第一章 预备知识（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 该单元卷聚焦必修第一册第一章预备知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，全面覆盖集合、不等式等核心知识，适配单元复习需求，助力数学思维与应用能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合关系、不等式性质|基础概念辨析，强化数学抽象| |多选题|3/18|基本不等式应用|多选项设计，考查推理严谨性| |填空题|3/15|集合运算、不等式恒成立|简洁设问，提升符号意识| |解答题|5/77|不等式求解、实际情境应用（如印刷排版）|分层设问，融合数学建模与逻辑推理|

2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，显然正确；对于②，是无理数，故②正确；对于③，是自然数，故③正确；对于④，是无理数，故④错误.故正确个数为3. 2．已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数轴上标记两个集合，知． 3．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：已知，，令，，，， 则，，，故A项不正确；又，，，故B项不正确；而，故C项也不正确；所以排除ABC. 法二：在两边同除以负数得，与A项矛盾；，与B项矛盾；由，又，，故不一定小于，故C项不正确；由得，，又，两式相乘得，两边同除以负数可得，，故D项正确.故选：D. 4．已知集合，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，则.故选：A. 5．命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 【答案】A 【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“，都有”的否定是“，使得”，故选：A. 6．已知非零实数，满足：且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，时，，，A，B错误；当，时，，C错误；，D正确.故选：D 7．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【解析】由，得，则， 当且仅当时，等号成立. 8．已知实数、、满足，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为，，所以，，所以，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立. 因此，的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，因为，所以，故A正确．对于B，由不等式的乘方性质可得，故B正确．对于C，当时，，故C错误．对于D，当时，，故D错误． 10．已知，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于,因为,且,所以，即,当且仅当时等号成立，故错误；对于,根据选项中可知,当且仅当时等号成立，故正确;对于C，,当且仅当时等号成立,故C错误; 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】ABD 【解析】由于，，，当且仅当，即时取等号，所以有最小值，故A正确；，解得，当且仅当， 即，时取等号，所以的最大值是，故B正确；由，，而，解得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C错误；，，时取等号，所以有最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，且，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】由，得，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 13．设，集合，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】由题，所以或，若或，当，显然集合A不满足元素的互异性，不符合题设；当，此时，满足题设；若，由上分析知，不符合题设.综上，. 14．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】若,得,符合题意；若，由题知，解得，综上实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2). 15.解：（1）不等式，移项得，通分得，............2分 可转化为且， 解得，不等式解集为.............5分 （2）令............7分 当时，，解得，即；............9分 当时，，解得，即； 当时，，解得，即；............12分 综上所述：不等式解集为.............13分 16．(15分）求下列关于的不等式或不等式组的解集： (1) ； (2)； (3)． 16.解：（1）原不等式 由，可得或，............2分 由，可得，............4分 所以或， 所以不等式的解集为............5分 （2）不等式的解集为， 不等式，............7分 所以不等式组的解集为，............8分 （3）不等式， 方程的根为或，............10分 ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为............15分 17．（15分）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 17.解：（1）由题意，，.............6分 （2），............8分 当且仅当，即时等号成立，............10分 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.............15分 18．（17分）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 18.解：（1），............5分 由于，所以，所以， 故............7分 （2），............10分 因为，即............15分 所以.............17分 19．（17分）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19.解：（1）当时，，............2分 又，结合， 则，，从而.............6分 则，或，；............9分 （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则；............12分 若不为空集，，综上可得.............17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，.则（    ） A． B． C． D． 5．命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 6．已知非零实数，满足：且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 8．已知实数、、满足，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（） A． B． C． D． 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，且，则的最小值为______. 13．设，集合，，且，则的值为______． 14．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2). 16．(15分）求下列关于的不等式或不等式组的解集： (1) ； (2)； (3)． 17．（15分）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 18．（17分）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 19．（17分）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D A A D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AB BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．/ 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）不等式，移项得，通分得，............2分 可转化为且， 解得，不等式解集为.............5分 （2）令............7分 当时，，解得，即；............9分 当时，，解得，即； 当时，，解得，即；............12分 综上所述：不等式解集为.............13分 16.解：（1）原不等式 由，可得或，............2分 由，可得，............4分 所以或， 所以不等式的解集为............5分 （2）不等式的解集为， 不等式，............7分 所以不等式组的解集为，............8分 （3）不等式， 方程的根为或，............10分 ①当时，原不等式解集为； ②当时，原不等式解集为； ③当时，原不等式解集为............15分 17.解：（1）由题意，，.............6分 （2），............8分 当且仅当，即时等号成立，............10分 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.............15分 18.解：（1），............5分 由于，所以，所以， 故............7分 （2），............10分 因为，即............15分 所以.............17分 19.解：（1）当时，，............2分 又，结合， 则，，从而.............6分 则，或，；............9分 （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则；............12分 若不为空集，，综上可得.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学单元自测 第一章 预备知识·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，.则（    ） A． B． C． D． 5．命题“，都有”的否定是（    ） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 6．已知非零实数，满足：且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 8．已知实数、、满足，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（） A． B． C． D． 11．若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，且，则的最小值为______. 13．设，集合，，且，则的值为______． 14．关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2). 16．(15分）求下列关于的不等式或不等式组的解集： (1) ； (2)； (3)． 17．（15分）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 18．（17分）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 19．（17分）设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $