第7单元 指数运算与指数函数 B卷能力提升-【金试卷】2026-2027学年高一数学必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第七单元 指数运算与指数函数 B卷·能力提升 建议用时：120分钟满分：150分 曲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知f(x)=3一6(2≤x≤4，b为常数)的图象经过定点(2,1)，则 f(x)的值域为 () 密 A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞) h 2.已知a=2.2,b=0.4.2,c=0.4°.6，则 封 A.a>b>c B.a>c>b 典 C.c-a>b D.b>c>a 3.若函数f(x)=a+1(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值 线 的和为，则a A.2 C.4 D. 内 B司 4.设a=4,b=2,c=9,则a,b,c的大小关系为 A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b 不 5.已知函数fx)-(号)广则函数y=fx+1)的图象大致是（) 故 答 6.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级L(噪音级)为30~ 40dB,声强I(单位：Wm)与声强级L(单位：dB)的函数关系式 为I=b·104(a,b为常数).某型号高铁行驶在无村庄区域的声 题 强为105.2Wm,声强级为68dB,驶进市区附近降低速度后的 声强为106.5W'm2,声强级为55dB,若要使该高铁驶入市区时 的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为 () A.10-9W/m B.10-8W/m2 C.10-7W/m D.10-6W/m2 7.若函数f(x)=1十3十a·9,其定义域为（一∞，1]，则a的取 丝 值范围是 () 北 A.a=-4 B.a≥-4 9 C.a≤- 4 D<0 8已知函数f)=3m>0,且fa+2)+f0)-m<0,则 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 ( 17.(10分)化简： A.a+b<0 B.a+b+2<0 (1)(4a2b)(-2ab)÷(-b)(a>0,b>0): C.a-b+1>0 D.a+b>0 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 2,675--1y+(1+g 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=元一π 2g(x)不十T则g(满足(》 A.f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x) B.f(x)-g(x)=π C.f(2x)=2f(x)g(x) D.[f(x]2-[g(x)]2=1 0已知函数f(x)一多十则下列结论正确的是 A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为（一1,1） C.函数f(x)的图象关于y轴对称 D.函数f(x)在R上为增函数 11.设函数y=f(x)和y=f(一x),若两函数在区间[m,n]上的单 调性相同，则把区间[m,]叫作y=f(x)的“稳定区间”，已知区 18.(12分)已知定义域为R的函数f)=二2十b是奇函数. 2x+1+a 间[1,2022]为函数y=1(号)+a的“稳定区间”，则实数a的 (1)求f(x)的解析式； 可能取值是 (2)用定义证明f(x)的单调性. A.-号 C.0 1 D.32 12.已知函数f(x)是定义在[-4,0)U(0, 4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的 图象如图所示，那么满足不等式f(x) 3+1-3≥0的x的可能取值是（） 3 A.-4 B.-1 -101234x C. -1 D.2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数y=(0.5-8)-立的定义域为 14.若函数f(x)= ,则f(x)的单调递减区间是 一1的单调递增区间为 ,值域 为 .(本题第一空2分，第二空3分) 16.若函数f(x)=a1-1(a>0,且a≠1)在区间(a,3(2a-D 2 上单调递减，则实数a的取值范围是 第一部分单元检测卷17 19.12分)设西数0x=号》4是常数，且3)=2 (1)求使得f(x)≥4的x的取值范围， (2)设g)=一2x十m,对于区间[3,4幻上的每一个x值，不等 式f(x)>g(x)恒成立，求实数m的取值范围. 20.(12分)已知函数f(x)=2x-√1+x2+x. (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)判断函数f(x)在区间[0，十∞)上的单调性（不用证明），并 解不等式f(x+2)>f(2x-1). 18第一部分单元检测卷 21.12分)已知函数f(x)=1-2a十aa>0且a≠1D是定义在 (一∞，十∞)上的奇函数. (1)求a的值； (2)求函数的值域； (3)当x∈(0,1]时，tf(x)≥2一2恒成立，求实数t的取值 范围. 22.(12分)定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在 常数M>0,都有|f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函 数，其中M为函数了(：)的上界，已知函数x)一+公+1. (1)当a=一1时，求函数f(x)在（一∞，0）上的值域，并判断函 数f(x)在（一∞，0）上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，十∞)上是以3为上界的有界函数，求实 数a的取值范围.19.解(1)因为f(1)=a-b=2,f(2)=a2-b2=12,所以a=4,b=2. (2)由(1)可知，f(x)=4-2x=(2)2-2, 令1=2，因为x[-211所以1[，2] 于是(2)2-25=2-1=0-2)2- 4 根据画数y-(:一）广-}的因象（图略），可知当E[},2]时=一子=2 、1 所以若x∈[-2,1，则f(x)的值城为[-，2]. 20.解(1)函数f(x)=(a2-3a十3)a是指数函数， ∴.a2-3a十3=1，可得a=2或a=1(舍去)，∴.f(x)=2. 迪(1)得.F(x)=2+2X2,x∈R,F(x)>3,即2+2 即(2x)2-3×2+2>0,(2x-1)(2x-2)>0,解得2>2或2r<1, 解得x>1或x<0. 原不等式的解集为（一∞，0）U(1,+∞). 21.解(1)把(1,6)，(3,24)代入f(x)=b·ax,得 24=b·a3,结合a>0,且a≠1，解 (6=ab 得/a=2 10=3…f)=3x2= (2)要使（合）广+(）广≥m在区间(-0,1]上恒成立.只需保证画数y=(2）广 +(号）厂在区间(-0,1]上的最小值不小于m即可 :函数y=(2）广+(2）广在区问(-©，1上单调递减， 当x=1时y=(号)广+（号）广取得最小，为专只需m≤名即可 即实袋m的取值艺国为（一] 22.解(1)由题意知f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,得a=1. @设D262+210 2x+1 2x+1 由题设知存在x∈[0,1]使h(x)<0成立， 即存在x∈[0,1]使不等式(2r)2+2+1-1一b<0成立， 即存在x∈[0,1]使b>(2r)2+2x+1-1成立， 令t=2x,则存在t∈[1,2]使b>t2+2t-1成立，只需b>(t2十21-1)mim 令g(t)=t2十2t-1,g(t)图象的对称轴为直线t=一1，则g(t)在[1,2]上单调递增， 所以当t∈[1,2]时，g(t)min=g(1)=2,所以b>2. 所以实数b的取值范围为(2，十∞). B卷能力提升 1.C由f(x)过定点(2,1)，则1=32-6，故b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函 数，所以f(x)mim=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为[1,9].故选C. 2.A由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数y=0.4的单调性可知0.40.2>0.406，即 b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上，a>b>c.故选A. 3.Bf(x)=a+1(a>0,且a≠1)在[0,1]上单调，所以f(x)在[0,1]上的最大值与最 小位的和为0)十fI)=a十a2=是，解得a=号或a=-2(含去).故选B 4.Aa=4=2>2号=b,c=9=9>4令=a,∴b<a<c.故选A 5.B函数f)=(号）是单调运减函数，将西数)=f)的周象向左年移1个单位 长度即可得函数y=(x十1)的图象，该函数图象与y轴的交点在(0,1)的下方，只 有B的图象符合，故选B. 110-5.2=b.1068a 6.B由题意可知1069-6·10，解得a=0.1b=10-1,所以1=10-2·10t =10.1山一12，所以当L=40时，达到安静环境要求下的1取得最大值，1max 100.1×40-12=10-8(Wm2).故选B. 70 参考答案 7.A由题意得1+3r+a·9r>≥0的解集为(-0,1，即[（号）]+（兮）+a≥0 的解案为(-，1.令1=（兮），则≥日，即不等式+1十a≥0的解集为 [合十)人所以（号）广+号十a=0,所以a=-合故选A m一 &B由题专知函数f)-3十令8)=)受别8)+】号 g号，号湖光又线秀g-号品g ∴.函数g(x)为奇函数.又m>0,.易知g(x)在R上单调递增.由f(a十2)十f(b)- m<0,可得f八a十2)-罗+f0)-2<0,即g(a+2)+g6)<0.ga十2)< g(b)=g(-b),.a十2<-b,即a十b十2<0.故选B. 9.ACf-x)=)元-f,g(-x)=+元=gx,所以f(-)十g(-0 2 2 gx）-fx),所以A正确：f(x)-g(x)=-,-十元=-一2m 2 2 2 4,所以B不正确：f2)=-,=2:,.士=2/()gr),所 2 2 2 以C正确，[f(x-[g(x)=(任2兰)-(2) (+(）答.经-1，所以D不 正确.故选AC. 10.ABD因为2>0，所以函教f(x)的定义城为R,A中结论正确：f(x)=2}=1 2x+1 247由2r>02+1>10<1p-2K4<0m-11-24 2 2 <1,所以函数f(x)的值城为(-1,1).B中结论正确：因为(-x)=? 2十1 1+2一f(),所以函数f)是奇函数，其因象关于原点对称，不关于y轴对称， 1-2 C中结论不正确；因为画数y=2+1是增函教，y=2十1>1，所以画数y=2十 2 是减画数，因此画数f)=1一2子是增西效，D中结论正确，故选ABD 1.AB由题意得f)=(2）广+a与f(-)=2r+a在区间1,202]上同塔或 同减若同增，则()广+a≤ 在区间[1,2022]上恒成立，即a≤-2，所以 21十a≥0 a≥-2 若同减，则 1 -2a≤- (号)+a≥0在区间[1,2022]上楼成立.即 2r十a0 ≥-（经）2 无解，综上，实数口的取位范国是[-2，一]，所以A,B选项符 a≤-22022 合题意，故选AB. 12.AC因为函数f(x)是定义在[-4,0)U(0,4]上 的奇函数，由题意，画出函数f(x)在[-4,0)U (0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y= y=3*-1 3-1的因象，国为12)=号，所以f(-2)= 289 f2)=-8=32-1.又f1=2=31-1,所以 -4-3-2-10 1234 f(x)的图象与y=3r一1的图象交于 （-8、合)*12)两点fx)-3≥0 即为f(x)≥3-1，由图象可得，只需-4≤x≤ -2或0<x≤1，故A,C可能取到，故选AC. 13.(-0,-3》因为y=(0.5-8)-t=1,所以0.5-8>0,2>23，即 √/0.5x-8 -x>3,解得x<-3,故函数y=(0.5x一8)亨的定义域为(-∞，一3). 14.[2,十∞)将原函数f(x)看作y=(号）u=x-2的复合函数y=(号）广”是减 函数，u=x一2在[2，十∞)上为增函数，在（一∞，2]上为减函数，由复合函数的性 质知，f(x)的单调递减区间是[2，十∞). 15.[1.十o）[-1号+0)令-2+2x+3=1,则y=(2广-1为减画教，则要求 f(x)的单调递增区间，即求t=一x2+2x十3的单调递减区间，因为t=一x2+2x十 3的单调递减区间为[1，十∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为[1，十∞).又t= -+2+8=-(-1)+1,期()广-12(》′-1=是所以高数) 的值越为[-总+)上 16.(经，号]画教y=a1-1a>0且a≠1D的图象是将高数y=a(a>0,且a≠ 1)的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数f(x)=|ax一1一1 |(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0).当0<a<1时，结合函数f(x)的图象（图 f0<a<1 略.若品技)在区同(a.32少)上单羽装减，则Q<322少. 2,解得<a 3(2a-1)≤1 2 ≤号.当a>1时，结合函数fx)的图象（图略）.若f)在区间(a, .32,）上￥ /a>1 涧造减，则/a<3(221) ?,无实教解，综上，实数a的取位龙国为(？，]： 3(2a-1)≤1 2 17.解(1)(4a2b)(-2a6号)÷(-b-支)=[4×(-2)÷(-1)门a2+3b号-号+7= 8ab2. e673g-2-1+(-1m+21=厘-得-11+号 辉(1)：f(x)是R上的奇函数，f(0)=0,即)0=0，解得b= :f(x)=21+d 1-2x 1一2 1 _1一2，解得a=2, 又f-1)=-f1)a+i=2+a 经检验当a=2.b=1时，r)=12,是奇函数f)=12 2x+1+2 2x+1+21 21f)2十2器-号+2中 对任意的x1,x2∈R,且x1<x2, 1 2xg-251 有)x)25十125+125+D2+D x1<x2….2<2,∴f(x1)>f(x2),f(x)在R上单调递减. 19.解)网为8=（传）”-合故a=3:所以)=()少 =23x-10, 故f(x)≥4等价于23x-10≥22，解得x≥4.所以x的取值范围是[4，十∞). (2)f(x)在[3,4]上单调递增，g(x)=-2x十m在[3,4]上单调递减， 要使区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>g(x)恒成立，则需满足f(x)mm> gx)即f3)>g3).即名>一号×3十m,解得m<2,所以实数m的取值范国 是(-∞，2). 20.解(1)f(x)为偶函数. 证明如下： 依题意，函数f(x)的定义域为R.对于任意x∈R, 都有f(-x)=2--√1+(-x)2+|-x=2-√1+x2+|x=f(x), 所以函数f(x)是R上的偶函數. (2)函数f(x)=2x-√1+x2+|x|=2x-(+x2-|x|)=2x- 1 在[0，十∞)上单调递增， √x2+1+x 因为函数f(x)是R上的偶函数，所以f(x十2)>f(2x-1)等价于f(|x十2|)> f(2x-1). 因为函数f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以1x+2>2x-1,即3x2-8x-3<0,解得-}<x<3, 所以不等式fx+2)>f(2x-1D的解集为(-号3)， 21.解(1)因为f(x)是定义在(-∞，十∞)上的奇函数， 所以f0)=0,即12十a=0,解得a=2(经检验符合题意， 2②法-）-1242>02+1>1.0242.-2×2410 2 .-1<1-2*+11 2,<1f(x)的值域为(-11D. 法二因为y=f()= 2x+1 所以2=+y由2>0知士>0，所以-1<y<1.即f(x)的值城为(-11). 1-y 1-y 等式f(x)≥2-2等价于1≥2-2，即(2)2-(1+102*+ 令2x=u,因为x∈(0,1]，所以u∈（1,2]. 又u∈(1,2]时，2-(t十1)u十1一2≤0恒成立，把不等式看成关于t的一次不等式， 12-(u+1)+1-2≤0，解得≥0. 所以 22-2(t+1)+t-2≤0， 故实数t的取值范围为[0，十∞). 2.解)当a=-1时1)=（分）-(2）广+1x<0. ◆-（合）<0则≥1y=-+1=(》产+星 y>1,即函数f(x)在(-o∞，0)上的值域为(1，十∞)， .不存在常数>0，使得f(x)≤M成立， ∴.函数f(x)在(-∞，0)上不是有界函数. (2)由题意知，f(x)|≤3对x∈[0，+∞)恒成立，即一3≤f(x)≤3对x∈[0，十∞) 恒成立. 令1=（号）广≥0，则e01门-(+)<≤2-t对1(01]恒成立， :[-(+4)门<a≤(2-) max min 设A0=-(+)p0=2-11E0,. h(t)在(0,1]上递增，(t)在(0,1]上递减， ∴.h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5,p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1, ∴.实数a的取值范围为[一5,1]. 第八单元对数运算与对数函数 A卷基础达标 1A类使色度布念义，时2≥0尔序≥4.故高我的定又 域为[4，十∞)，故选A. 2C画数)=gx在区同[骨号]上单调适支，所以画数的最小植为（号） 16g号名西蚊的最大值方f(行）=16g子=2.片以西银f)的值线为 [合]选c 3.Aa=loga3=1og19a>log5=c,排除B.C选项.6=log4<1og35-号 log48<a,∴.b<a,排除D,故选A. 4.D设y=l0g2t,t=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,令-x2+6x-5>0,解得1<x< 5,所以函数t=一x2+6.x-5在(1,3)上单调递增，在[3,5)上单调递减.因为函数y =10g2t是增函数，所以根据复合函数单调性可知，函数f(x)=log2(-x2十6x一5) 的单调递减区间是[3,5).故选D. 5.A:已知函数f(x)=2log5x的值域为[-1,1]，.-1≤2logx≤1， 即1og(3） 2loeg4log(日）， 化简可得长<2，再由>0可得<<巨。 故高数f)的定义城为N2]故选A 6.B因为f(x)=1og2x为单调递增函数，所以10g2π>10g23>1,又因为1n2<1,所以 c>a>b.故选B. 7.C国为2=5=10.所以a=1o10.6=1og10.所以日=1g2,方=1g5,则日+方 =lg2+lg5=1g(2×5)=1g10=1,故选C. 8C根提题意：西旅)-h告+1，设g)-1n告则有吉>0，解得-1长 1一x=一lm <1,即函数g(x)的定义城为(-1,1)，关于原点对称.又g(-x)=1血1十 吉一g(),所以函数8(x)为专函数，设1=吉=-1-名该西数在 1-x 1一x （一1，D上方验益数，又y=n1为治高数：故8)-1n吉在区同(-1，D上为增 函数.f(2x-1)+f(2x)=g(2x-1)+g(2x)+2<2→g(2x-1)<-g(2x)→ /2x-1<-2x g(2x-1)<g(-2x)= 一1<2x1<1,解得0<<，即所求不等式的解条为 -1<-2x<1 (0,)故选C 9.AC由函数f(x)=log|x一1|，可知函数关于x=1对称，且f(x)在(-∞，1)上单 调递增，易得0<a<1;,2021<a十2021<2022，又f(x)在(1，十∞)上单调递减， ∴.f(a+2021)>f(2022).故选AC. 10.BD当a>1时，y=a在R上单调递增且其图象恒过点(0,1)，y=log（(x-2)在 (2,十∞)上单调递增且其图象恒过点(3,0)，则选项B符合要求；当0<a<1时， y=a在R上单调递减且其图象恒过，点(0,1)，y=log(x-2)在(2，十o∞)上单调递 减且其图象恒过点(3,0)，则选项D符合要求.故选BD. 1.BDf)=1oga(2+8)-2x=1og3(2+2)-1og2=1og（g+2）.令 2,则>0且4=2：为增画数，令1=十4，则1=1十：在以E(0,)上单调递减， 在E1,十6o)上单调递增，所以y=+2r在x∈（一0.0）上单调递减，在x (0,十o∞)上单调递增.又y=log2t在定义域上单调递增，所以f(x)在(-∞，0)上 单调递减，在(0，十∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=1,故A错误，B正 角(-)=10(2+2）=1og(2+）=f.故f)为偶画数，故C错 误，D正确，故选BD. 12.AC对于A,当a=0时，f(x)=1g(x2一1)，令x2一1>0，解得x<-1或x>1,故 A正确；对于B,当a=0时，f(x)=lg(x2一1)的值域为R,故B错误，C正确；对于 D,若f(x)在区间[2，十∞)上单调递增，则y=x2十a.x一a一1在[2，十∞)上单调递 增，且当x=2时，y>0,则 ,解得a>-3,故D错误.故选AC. 4+2a-a-1>0 13.(1,2)因为a>0且a≠1，又x2-2x十3=(x-1)2十2≥2，由函数f(x)有最小值 可知a>1,不等式log.(x-1)<0可化为log(x-1)<log1,又函数y=logx(a>1)在 (0,十o∞)上单调递增，所以0<x-1<1,即1<x<2,所以不等式10g(x-1)<0的 解集是(1,2). Inx,x>0 14.lnx(答案不唯）取fx)=lnx=n（,<0则f(x)为偶函数，在(0. 十©∞)上单调递增，且值域为R,满足题中条件. 15.(2,1)号画数y=log,(x-1)+1(a>0,且a≠1D中，令x-1=1得x=2,此时 y=1,则点A(2,1).依题意，2m十n=2,而m>0,n>0,则2=2m十n≥2√2m,即 mn≤2，当且仅当2m=1=1时取“=”，所以mm的最大值为2 16.-2(-]U[子+）8=e8=-18]--=--1+ (一1)=-2.易知当x=号时，通数x)取得最大值子}<k-1,可得≥号 或 4D原式=4og72+0og3P+210g7X1og38g9q0g73=（1g7D2 2-(1og37)2=2. 2)原式=1og32+21g52+1g2-1og3×1og23+2受+1ne=4bg3+lg5 +lg2-1og23×3og:2+2+2=4+1g5×2)-3+2=4+1-1=4. 18.(1)解设3x=4=6=k(k>1),则x=log3k,y=log4k,之=log6k. 由2=p得20=g=p-b6gk0p=80g4 (2)证明1-1-，1一1 logsk log k-l0g6-log 3-log2. 又42 19.解(1)当x<0时，-x>0,又f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=log(3十ax), 即当x<0时，f(x)=log(3十ax). (2)选①， 由于f(x)在(1,4)上单调递增，显然a>1不符合题意。 因侣0得0导e时o一(》的线[图) 选②， 若0<a<1,则f(0)=loga3<0,显然不符合题意. 当a>1时，因为f(x)与y=x2都是偶函数， 所以只需考虑x∈[0,1)时，f(x)≥x2即可. 由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0,1)上单调递减，而y=x2在[0,1)上单调 递增，所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减. 则/a>1 )-12≥0中1。 种0g.3-a≥1解得1a≤2， 此时x@)-(告》厂的位政是[)上 20.解(1)由题意，y=f(x)十f(2-x)=log(x十1)十log号(3-x), 则低解得-1长3即城函数份定又线为（一1》. (2)由题意，g)=1og-3x+12)-1ogc+1)=1og23r+12,x1,m], x+1 令x+1=∈(2，m+1,则y=3+12可转化为y=-51+16=1+16-5. x+1 t 当t=4时，ymin=3,则g(x)max=log3=-1. 因为函数g(x)在区间(1，m]上的最大值为一1，所以只需m+1≥4，解得m≥3， 即实数m的取值范围是[3，十∞). 21.解(1)因为a>1,所以函数f(x)=logx单调递增，又它 [日3]上的最大位为 1,则f(x)max=f(3)=logn3=1,解得a=3. 参考答案71