第三章 指数运算与指数函数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C C C C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数．............5分 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令，............7分 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是，............10分 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，．............13分 16.解：（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以．.............5分 （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立，.............9分 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是．.............15分 17.解：（1）由且，得， 则函数为奇函数；.............4分 （2）在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. .............5分 （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立，.............8分 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得..............15分 18.解：（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以..............4分 （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得..............9分 （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得，.............13分 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是..............17分 19.解：（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为..............4分 （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*），.............6分 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为，.............8分 因函数在上单调递减，则， 故..............10分 （2）根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故，.............13分 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，..............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 2．已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在单调递增，分类讨论，的单调性即可求解. 【详解】由题意得：在单调递增， 当时，单调递增，所以， 当时，，令，则在上单调递增， 要使得在单调递增，只需， 综上，要使得在单调递增，只需， 所以. 3．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项. 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 4．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 5．已知，则的最大值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设，将原方程转化为关于的一元二次方程，利用判别式和韦达定理分析正根存在条件求解. 【详解】令，则，所以， 所以由可得，令，则方程即， 则该方程必有正根，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 6．已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 7．若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值. 【详解】对原等式移项整理得（1）， 令，由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数， （1）式即，由单调性得， 即，整理得， 所以 当且仅当时取等号，又，即时等号成立. 即的最小值为. 8．设函数 ，对于实数 ，现给出两个命题: ①若 ，则 ； ②若 ，则 . 则下列判断正确的是 （     ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】A 【分析】通过拆分函数分析奇偶性与单调性，分别推导两个命题的结论，可判断二者均为真命题. 【详解】令，，则. 因为，所以是奇函数， 函数在上为增函数，因此也在上为增函数； 又因为，所以是偶函数， 且偶函数在上单调递增，在上单调递减，. 对命题①：当时，，故，即， 又，所以， 所以，故命题①为真命题； 对于命题②：当 ，即时，，， （i）当时，则，所以， 又，所以， 所以，则， 即成立； （ii）当时，， 因为在上为增函数, 在上单调递增, 所以在上单调递增，又， 所以在上， 又当时，，，所以在上恒成立， 故当时，成立； 综上所述，时，均有成立，故命题②为真命题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．存在极值 C．的值域是 D．存在实数，且，使得在上的值域为 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，由单调性定义判断B，结合单调性判断C，结合单调性与奇偶性的性质判断D. 【详解】对于A：由， 则，所以为奇函数，故A正确； 对于B：由， 因为函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减， 则在R上单调递增，无极值，故B错误； 对于C：由B知在R上单调递增，由， 而，则，即，则，即， 故的值域是，故C正确； 对于D：由C知，函数在R上单调递增，若在上的值域为 则，所以方程在上有两个不相等的实根， 则与在R上有两个交点，结合为奇函数，在上单调递增， 且的值域是，且， 可作出函数与的大致图象如图：由图可知与在R上有两个交点， 因此存在实数且，使在上的值域为，故D正确. 10．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 11．已知函数，则（   ） A．曲线与y轴无公共点 B．曲线关于原点对称 C． D．不存在， 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义域可判断A；根据函数为奇函数可判断B；举反例可判断C；根据函数的值域可判断D. 【详解】对于A项，由可知，所以， 即其定义域为，故A正确； 对于B项，， ， ，显然， 所以为奇函数，故B正确； 对于C项，当时，，故C错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则， 故不存在，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设，则，所以问题转化为，恒成立． 因为 在上单调递减，所以 所以． 13．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题知，进而将不等式转化为，再结合的单调性解得对任意恒成立，最后根据一元二次不等式恒成立问题分类讨论求解即可. 【详解】因为， 所以 因为在上的单调递减，所以在上的单调递增， 又因为，在上的单调递增， 所以在上的单调递增 所以， 又，即 所以 所以， 所以，即对任意恒成立， 当时，恒成立， 当时，对任意恒成立等价于，解得. 所以，实数的取值范围为 故答案为： 14．已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】运用换元法化简不等式，利用函数单调性求函数最小值，结合不等式恒成立的条件求解． 【详解】设，，， ，， 不等式转化为， ， ，即， 不等式转化为， 令，任取，且， 则， ，， ， 在上单调递增， 当时，， 不等式对任意恒成立， ， 实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 【答案】(1) 是奇函数，证明见详解 (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【详解】（1）是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数．............5分 （2）已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令，............7分 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是，............10分 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，．............13分 16．（15分）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以．.............5分 （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立，.............9分 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是．.............15分 17．（15分）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)奇函数 (2) 在定义域上单调递减，证明见详解 (3) 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）利用定义法判断并证明函数单调性； （3）结合函数的奇偶性与单调性将问题转换为有解且不恒成立，结合函数的值域求的取值范围. 【详解】（1）由且，得， 则函数为奇函数；.............4分 （2）在定义域上单调递减，证明：令，则， 由，，即，， 故在定义域上单调递减. .............5分 （3）由，可得， 由（1）知：， 由（2）知：，即有解，但不恒成立，.............8分 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得..............15分 18．（17分）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可； （3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为是偶函数，所以对任意，都有， 即，化简得， 即对任意的恒成立，故，所以..............4分 （2）当时，， 由得，化简得， 因为，所以，可得，解得..............9分 （3）当，时，. 设，， 因为在上单调递增，在单调递增， 所以在单调递增，所以的最大值为， 从而依题意可得对任意恒成立， 将变形得，可得，.............13分 所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值， 函数在区间单调递增，有最大值， 函数（当且仅当取等号）有最小值， 所以，即实数的取值范围是..............17分 19．（17分）已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得，通过换元，求解得出得或，再解指数不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得，通过换元， 由单调性求得，原式化为，结合单调性即可求解. （2）根据偶函数特征与函数的单调性求得的值域为.由不等式恒成立，根据的正负分情况解不等式即可求得其取值范围. 【详解】（1）（i）因为函数为上的奇函数，故，解得， 则，此时因，函数为奇函数， 则不等式，设，代入整理得， 解得或（舍），即，解得， 故原不等式的解集为..............4分 （ii）因为函数为偶函数，故， 即，因不恒为0，故，则， 则（*），.............6分 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增，故， 由（*）左式可得， 则（*）可化为，.............8分 因函数在上单调递减，则， 故..............10分 （2）根据（1）知， 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，则； 当时，，设，则， 此时函数在上单调递增，故，.............13分 又函数在上为偶函数，故当时，. 综上所述，的值域为. 因对于区间上的任意实数，不等式恒成立， 则当时，即，即，解得，则； 当时，即，即，显然成立； 当时，即，即，解得则. 综上所述，..............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 2．已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．已知，则的最大值为（   ） A．1 B．0 C． D． 6．已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 7．若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．设函数 ，对于实数 ，现给出两个命题: ①若 ，则 ； ②若 ，则 . 则下列判断正确的是 （     ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．存在极值 C．的值域是 D．存在实数，且，使得在上的值域为 10．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 11．已知函数，则（   ） A．曲线与y轴无公共点 B．曲线关于原点对称 C． D．不存在， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 13．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______. 14．已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 16．（15分）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 18．（17分）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 19．（17分）已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 2．已知，函数，满足对任意实数，，，都有成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．已知，则的最大值为（   ） A．1 B．0 C． D． 6．已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 7．若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．设函数 ，对于实数 ，现给出两个命题: ①若 ，则 ； ②若 ，则 . 则下列判断正确的是 （     ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．存在极值 C．的值域是 D．存在实数，且，使得在上的值域为 10．一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 11．已知函数，则（   ） A．曲线与y轴无公共点 B．曲线关于原点对称 C． D．不存在， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若不等式 对于任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 13．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为______. 14．已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知定义在上的函数（且）． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，函数，，求函数的值域． 16．（15分）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知 (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性；并证明你的结论 (3)若有解，但不恒成立，求实数的取值范围 18．（17分）已知函数（、为非零常数） (1)当时，为偶函数，求的值； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围. 19．（17分）已知函数. (1)若集合. （i）若函数为奇函数，求不等式的解集； （ii）若函数为偶函数，关于的不等式有解，求实数的取值范围； (2)设若对于区间上的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $