第4章 指数与对数（举一反三单元自测·培优卷）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 苏教版高一上第4章指数与对数单元自测培优卷，120分钟150分，19题覆盖指数对数核心知识，注重数学思维与应用能力考查，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数对数化简、求值|基础巩固，如分数指数幂形式转换| |多选|3/18|恒等式与对数运算判断|能力辨析，如对数运算法则应用| |填空|3/15|指数对数计算|简洁综合，如已知条件求值| |解答|5/77|方程求解、实际应用|创新应用，如工厂废气处理模型（模型观念）、古文情境问题（文化传承）|

第4章 指数与对数（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）化简（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 4．（5分）（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）“学如逆水行舟，不进则退，心似平原走马，易放难收”（明．《增广贤文》）是勉励人们专心学习的。如果每天的进步率都是，那么一年后是；如果每天的退步率都是，那么一年后是，那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的3倍，请选出最接近的一项． （） A．20 B．24 C．28 D．32 8．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏连云港·期中）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 11．（6分）（25-26高一上·湖北襄阳·阶段检测）下列关于对数运算正确的有（   ） A．设，，均为正实数，且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若方程的两根为，；则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏南京·期末）计算：__________. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为__________． 14．（5分）（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江西上饶·期末）计算： (1)； (2). 16．（15分）（26-27高一上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2). 17．（15分）（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 18．（17分）（25-26高一上·内蒙古包头·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 19．（17分）（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（26-27高一上·全国·课后作业）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据根式运算求得正确答案. 【解答过程】因为有意义，所以，所以， 所以． 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则化简. 【解答过程】． 故选：A. 3．（5分）（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则将对数符号去掉，解二次方程即可求出方程的解. 【解答过程】由题得，解得， ， 解得或（舍），故. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·江苏徐州·期末）化简的结果为（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】A 【解题思路】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解. 【解答过程】原式， ， ， . 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【解答过程】由，得，，则，因此， 所以. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·河北承德·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数的运算性质可得出，，，结合指数的运算性质可求得所求代数式的值. 【解答过程】因为，，则，，且，所以， 所以. 故选：B. 7．（5分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）“学如逆水行舟，不进则退，心似平原走马，易放难收”（明．《增广贤文》）是勉励人们专心学习的。如果每天的进步率都是，那么一年后是；如果每天的退步率都是，那么一年后是，那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的3倍，请选出最接近的一项． （） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【解题思路】根据题意列出等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【解答过程】假设经过天，“进步”是“退步”的3倍，列方程得， 即，解得． 故选：C. 8．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【解答过程】设， 则，，， 所以 ， 又，，则，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏连云港·期中）若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据对数运算法则和性质即可判断. 【解答过程】对于A：，故选项A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得，故B正确； 对于C：，故选项B不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·江西新余·期末）下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】AB 【解题思路】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D错误. 故选：AB. 11．（6分）（25-26高一上·湖北襄阳·阶段检测）下列关于对数运算正确的有（   ） A．设，，均为正实数，且，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若方程的两根为，；则 【答案】ABC 【解题思路】运用指对互化，换底公式及对数运算的知识点求解即可. 【解答过程】选项，设， 则，所以， 因此，故正确. 选项，，故正确. 选项，由得， 则，故正确. 选项，令，方程变为， 由根与系数关系得，， 即，所以，故错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏南京·期末）计算：__________. 【答案】 【解题思路】根据指数运算性质和对数运算性质求解. 【解答过程】， 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的值为__________． 【答案】 【解题思路】先利用指数与对数互换得出，然后利用对数运算性质与指数运算性质化简运算即可. 【解答过程】因为，所以， 由， 所以，解得：， 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则__________． 【答案】8 【解题思路】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江西上饶·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）利用指数性质、运算法则直接求解． （2）利用对数性质、运算法则直接求解． 【解答过程】（1） . （2） . 16．（15分）（26-27高一上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求得应满足的条件，再将对数方程转化为一元二次方程，解方程即可得解. （2）先求得应满足的条件，将方程转化，再利用换元法转化为一元二次方程，解方程即可求解. 【解答过程】（1）， 方程中的应满足，原方程可化为， ，即， 解得或（舍去），经检验是原方程的解. （2），方程中的应满足且， 原方程可化为，即， 令，则，解得或， 即或，或， 经检验，都是原方程的解. 17．（15分）（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出的值； （2）利用换底公式结合对数的运算性质可将用、表示. 【解答过程】（1）因为，，则； （2）因为，，所以. 18．（17分）（25-26高一上·内蒙古包头·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1) (2)72.9% (3) 【解题思路】（1）根据条件可计算即得的值； （2）结合（1）可得的值，进而得出答案； （3）令，根据指数运算性质求出的值； 【解答过程】（1）当时，， 当时，，即. ， （2）当时，， 即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 19．（17分）（25-26高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解答过程】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $