高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（较易版02）

**基本信息** 聚焦高中数学第四章对数运算与对数函数单元，以基础巩固为核心，通过分层题型设计与实际情境应用，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题/30分|对数定义、函数定义域值域等|第5题以星等亮度为情境，培养用数学眼光观察现实世界的能力| |多选题|2题/12分|函数单调性、对称性|第7题分析函数性质，发展数学思维的推理意识| |填空题|2题/10分|定点问题、存在性问题|第10题考查函数值域关系，体现数学语言的模型应用| |解答题|3题/48分|对数运算、解不等式、函数性质证明与最值|第13题三问分层设计，提升数学思维的运算能力与问题解决能力|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 6．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为________． 10．（本题5分）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 11．（本题14分）计算： (1)； (2)． 12．（本题16分）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 13．（本题18分）已知函数. (1)证明：为奇函数. (2)求方程的解. (3)若函数在上的最大值为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数式与对数式的互化直接判断即可. 【详解】当时，由及对数定义得. 故选：A 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于建立不等式求解即可． 【详解】要使得有意义， 则，解得：， 故选：B． 4．（本题5分）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数特性、、初判a、b、c的范围，再对同一范围内的b、c，通过对数运算化为相同的底数后再比较即可． 【详解】由于，即， ，即， ，即， 继续比较，， ， 所以． 故选：B． 5．（本题5分）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【分析】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【详解】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 6．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】利用函数定义域的求法可判断A；利用复合函数单调性法则可判断BC；利用函数对称性可判断D. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ，所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 8．（本题6分）已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确； 对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（本题5分）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质即可求解. 【详解】令，所以， 所以， 故答案为： 10．（本题5分）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可. 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 12．（本题16分）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 13．（本题18分）已知函数. (1)证明：为奇函数. (2)求方程的解. (3)若函数在上的最大值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的概念证明即可； （2）令，进而转化为解一元二次方程得，最后再求的值即可； （3）根据复合函数的单调性判断得在上单调递减，进而解方程即可得答案. 【详解】（1）证明：函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数. （2）令， 则等价于，即，解得（舍），， 所以，即， 所以方程的解为. （3）解：因为函数均为定义域上的增函数， 所以函数在上单调递增，故在上也为增函数， 因为当时，， 因为，函数为减函数， 所以在上单调递减， 所以函数在上的最大值为，即，解得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $