第三章 指数运算与指数函数（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 6．若函数 为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 00．已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 11．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 13．已知函数，则的值域为_______． 14．已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 16．（15分）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求的值; (2)若，解关于的不等式 18．（17分）已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因有意义， 需使，解得. 2． ，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定函数为奇函数且在上单调递增，利用性质脱去对应法则，转化为一次不等式即可求解. 【详解】因为，则函数定义域为， 又因为，所以为奇函数；又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 由，得，则， 解得：，所以不等式的解集为. 3．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，考虑各段递增的条件下，需要单独考虑断点处，断点左边图象要低于右边图象． 【详解】由可知， 时，指数函数当时，单调递增； 时，一次函数当时，单调递增，解得； 因为函数在上单调递增，故，即， 即，即， 综上实数的取值范围是． 5．为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 【答案】D 【详解】对于A，把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位，得到，故A错误； 对于B，把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位，得到，故B错误； 对于C，把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，故C错误； 对于D，把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变，得到，故D正确． 6．若函数 为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】奇函数的定义域关于原点对称，而 的定义域由分母 的零点确定，故只需让分母的零点集合关于原点对称，求出 后再检验奇偶性. 【详解】因为 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称. 令 ，得零点 或 ，定义域需剔除这两个零点. 定义域关于原点对称，要求每个零点的相反数仍是零点. 若 ，则定义域中含 却不含 ，不对称；若 ，两个零点重合为 ，其相反数 不是零点，也不对称；故只能 ，即 . 检验：当 时，分母 为偶函数，分子 为奇函数，于是 ， 确实为奇函数. 得 . 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的图象与性质，求得的关系式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，因为指数函数在上为单调递增函数，所以， 若，因为幂函数的定义域为，满足， 所以为偶函数，且在上递减，在上递增，可得， 当时，不一定成立；反之，当时，也不一定成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，在同一坐标系下画出与的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD． 10．已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义即可判断奇函数，利用分离常数及已知函数单调性结合复合函数思想即可判断B选项和C选项，利用特殊值即可验证D选项． 【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，又因为， 所以是奇函数，故A正确； 对于B选项，由， 令，则，， 因为，所以，，，则， 所以的值域为，故B正确； 对于C选项，由选项B的分析可知， 由是在上的增函数，由复合函数的单调性可得是在上单调递增，故C正确； 对于D选项，因为若，不妨令，，则，故D错误． 11．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】BD 【分析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可. 【详解】由图可知，函数图象经过，即，则，所以， 所以不是常数，则浮藻每个月的面积是上个月的2倍， 则每个月的增长率为，故A错误，C错误； 当时，，故B正确； 若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，， 则，由指数函数的单调性知，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 13．已知函数，则的值域为_______． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质结合反比例函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 所以的值域为. 故答案为：. 14．已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 【答案】 【分析】先通过已知条件代入函数表达式，解方程即可求出参数的取值；换元令，结合已得的值化简，通过分析函数单调性构造同构关系，即可解出不等式得到解集. 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为， 由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数， 则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由， 可得是偶函数.因为当时，单调递增，单调递增且 ， 则在上单调递增. 又因，则不等式等价于， 可得，解得或， 故不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） ........................6分 （2）由于，则， 即； ， 即，........................10分 则. 故；.........................13分 16．（15分）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分三种情况求解可得的最大值. 【详解】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以.......................4分 （2）， 令，则，.......................6分 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以，.......................8分 当时，，所以在上单调递增，所以，.......................9分 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，.......................13分 所以在上的最大值为........................15分 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求的值; (2)若，解关于的不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用奇函数定义求出参数，再验证函数满足奇函数的定义即可； （2）先由判断出，再判断函数在上单调递减，最后借助单调性脱去对应法则，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由于是奇函数，所以，即， 整理得，交叉相乘得：， 整理得：，所以，解得.........................3分 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故满足题意；........................5分 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故也满足题意，......................7分 综上，.........................8分 （2）由（1）知，当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意， 所以， 因为为上的增函数，所以为上的减函数， 所以等价于，........................12分 由为上的减函数可得：，解得：， 所以不等式的解集为.........................15分 18．（17分）已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)当时， ；当时，. 【分析】（1）先判断函数的单调性，再根据“同增异减”判断复合函数的单调性； （2）分情况讨论二次函数在给定区间的最大值. 【详解】（1）因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减，由“同增异减”可知， 在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；........................10分 （2）设，则 ，则， 则 . 因为的区间中点为， 当，即时， ； 当，即时， . ........................17分 19．（17分）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 【答案】(1) (2)是，理由如下： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为. (3) 【分析】（1）配方变形，利用给定定义求出值. （2）由给定函数求出，再利用给定定义求解判断. （3）利用换元法解指数方程. 【详解】（1）函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以.........................5分 （2）略........................10分 （3）令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为........................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．下列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．为了得到函数图象，只需（   ） A．把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B．把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C．把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D．把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 6．若函数 为奇函数，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 8．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 00．已知函数，.则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．的值域为 C．在上单调递增 D．若，则 11．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．第6个月时，浮萍面积为 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 13．已知函数，则的值域为_______． 14．已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 16．（15分）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 17．（15分）已知函数为奇函数. (1)求的值; (2)若，解关于的不等式 18．（17分）已知定义在上的二次函数满足，且有最小值. (1)求函数的单调区间； (2)若 ，且在上的最小值为1，讨论在的最大值. 19．（17分）我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若函数满足为偶函数，求的值； (2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形？如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，解关于的方程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第三章 指数运算与指数函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C D C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABD ABC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1） ........................6分 （2）由于，则， 即； ， 即，........................10分 则. 故；.........................13分 16.解：（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以.......................4分 （2）， 令，则，.......................6分 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以，.......................8分 当时，，所以在上单调递增，所以，.......................9分 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，.......................13分 所以在上的最大值为........................15分 17.解：（1）因为， 由于是奇函数，所以，即， 整理得，交叉相乘得：， 整理得：，所以，解得.........................3分 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故满足题意；........................5分 当时，，定义域为，关于原点对称， 又因为，符合奇函数定义，故也满足题意，......................7分 综上，.........................8分 （2）由（1）知，当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意， 所以， 因为为上的增函数，所以为上的减函数， 所以等价于，........................12分 由为上的减函数可得：，解得：， 所以不等式的解集为.........................15分 18.解：（1）因为定义在上的二次函数满足，且有最小值， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为函数在上单调递减，由“同增异减”可知， 在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；........................10分 （2）设，则 ，则， 则 . 因为的区间中点为， 当，即时， ； 当，即时， . ........................17分 19.解：（1）（1）函数，则 显然函数是偶函数，即是偶函数， 所以.........................5分 （2）是，理由如下： 函数，， 则，因此函数是奇函数， 所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为.........................10分 （3）令，则， 方程化为，解得或， 当时，，即，解得； 当时，，无解， 所以原方程的解为........................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $