第四章 对数运算与对数函数（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   11．已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，求_____. 13．已知，则______． 14． 下列四个数：的大小顺序为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算： (1) (2)． (3) 16．（15分）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 17．（15分）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 18．（17分）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D B A D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 CD AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．9 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）原式............4分 （2）原式............8分 （3）原式 ............13分 16.解：（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此；............4分 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此，............9分 所以a的值为2或.............10分 （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为.............15分 17.解：（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为.............4分 （2）函数为奇函数，理由如下：.............5分 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. .............9分 （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. ............15分 18.解：（1）已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. .............6分 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，.............9分 函数在上单调递增，所以在上单调递减，.............12分 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以，.............16分 故若，关于的不等式的解集是.............17分 19.解：（1）因为 所以，即，解得. 所以函数的定义域为..............2分 令， 因为，所以单调递增，即单调递增. 又因为单调递增，所以函数在上单调递增. .............5分 （2） .............7分 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即. 所以..............9分 因为上式对任意成立，所以，解得. 所以函数的对称中心为..............11分 （3）因为，使得不等式成立， 所以..............12分 由（1）得在上单调递增，所以. ，.............14分 令，设 因为，所以，即，所以 即. 所以，解得. 实数的取值范围是..............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化即得. 【详解】由可得. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 3．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增， 所以， 所以， 故选：B. 5．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 6．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数值域为，则真数必须能取到大于零的任意实数. 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 7．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数， 由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或， 所以. 8．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用奇函数的性质化简给定不等式，得到，再结合的单调性求解对数不等式，即可得到的取值范围. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故，，且， 代入原不等式得，即，整理得， 因为对于任意，都有，所以在单调递增，又是奇函数， 所以在单调递增，令， ① 当时，，则， 因为在单调递增，所以，即，解得； ② 当时，，所以， 因为在单调递增，故， 即，解得； 综上，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 10．已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】分和，利用对数函数和二次函数的图象，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】若，函数的图象过定点且在上单调递减， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项D正确， 若，函数的图象过定点且在上单调递增， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项A正确. 故选：AD. 11．已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，其中，且，， A选项，，A选项正确. B选项，，B选项正确. C选项，，C选项错误. D选项，，D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，求_____. 【答案】9 【详解】由解析式知，则. 13．已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 14． 下列四个数：的大小顺序为______ 【答案】 【分析】利用对数函数性质可得，然后结合不等式性质及对数函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以，则. 所以. 所以． 所以四个数的大小关系为，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算： (1) (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式............4分 （2）原式............8分 （3）原式 ............13分 16．（15分）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此；............4分 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此，............9分 所以a的值为2或.............10分 （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为.............15分 17．（15分）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 函数为奇函数，证明见详解 (3)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据对数可得，解不等式即可得函数定义域； （2）根据题意结合奇函数的定义分析判断即可； （3）根据对数函数单调性结合复合函数单调性分析判断. 【详解】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为.............4分 （2）函数为奇函数，理由如下：.............5分 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. .............9分 （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. ............15分 18．（17分）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】(1)先求函数定义域，通过计算为定值，证明函数图像关于点中心对称； (2)利用复合函数“同增异减”法则与一次函数单调性，判断时在定义域内单调递减，再结合定义域约束与单调性解不等式. 【详解】（1）已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. .............6分 （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，.............9分 函数在上单调递增，所以在上单调递减，.............12分 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以，.............16分 故若，关于的不等式的解集是.............17分 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，函数在上单调递增； (2)对称中心为 (3)的取值范围是 【分析】（1）利用真数大于零可解得函数定义域.利用复合函数单调性关系可判断函数的单调性. （2）利用已知条件列出方程组即可求解出对称点. （3）根据题设可得，再分别求解两函数的最大值即可. 【详解】（1）因为 所以，即，解得. 所以函数的定义域为..............2分 令， 因为，所以单调递增，即单调递增. 又因为单调递增，所以函数在上单调递增. .............5分 （2） .............7分 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即. 所以..............9分 因为上式对任意成立，所以，解得. 所以函数的对称中心为..............11分 （3）因为，使得不等式成立， 所以..............12分 由（1）得在上单调递增，所以. ，.............14分 令，设 因为，所以，即，所以 即. 所以，解得. 实数的取值范围是..............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第四章 对数运算与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，且对于任意，都有，，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   11．已知，其中，且，，则下列关系式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，求_____. 13．已知，则______． 14． 下列四个数：的大小顺序为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算： (1) (2)． (3) 16．（15分）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 17．（15分）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 18．（17分）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $