阶段质量评价（三） 指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

**基本信息** 本卷为高中数学第三至五章（指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用）单元复习卷，120分钟150分，覆盖核心知识，融合真题元素，适配单元学情检测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|指数对数运算、函数性质比较|如第4题比较指数对数大小，考查数学思维的推理能力| |多项选择|3/18|函数奇偶性、单调性|第9题结合奇偶性与单调性判断，体现数学眼光的抽象能力| |填空|3/15|方程根分布、分段函数零点|第14题分段函数零点问题，培养数学语言的模型意识| |解答|5/77|指数对数函数综合应用|第18题融合指数函数最值与不等式，第8题引用新课标Ⅱ卷真题，注重知识迁移与创新应用|

[阶段质量评价]　第三~五章　指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知a>0,化简×= (　 ) A.a B. C. D. 解析:选C　×=×=. 2.若xlog32=1,则4x的值是 (　 ) A.9 B.3 C.2log32 D.2log23 解析:选A　因xlog32=1,则x==log23,所以4x==()2=32=9. 3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= (　 ) A.log2x B. C.lox D.2x-2 解析:选A　由题意知f(x)=logax(a>0,且a≠1).∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x. 4.若a=log60.6,b=1.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 解析:选B　∵a=log60.6<log61=0,b=1.10.6>1.10=1,0=log0.51<c=log0.50.6<log0.50.5=1,故b>c>a.故选B. 5.根据表中的数据,可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 (　 ) x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2) 解析:选D　当x=-1时,f(-1)=0.37+1-2=-0.63<0.当x=0时,f(0)=1-0-2=-1<0.当x=1时,f(1)=2.72-1-2=-0.28<0.当x=2时,f(2)=7.39-2-2=3.39>0.当x=3时,f(3)=20.09-3-2=15.09>0.因为f(1)f(2)<0,所以方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选D. 6.函数f(x)=log2(|x|-1)的图象为 (　 ) 解析:选A　函数f(x)=log2(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),可以排除选项B、C;由f(-x)=log2(|-x|-1)=log2(|x|-1)=f(x),可知函数f(x)为偶函数,其图象应关于y轴对称,可以排除选项D. 7.若a,b∈R,且满足<<<1,那么 (　 ) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 解析:选C　由指数函数y=是减函数及<<<1,得0<a<b<1.当0<a<1时,y=ax是减函数,所以ab<aa,排除A,B.又因为幂函数y=xa(0<a<1)在第一象限内单调递增,所以aa<ba,故选C. 8.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　 ) A.-1 B.0 C. D.1 解析:选B　法一:设g(x)=ln,易知g(x)的定义域为∪,且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B. 法二:因为f(x)=(x+a)ln为偶函数,f(-1)=(a-1)ln 3,f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 (　 ) A.f(x)=- B.f(x)=3x C.f(x)=log3x D.f(x)= 解析:选AD　f(x)=-是奇函数,且是(-∞,0)和(0,+∞)上的增函数,A符合题意;f(x)=3x不具有奇偶性,是增函数,B不符合题意;f(x)=log3x不具有奇偶性,是增函数,C不符合题意;f(x)==是奇函数,且是增函数,符合题意. 10.已知函数f(x)=-log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断,其中可能成立的是 (　 ) A.d<a B.d>b C.d>c D.d<c 解析:选ABD　由y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数.当0<a<b<c时,f(a)>f(b)>f(c),又因为f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,所以①f(a),f(b),f(c)都为负值,则a,b,c都大于d;②f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立. 11.已知函数f(x)=|lg x|,则 (　 ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)值域为 C.f(x)在上递增 D.f(x)有一个零点 解析:选BD　画出f(x)=|lg x|的函数图象,如图所示.由图可知,f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故A错误;f(x)值域为,故B正确;f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故C错误;f(x)有一个零点1,故D正确.故选B、D. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)若2a=3,b=log32,则ab=　　　　.  解析:由2a=3可得,a=log23,所以ab=log23×log32=×=1. 答案:1 13.(5分)关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于 1,则a的取值范围是　　　　.  解析:设f(x)=3x2-5x+a,由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,∴a<2. 答案:(-∞,2) 14.(5分)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0<a<1时,直线y=a与y=f(x)的图象有三个交点,所以实数a的取值范围为(0,1). 答案:(0,1) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值计算: (1)+++;(7分) (2)·log23·log34.(6分) 解:(1)原式=+1+1++=+2++-=5. (2)原式=·log23·log322 =·log23·2log32=×2=×2=. 16.(15分)已知函数f(x)=2a·9x-3x+1+1. (1)当 a=1时,求函数f(x)的零点.(7分) (2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.(8分) 解:(1)当a=1时,f(x)=2·9x-3·3x+1.令f(x)=0,即2·(3x)2-3·3x+1=0,解得3x=1或3x=.所以x=0或x=-log32,函数f(x)的零点为0,-log32. (2)若f(x)有零点,则方程2a·9x-3x+1+1=0有解,于是2a==-=-+,所以2a≤,即a≤.所以实数a的取值范围为. 17.(15分)已知指数函数y=,当x∈(0,+∞)时,有y>1. (1)求a的取值范围;(5分) (2)解关于x的不等式loga(x-1)≤loga(x2+x-6).(10分) 解:(1)∵指数函数y=在x∈(0,+∞)时,有y>1,∴>1.解得0<a<1.∴实数a的取值范围为(0,1). (2)由(1)得0<a<1,∵loga(x-1)≤loga(x2+x-6),∴解得2<x≤.∴不等式的解集为. 18.(17分)已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上最大值和最小值的和为12,令f(x)=. (1)求实数a的值;(3分) (2)探究f(x)+f(1-x)是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由;(6分) (3)解不等式:f(1-x)+2[f(x)]2<1.(8分) 解:(1)因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上为单调函数,所以a+a2=12.解得a=3或a=-4.因为a>0,且a≠1,所以a=3. (2)f(x)+f(1-x)=1,为定值.证明如下:由(1)得,f(x)=,所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=1. (3)由(2)得,1-f(x)=f(1-x),且f(x)>0,所以2[f(x)]2<1-f(1-x)=f(x).所以f(x)<.所以<.整理得3x<,解得x<.所以原不等式的解集为. 19.(17分)已知函数f(x)=lg. (1)求证:f(x)是奇函数;(4分) (2)求证:f(x)+f(y)=f;(5分) (3)若f=1,f=2,求f(a),f(b)的值.(8分) 解:(1)证明:由函数f(x)=lg,可得>0.即<0,解得-1<x<1.故函数的定义域为(-1,1),关于原点对称.因为f(-x)=lg =-lg =-f(x),可得f(x)是奇函数. (2)证明:∵f(x)+f(y)=lg +lg =lg ,f=lg =lg =lg ,∴f(x)+f(y)=f成立. (3)若f=1,f=2,则由(2)可得f(a)+f(b)=1,f(a)-f(b)=2,解得f(a)=,f(b)=-. 学科网（北京）股份有限公司 $