第8单元 对数运算与对数函数 A卷基础达标-【金试卷】2026-2027学年高一数学必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

20.解(1)f(x)为偶函数. 证明如下： 依题意，函数f(x)的定义域为R.对于任意x∈R, 都有f(-x)=2--√1+(-x)2+|-x=2-√1+x2+|x=f(x), 所以函数f(x)是R上的偶函數. (2)函数f(x)=2x-√1+x2+|x|=2x-(+x2-|x|)=2x- 1 在[0，十∞)上单调递增， √x2+1+x 因为函数f(x)是R上的偶函数，所以f(x十2)>f(2x-1)等价于f(|x十2|)> f(2x-1). 因为函数f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以1x+2>2x-1,即3x2-8x-3<0,解得-}<x<3, 所以不等式fx+2)>f(2x-1D的解集为(-号3)， 21.解(1)因为f(x)是定义在(-∞，十∞)上的奇函数， 所以f0)=0,即12十a=0,解得a=2(经检验符合题意， 2②法-）-1242>02+1>1.0242.-2×2410 2 .-1<1-2*+11 2,<1f(x)的值域为(-11D. 法二因为y=f()= 2x+1 所以2=+y由2>0知士>0，所以-1<y<1.即f(x)的值城为(-11). 1-y 1-y 等式f(x)≥2-2等价于1≥2-2，即(2)2-(1+102*+ 令2x=u,因为x∈(0,1]，所以u∈（1,2]. 又u∈(1,2]时，2-(t十1)u十1一2≤0恒成立，把不等式看成关于t的一次不等式， 12-(u+1)+1-2≤0，解得≥0. 所以 22-2(t+1)+t-2≤0， 故实数t的取值范围为[0，十∞). 2.解)当a=-1时1)=（分）-(2）广+1x<0. ◆-（合）<0则≥1y=-+1=(》产+星 y>1,即函数f(x)在(-o∞，0)上的值域为(1，十∞)， .不存在常数>0，使得f(x)≤M成立， ∴.函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数. (2)由题意知，f(x)|≤3对x∈[0，+∞)恒成立，即一3≤f(x)≤3对x∈[0，十∞) 恒成立. 令1=（号）广≥0，则e01门-(+)<≤2-t对1(01]恒成立， :[-(+4)门<a≤(2-) max min 设A0=-(+)p0=2-11E0,. h(t)在(0,1]上递增，(t)在(0,1]上递减， ∴.h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5,p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1, ∴.实数a的取值范围为[一5,1]. 第八单元对数运算与对数函数 A卷基础达标 1A类使色度布念义，时2≥0尔序≥4.故高我的定又 域为[4，十∞)，故选A. 2C画数)=gx在区同[骨号]上单调适支，所以画数的最小植为（号） 16g号名西蚊的最大值方f(行）=16g子=2.片以西银f)的值线为 [合]选c 3.Aa=loga3=1og19a>log5=c,排除B.C选项.6=log4<1og35-号 log48<a,∴.b<a,排除D,故选A. 4.D设y=l0g2t,t=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,令-x2+6x-5>0,解得1<x< 5,所以函数t=一x2+6.x-5在(1,3)上单调递增，在[3,5)上单调递减.因为函数y =10g2t是增函数，所以根据复合函数单调性可知，函数f(x)=log2(-x2十6x一5) 的单调递减区间是[3,5).故选D. 5.A:已知函数f(x)=2log5x的值域为[-1,1]，.-1≤2logx≤1， 即1og(3） 2loeg4log(日）， 化简可得长<2，再由>0可得<<巨。 故高数f)的定义城为N2]故选A 6.B因为f(x)=1og2x为单调递增函数，所以10g2π>10g23>1,又因为1n2<1,所以 c>a>b.故选B. 7.C国为2=5=10.所以a=1o10.6=1og10.所以日=1g2,方=1g5,则日+方 =lg2+lg5=1g(2×5)=1g10=1,故选C. 8C根提题意：西旅)-h告+1，设g)-1n告则有吉>0，解得-1长 1一x=一lm <1,即函数g(x)的定义城为(-1,1)，关于原点对称.又g(-x)=1血1十 吉一g(),所以函数8(x)为专函数，设1=吉=-1-名该西数在 1-x 1一x （一1，D上方验益数，又y=n1为治高数：故8)-1n吉在区同(-1，D上为增 函数.f(2x-1)+f(2x)=g(2x-1)+g(2x)+2<2→g(2x-1)<-g(2x)→ /2x-1<-2x g(2x-1)<g(-2x)= 一1<2x1<1,解得0<<，即所求不等式的解条为 -1<-2x<1 (0,)故选C 9.AC由函数f(x)=log|x一1|，可知函数关于x=1对称，且f(x)在(-∞，1)上单 调递增，易得0<a<1;,2021<a十2021<2022，又f(x)在(1，十∞)上单调递减， ∴.f(a+2021)>f(2022).故选AC. 10.BD当a>1时，y=a在R上单调递增且其图象恒过点(0,1)，y=log（(x-2)在 (2,十∞)上单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B符合要求；当0<a<1时， y=a在R上单调递减且其图象恒过，点(0,1)，y=log(x-2)在(2，十o∞)上单调递 减且其图象恒过点(3,0)，则选项D符合要求.故选BD. 1.BDf)=1oga(2+8)-2x=1og3(2+2)-1og2=1og（g+2）.令 2,则>0且4=2：为增画数，令1=十4，则1=1十：在以E(0,)上单调递减， 在E1,十6o)上单调递增，所以y=+2r在x∈（一0.0）上单调递减，在x (0,十o∞)上单调递增.又y=log2t在定义域上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上 单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=1,故A错误，B正 角(-)=10(2+2）=1og(2+）=f.故f)为偶画数，故C错 误，D正确，故选BD. 12.AC对于A,当a=0时，f(x)=1g(x2一1)，令x2一1>0，解得x<-1或x>1,故 A正确；对于B,当a=0时，f(x)=lg(x2一1)的值域为R,故B错误，C正确；对于 D,若f(x)在区间[2，十∞)上单调递增，则y=x2十a.x一a一1在[2，十∞)上单调递 增，且当x=2时，y>0,则 ,解得a>-3,故D错误.故选AC. 4+2a-a-1>0 13.(1,2)因为a>0且a≠1，又x2-2x十3=(x-1)2十2≥2，由函数f(x)有最小值 可知a>1,不等式log.(x-1)<0可化为log(x-1)<log1,又函数y=logx(a>1)在 (0,十o∞)上单调递增，所以0<x-1<1,即1<x<2,所以不等式10g(x-1)<0的 解集是(1,2). Inx,x>0 14.lnx(答案不唯）取fx)=lnx=n（,<0则f(x)为偶函数，在(0. 十©∞)上单调递增，且值域为R,满足题中条件. 15.(2,1)号画数y=log,(x-1)+1(a>0,且a≠1D中，令x-1=1得x=2,此时 y=1,则点A(2,1).依题意，2m十n=2,而m>0,n>0,则2=2m十n≥2√2m,即 mn≤2，当且仅当2m=1=1时取“=”，所以mm的最大值为2 16.-2(-]U[子+）8=e8=-18]--=--1+ (一1)=-2.易知当x=号时，通数x)取得最大值子}<k-1,可得≥号 或 4D原式=4og72+0og3P+210g7X1og38g9q0g73=（1g7D2 2-(1og37)2=2. 2)原式=1og32+21g52+1g2-1og3×1og23+2受+1ne=4bg3+lg5 +lg2-1og23×3og:2+2+2=4+1g5×2)-3+2=4+1-1=4. 18.(1)解设3x=4=6=k(k>1),则x=log3k,y=log4k,之=log6k. 由2=p得20=g=p-b6gk0p=80g4 (2)证明1-1-，1一1 logsk log k-l0g6-log 3-log2. 又42 19.解(1)当x<0时，-x>0,又f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=log(3十ax), 即当x<0时，f(x)=log(3十ax). (2)选①， 由于f(x)在(1,4)上单调递增，显然a>1不符合题意。 因侣0得0导e时o一(》的线[图) 选②， 若0<a<1,则f(0)=loga3<0,显然不符合题意. 当a>1时，因为f(x)与y=x2都是偶函数， 所以只需考虑x∈[0,1)时，f(x)≥x2即可. 由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0,1)上单调递减，而y=x2在[0,1)上单调 递增，所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减. 则/a>1 )-12≥0中1。 种0g.3-a≥1解得1a≤2， 此时x@)-(告》厂的位政是[)上 20.解(1)由题意，y=f(x)十f(2-x)=log(x十1)十log号(3-x), 则低解得-1长3即城函数份定又线为（一1》. (2)由题意，g)=1og-3x+12)-1ogc+1)=1og23r+12,x1,m], x+1 令x+1=∈(2，m+1,则y=3+12可转化为y=-51+16=1+16-5. x+1 t 当t=4时，ymin=3,则g(x)max=log3=-1. 因为函数g(x)在区间(1，m]上的最大值为一1，所以只需m+1≥4，解得m≥3， 即实数m的取值范围是[3，十∞). 21.解(1)因为a>1,所以函数f(x)=logx单调递增，又它 [日3]上的最大位为 1,则f(x)max=f(3)=logn3=1,解得a=3. 参考答案71 (2).a=3 F(x)=1g:(3+z）+1oa(}-）-1og:[(号+x(号-)】 1og(日-r), +> 由 解得xE(合号)》 号->0 画鼓F()的定义拔（一号，写）关于原点对称， F(一x)=F(x),∴.F(x)为偶函数. Fx)=1og(日-2)xe(-g号) 令1=号2e(0,时]F0=lbeo号-2 ∴.F(x)的值域为(-∞，-2]. 2.解（1)由1og。-log,六，得1og1-3=logy-30ga, 由1=a,≠1知x=10g1≠0，代入上式得x-3=-是+og… ∴logy=x2-3x+3,即y=a-3x+3(x≠0). (2)令4=2-8x+3=(x-）+红≠0).则y=a0u≠3》. ①若0<a<1,要使y=ar-3x+3在区间(0,2]上有最小值8， 则=(。-）+子在(02]上应有最大值，但其在0,2]上不存在最大值，故不符 合题意. ②若a>1,要使y=a-3x+3在区间(0,2]上有最小值8， 则u=(-）+子在0,2]上应有最小值当x=时m=y=, 由a于=8，得a=16. 综上可知，a=16,x=2 3 B卷能力提升 1.B由1ogx=之，得x=,.(5)7=(x)7,则y=x7.故选B. 2.A由于指数函数的底数大于1时，共增长速度随着时间的推移会越来越快，所以y =10×1.05x是更有前途的生意，故选A. 3.C1og24=1g24-1g(3X2)-3lg2±lg33a+b.故选C. 1g51g2 0 1g10-1g21-a 4.A:b=log43∈(0,1)，∴.c=log3(1og43)<0,又a=log34>1∴.c<b<a,故选A. 5.C当x>0时，-1<0，f(-x)=n=f(x):同理，当x<0时，f(-x)=f(x),所 1十x 以f(x)为偶函数，排除选项B,D.又当x∈(0,1)时，lnx<0,1十x>0,所以f(x)< 0,排除选项A.故选C 6.A要俊品教有意义，需使e>0,即>e2>1,解得>0， 所以函数f(x)的定义域为(0，十∞)，定义域不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇 非偶函数； 因为y=y=一e=一是增西数，所以)是增画就，又y=gx是增 函数，所以函教f()=1g。二在定义城(0，十∞)上单调递增.故选A, .A8)=e.[/)+f2)-1=og·0og+liog,2-1D=0(0 621=00g-ga-1g2lg小.今1=g,当e[22]时e [-g2.lg2,◆M)=g0r-0ga-1g2加.日为g在区闪[合，]小上是 72参考答案 减函数，所以M)在1E[-1g2.lg2]上是减画数，所以lga,1g2≥1g2,解得4≥8， 2 故选A. 8.B由题意得f(-x)=f(x),即log2(4-x+1)-ax=log2(42+1)十ax,所以2ax+ 1og2(4+1)-1og2(4+1)=0,其中1og2(4+1)-log2(4F+1D=1og24:+ 4x+1 +1）…45=1og,（4+1).4=10g,4=2,所以2ax+2x=0,解得a=-1, log2(4+1)·49 4x+1 所以f(x)=10g2(4+1)-,2d)=2g,+1)-=4十1=24+2，故函数g(x) =22x十2-2x十m(2x十2x)的最小值为-3.令2r十2r=t,则t≥2，故h(t)=2十mt 人> 2(≥2)的最小值为-3，等价于 {g2 或 h2)=2m+2=-34(-）=-T-2=-3 解得m=一7.故选B. 9.BCDA选项：由对数的运算性质：当a>0,a≠1，x>0,y>0时，logax+logay log(xy)成立，故A选项正确；B选项：当x=2,y=1时，x>0,y>0,x>y成立，log。 x.logy=0≠1og(x十y)=log3,故B选项错误；C选项：当x=2,y=1时，x>0,y >0,z>y成立，log。-log,2≠log(红-y)=0,故C选项错误D选项：当x=2,y -1时>0>0成主要无者义tD选项雄暖就选， 10.ABC由题意可得a=1og3-1=log影号b=1lo8e号.对于Aa+6=log:多+1og 号=1o8(3×号）=log,4=2所以A正确：对于Ba-6=(1o83-1)-log:8 10g23)=210g3-4<210g24-4=0,所以B正确；对于C.