高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学第三章指数运算与指数函数单元复习卷（适中版01），知识覆盖全面，梯度设计合理，适配单元巩固与能力提升，注重运算能力、推理能力及抽象能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数运算、定义域、函数图像|基础巩固，如第3题考查定义域抽象能力| |多选题|2/12|运算性质、函数性质|辨析能力，如第8题多角度判断函数性质| |填空题|2/10|指数式求值、恒成立问题|综合应用，如第10题结合不等式考查参数范围| |解答题|3/48|运算化简、函数性质证明与应用|逻辑推理，如第13题综合奇偶性、单调性证明及不等式求解|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   5．（本题5分）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题6分）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．当时，函数的增区间是 B．，使得函数是偶函数 C．当时，函数的值域是 D．若恒成立，则 三、填空题 9．（本题5分）已知，，则________. 10．（本题5分）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 11．（本题14分）（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求a的值； (2)求函数的值域. 13．（本题18分）已知函数的图象经过坐标原点． (1)求实数的值并判断的奇偶性； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 4．（本题5分）函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可. 【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D. 函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点. 故选：A. 5．（本题5分）已知，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的单调性判断. 【详解】因为在上单调递减，又， 所以； 因为在上单调递增，所以. 综上，. 故选：A. 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 二、多选题 7．（本题6分）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂以及根式运算求解出正确选项. 【详解】A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，正确； 故选：ACD. 8．（本题6分）关于函数，下列选项中正确的有（    ） A．当时，函数的增区间是 B．，使得函数是偶函数 C．当时，函数的值域是 D．若恒成立，则 【答案】ABD 【分析】指数型函数的单调性、奇偶性、值域的性质，结合指数函数单调性和一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，设，则在上单调递减， 在上单调递增，因为是上的减函数，可知的递增区间为，则A正确； 对于B：若是偶函数， 则，即， 对恒成立，所以，则B正确； 对于C：当时，由A选项，可知， 又因为，所以值域是，则C错误； 对于D：若恒成立，即恒成立， 所以，即恒成立， 所以，解得，则D正确， 故选：ABD 三、填空题 9．（本题5分）已知，，则________. 【答案】1 【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可. 【详解】 故答案为：1. 10．（本题5分）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，将不等式变成对任意恒成立，分离常数可得，令，结合函数的单调性求解即可. 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 四、解答题 11．（本题14分）（1）求值：； （2）若， （i）； （ii）求． 【答案】（1）；   （2）（i）； （ii）. 【分析】（1）根据分数指数幂运算的性质化简可得； （2）对进行平方，结合完全平方公式和立方和公式可求出结果． 【详解】（1）原式 （2）（i）因为， 所以， 因此：. （ii）由，得， 故， 又， 故． 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求a的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）把给定的点代入函数式求出a值作答. （2）由（1）求出函数式，再借助单调性求出值域作答. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，而且， 所以. （2）由（1）知，，显然函数在上单调递减， 则当时，，且恒成立， 因此当时，函数， 所以函数的值域是. 13．（本题18分）已知函数的图象经过坐标原点． (1)求实数的值并判断的奇偶性； (2)判断的单调性并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上单调递增．         证明如下： 对于任意实数，不妨设， 则，     在上单调递增，， ，即， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）由代入求得；根据函数奇偶性定义判断； （2）根据函数单调性定义判断证明； （3）利用奇函数将不等式变形为，再根据单调性求解. 【详解】（1）因为的图象经过坐标原点，所以，解得.    所以，， 因为， 所以是奇函数. （2）略 （3）由，得， 即，所以，     解得或，即原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $