八x)■nx和g(x)■6互为反函数，图象关于直线y (2,+x) 6-a=625-64=6空>56，放B,D情说； x对称，它们的图象与y=一x+2的图象在第一象限内的交点 9.(11+)-[f)+f)]=(x+)-(+)= ad=2g2×2g5=4g2×g5>41g2×g4=8(g2)2,放C正确 业，水也美于直线y=对称，由-+2 得x=1,所以色 y=x, ￥∈R,当2x0时f)是“V形函数”：当2>0 故选AC =1,所以x1+3=2. 时x)不是V形函数”， 过B点作平行于x轴的直线，设与g(x)的图象的另一个交点为C令 10ABC设ga=10=⊥ =,x>0 15.(1)32+27+lg50+1g2-2+3+lg100.2+3+27, (2)假设对任意1，与2eR,有1g【g(斯+：)】≤g[()门+ C点的横坐标为，则可得g(》=g(),即g=-g,3+ (2)h2”=3,得m=1g3,又由4=6，即2=6，得2b=1g6, g()门，则g【g(1+3)】-g【g(x)-gg与)】= g3=0,lg()=0,因此高3=1，由图可知，<，且1>0，故 所以2h-a=le6-g3=1g2=1. 1g[(x+2+2]-1g(+2)-g(+2)≤0. 0<x<1,故选D 16,(1)由题意，知2-2a+3>0的解集为-￥.1)U(3.+=), (1+)2+2{+2)(+2), .A若gx)=了(x)+(4-2)f代x)-2a=[Rx)-2][f八x)+a] 所以方程x2-2ax+3=0的两个根为=1，马=3，根据韦达定 x+(-)+20,显然成立， 有三个零点，即方程Lx)-2]儿八x)+a]=0有三个根当Rx》= 里得1+3=2m,解得“=2.放0=2 假设正确，g()是“对数V形雨数“， 2时，由1e-11+1=2,得10-11=1，得6-1=1或。-1= (2)若函数的值域为(-0，-1门， (3)Rx)是“对数V形函数”，证明如下 -1,即e=2或■0（不合题意），则x■n2,此时方程只有一个 即八x)=log片(x2-2u+3)≤-1，且-1能取到， x)是“V形函数”，对任意，马eR 根，所以爪x)=-a有两个不同的根作出八x)及y=-a的图象如 则a=106=ge= 放2-2ar+3最小值为2，令g(x)=x2-2m+3-2.则4=4{42 图所示，由图象知1<-：<2，即-2<ac-1,故实数a的取伯范围 有八+与》≤几新)+八与) -1)=0 对任意x∈R,有x)≥2， 是(-2，-1)，故选A 在同一坐标系中分别面出函数y=10,=g了=的图象，当 放g2-1=0.即a=1或a=-1. 17.《1)因为y=k·a'(k≠0且a>0) 高分高高， xmy时，4>b>e k=192. 0<f月工，)+f)月与)， 当x■名2时，>c>b,当x■无1时.c>a>6,故送AB 则有2= 新+为)八x爪需)， 11,ABD由题知，尺)=g是xx>0, 32-11234主 g+z)]≤g八x)】+lg)], 函数x)=glxl,f1-x)=八1x). lg 3-lg 8 fx)是“对数V形函数” (2)依题意有72≤192· ∴f1x)为偶函数，A正确： g7-g32 7.C由题图知，开始h=0时阴影部分面积最大，排滁A,B,对应阴 若fa)=6),且a>0,b>0,a*6, 考案（五） 什所以≤42 影部分的面积随着的增大，碱得越来越慢，故选C 则f)=6)t▣-frb). 23.04 若我校买的牛奶至少要储藏三天，则储裁时的温度最高约为 1.C解方程62+x-1=0,即(3x-1)(2x+1)=0,解得x=- 8B依题意有A产品的原价为216元，B产品的原价为 ag号a+l%46=og时(ab)=0,b=1,B正确： 14℃. 或x=}因此，函数=6+-1的零点为与一子故选C 二0236元，若家同时出售A.B两种产品，侧16+36 23.04 丙数-x2+2x)=g(-2+2￥).由-2+2>0，解得0<x 18.(1)因为x)是定义在R上的偶函数 <2, 2.C易知增函数加增函数为增函数，函数几x)在定义域(0，+ -2×23.04=5.92元 所以爪-x)=f代x), 函数的定义城为(0,2)，因此在(1,3)上不只有单到性，C不正确： 令米>0，则-x<0八-x)=log卧(x+1). 上单调递增，且1)=1g1- 若0<a<1.则2>1+a>1>1-a>0.1+)<0<f1-a) =-1<02=2-=19Am经计算A-3)=-+号-2=号>0-2)=-+2 所以x>0时八x)=几-x）=kg头(x+1), 放1+a)1-1-a)1=-f1+a)-1-a)=-lg4(1- g时（￥+1）.x>0, 子子>0，所0)存在隆-零点，且气e1,2放选C -2=-2<0）=2+客-2=g>01)目+2-2 m2)<0. 则f代x)= 即1+a)1<lf1-a)1,D正确，放选ABD 吧(-米+1)，x≤0. 五C设化=.则AB=6-.则6- 得2， 3<02)=+2-2=>03)=号+号-2=号>0， L2a. (2)因为x>0时x)=g(x+1), 又八x)图象在(-￥，0)连续，在(0。+m)图象也连续，根据函数 12.号由3-7得a7. 所以0<a<12,a后x发2，花的面积为y=x(16-x）=-(x-8)2 又函数y=如卧（米+1）.#>0由函数1=+1，x>0与函数y 4,且会x≤12.当0<a8时，花州的面积的最大值y=S=64 零点存在定理可得)在区间(-3，-2)，（子小(12）上存在 1 所以3=5+h7a中b乞 gi,t>I夏合而成， 为定值：当8<4<12时，花同的血积的最大伯逐渐变小且S<64 零点，故选ABD 13.23设天狼星的星光强度为F,北极星的星光强度为F 雨数=+1在(0，+)上单递增，函数y=g时在 观察各选项，故选C 10,ADf八x)■x+x定义域为R,且f代-x)■-x了-x■-f八x),故 407 408