因为，2<号<2，所以1og2 e<10g2,所以合<1号<1，所以号<a<1,所以C正确：对于D.因 2<1og221 为>06>0a+6=2.所以日+合日+8)a+0)=号(2+8+台)≥ (2+2合·号)=2，当且仅当a=6时取等号，而a≠6：所以取不到等号，所以 +名>2，所以D错误.故选ABC a 1.cD1[2,+),9,∈[日]有g,等价于方∈[2，+ ∈[33]时，f)n≤gm当xE[2,+o)时，画数f)=lgx2-1) 单调递增，可得f(x)mim=f(2)=1.g(x)=x2-2x十a的图象开口向上且对称轴为 当x∈「号，3时，g=gqDa1,1≤a-1,解得a≥2，故 12.CD当x>1时，x-1>0,此时y=22-x-1-3=22-x+1-3=23-x-3单调递 减，当-1<x<1时，x-1<0,此时y=22-1x-1-3=22+x-1-3=21+x-3单调 递增，所以y=22-x-1-3在（一1,1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，所以当 x=1时，y=22-x-1-3取得最大值，为22-3=1.作出y=1og5(1一x)与y= 22-x-1一3在[-1，十∞)上的图象如图所示： 43 y=log (1-x) 3 2 ...-y=1 0 4-3-2 4 …y-1 y=22-3 /1og5(1-x),-1≤x≤0 对于A,当n=0时，f(x)= 22-x-1-3,0<x≤m 因为f(x)的值域为[一1,1]， 结合图象知mE[1,2,故A不正确：对于B,当n[0,号）小[-1时，1-x [1-n,2],此时(x)=log号(1-x)∈[-1，log号(1-n)],此时-1≤f(x)≤1og号(1-n) <1,因为f(x)的值域为[-1,1]，则x∈(n,m]时f(x)=1必有解，即22-x-11-3 =1,解得x=1,由因知m∈[1,2]，故B不正确，C正确；对于D,当n=2时， =g:1-)在[-1号]上单调延塔，北时八)的最小维为-1D=吸2=-1 fx)的最大值为/(2）=1og(1-)=1,要使f(x)的值城为[-1,1，由图知 m∈(22故D正确，故选CD, 1 13.-2√0og25)2-41og25+4+1og:号=√0og25-2)7+1og =loge5-2+1og:号-1og,1-2=-2. 14.(2,-1)-1f(x)=(3m-1)1og2x-3m=(31og2x-3)m-log2x,令31og2x-3 =0,解得x=2,代入f(x)的表达式可得(2)=一1，所以函数f(x)的图象恒过定，点 A(2,-1).由点A在函数g(x)=x-4-5的图象上，得a=一4，所以g(x)=x十 T 兰-5≥2-5=-1，当且仅当x=2助，等号成立，故g)在0，十0)上的最小 值为-1. 15.(4)根据题意y=f(x-1)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于y 轴对称，即函数f(x)为偶函数，由f(log号a)<f(-2)得f(log2a)<f(2),又函数 f(x)在区间[0，十∞)上单调递增，所以f(log2a)<f(2)→f(log2a)<f(2)→ loga<2,解得子<a<4. 16.}根据函数f)=logx的图象（如图），得0<m y <1<n,所以0<m2<m<1.结合函数图象，易知当x m2时f(x)在[m2,n]上取得最大值，所以f(m2)= 1logm=2,又0<m<1,所以m=子，再结合f0m） =f),可得n=2,所以m=1 n -4. 17.解(1)log5(a.x+1)<1台0<a.x十1<5且a>0, 解得-<x<4,即A={x-<x<4,a>0, a 2x2-3x-2<0台(x-2)(2x+1)<0, 解得-是<<2，即B={-号<<2. 1一 1 2 (2)选择①，p是g9的必要不充分条件，则B三A,即4≥2 ,且等号不能同时 a a>2 成立，解得0<a<2.即实数a的取值范围是(0.2)， 1 122 速择②，p是g的充分不必要条件，则A=B,即4≤2 ,且等号不能同时成 a a>0 立，解得a>2.即实数a的取值范围是(2，十∞). 1 2 选择③，p是g的充要条件，则A=B,即4=2 ,解得a=2.即实数a的取值 a a>0 范围是{aa=2}.第八单元对数运算与对数函数 A卷基础达标 建议用时：120分钟满分：150分 曲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.若函数f(x)=1og2x一2，则函数f(x)定义域为 A.[4,+o∞) B.(4,+∞) 密 C.(0,4) D.(0,4] 幼 2.已知函数f(x)=log号x,x∈ 1,2，则f(x)的值域是（ 42 封 典 A.[0,2] 线 af D. 3.已知a=1og23,b=log34,c=log45,则有 A.a>b>c B.a<b<c 内 C.b>c>a D.b>a>c 4.函数f(x)=log2(-x2+6x-5)的单调递减区间是 A.(-∞，3] B.(1,3] 不 C.[3,十∞) D.[3,5) 5.已知函数f(x)=2logx的值域为[-1,1]，则函数f(x)的定义 ( 故 准 域是 A竖可 B.[-1,1] 答 c日2 D.(-∞，2U(.+o) 6.已知a=log23,b=ln2,c=log2元，则a,b,c的大小关系为( 题 A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 7.若2“=5=10，则1+1 ( A.-1 B.Ig 7 C.1 D.1ogz 10 丝 &.已知两数x)=1+n}兰则不等式2：一1十2)<2的 亦 解集为 A-22 Bo,2 co,》 D.(》 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=log.x-1在区间(-∞，1)上单调递增，则() A.0<a<1 B.a>1 C.f(a+2021)>f(2022)D.f(a+2021)<f(2022) 10.在同一直角坐标系中，函数y=a与y=log.（x一2)的图象可能 是 11.已知函数f(x)=1og2(2+8)一2x,以下判断正确的是() A.f(x)是增函数 B.f(x)是最小值 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 12.已知函数f(x)=1g(x2十a.x一a一1)，下列结论中正确的是 ( A.当a=0时，f(x)的定义域为(-o∞，-1)U(1,+∞) B.f(x)一定有最小值 C.当a=0时，f(x)的值域为R D.若f(x)在区间[2，十∞)上单调递增，则实数a的取值范围 是{aa≥-4}》 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知a>0且a≠1，函数f(x)=log.(x2-2x十3)有最小值，则 关于x的不等式log.(x-1)<0的解集是 14.写出一个同时具有下列性质①②③的对数型函数f(x) ①f(x)在(0，十∞)上单调递增；②f(x)的值域为R;③f(x)为 偶函数 15.函数y=log(x一1)十1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,则 点A的坐标为 ;若点A在函数y=m.x十n-1的图象 上，其中m>0,n>0,则mn的最大值为 .(本题第一空 2分，第二空3分) -x2x,x≤1， 16.已知函数f(x)= 则f[f(3)]= ;若对 logix,x>>1, 任意的x∈R,都有f(x)≤|k一1|成立，则实数k的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 17.10分)01)10g47+1og,3)2_l1oe。49-1og,3》; log7 3 (21og9+2lg25+1g2-1og,9X1og,8+2g1+1ne 18.(12分)已知x,y,之为正数，3=4'=6，且2x=y. (1)求p的值： 2求证 第一部分单元检测卷19 19.(12分)已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=1og。(3 -ax)(a>0,且a≠1)， (1)求当x<0时，f(x)的解析式； (2)在①f(x)在(1,4)上单调递增，②在区间（一1,1）上恒有 f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到上面的横线中，求 g(a)=()“的值域. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 20.(12分)已知函数f(x)=1og(x+1). (1)求函数y=f(x)十f(2-x)的定义域； (2)设g(x)=log十(x2-3x十12)-f(x),x∈(1，m],若函数 g(x)的最大值为一1，求实数m的取值范围. 20第一部分单元检测卷 21.(12分)已知定义在(0，+o∞)上的函数f(x)=log。x(a>1),并 且它在 23上的最大值为1 (1)求a的值； (2)令F(x)=f(}十x)+f(兮-x小，判断函数F(x)的奇偶性， 并求函数F(x)的值域. 2.(12分)已知实数t满足关系式1og=log总(a>0且a≠1， t>0且t≠1). (1)若t=a,求y=f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当x∈(0,2]时，y有最小值8，求a和x 的值