2026-2027学年人教版九年级数学上册10月份月考质量检测（第二十五章至二十七章）试卷

2026-2027年九年级数学上册人教版10月份月考质量检测 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十五章至二十七章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 10．反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 11．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（     ） A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．一元二次方程的两个根是，1 12．如图，在等腰中，，点是边上一个动点，过点分别作射线和射线的垂线段和，连接，设的面积为，的面积为，当线段的长度最小时，的值是（   ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 14．如图，在中，点B在x轴上，于点B，且．设直线（）截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数解析式为_______________． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 16．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 三、解答题(17～19题每小题9分，20～22题每小题10分，23题15分，共72分) 17．按要求解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 18．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 19．已知抛物线（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 20．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 21．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； (2)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 23．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年九年级数学上册人教版10月份月考质量检测 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：九年级上册数学第二十五章至二十七章 第一部分 选择题(共36分) 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项中，当时，方程二次项系数为0，不是一元二次方程； B选项中，方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程； C选项中，展开等式右边得，化简后为，是一元一次方程； D选项中，是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，符合一元二次方程的定义． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 4．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据抛物线与x轴无交点求出a的取值范围，再求出原抛物线顶点坐标，根据平移规律得到平移后顶点坐标，通过判断坐标符号确定顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 9．函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限，没有符合条件的选项． ②当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限，故C选项的图象符合条件． 10．反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负， ∵点、的横坐标均小于0，在第二象限，且， ∴， ∵点的横坐标大于0，在第四象限， ∴， ∴． 11．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（     ） A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．一元二次方程的两个根是，1 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴的交点坐标得到抛物线的对称轴判断A；利用抛物线对称轴和开口方向判断B；利用抛物线在轴下方所对应的自变量的范围判断C；利用抛物线与轴交点横坐标判断D． 【详解】解：A、由图可知，抛物线与轴的交点坐标为，， ∴抛物线的对称轴为直线，所以选项A的说法正确，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，由图可知，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，所以选项B的说法错误，该选项符合题意； C、由图可知，当时，图像在轴下方，即，所以选项C的说法正确，该选项不符合题意； D、二次函数与轴交点横坐标就是一元二次方程的两个根，是，，所以选项D的说法正确，该选项不符合题意． 12．如图，在等腰中，，点是边上一个动点，过点分别作射线和射线的垂线段和，连接，设的面积为，的面积为，当线段的长度最小时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于，作于，设，，根据三角形函数分别表示出，， ，，得，，，，进而可得，，，，，根据勾股定理得，可得当时，最小，即可求的值． 【详解】解：作于，作于， 设，， ， ， ，， 同理可求，， ， ， ，， 同理可求，， ， ， ， ， 当时，最小为， 此时，， ， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及解直角三角形的相关计算，涉及二次函数的性质，准确利用参数建立变量之间的关系式是正确解答此题的关键． 第二部分 非选择题 (共84分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 13．对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【分析】根据新运算定义整理得到关于的一元二次方程，利用两个相等实数根的条件，令判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵ 定义新运算， ∴，将其代入方程， 整理得一元二次方程， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 14．如图，在中，点B在x轴上，于点B，且．设直线（）截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数解析式为_______________． 【答案】 【分析】得到为等腰直角三角形，则，即可建立函数表达式． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 由题意得，轴 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【分析】首先利用点的坐标求出反比例函数解析式，进而求出点的横坐标，然后观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围． 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为， 点 在反比例函数的图象上， ， ， 点的坐标为， 当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， 由图象可知， 的取值范围是或． 16．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 三、解答题(17～19题每小题9分，20～22题每小题10分，23题15分，共72分) 17．按要求解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）已知方程有两个实数根，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知等式求解，验证符合第一问的取值范围即可得到结果. 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，其中，，， 代入得 ， 解得； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴，解得. ∵，符合的取值范围， ∴的值为. 19．已知抛物线（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：令，得方程. ∵ ， ∴无论取何值，该方程总有实数根，即抛物线与轴总有交点 (2)的取值范围是 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，计算判别式证明其恒非负； （2）利用根与系数的关系，由两根异号得两根之积小于0，求解的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， ∵抛物线与轴的两个交点分别在原点两侧， ∴两根异号，即， 由根与系数的关系得， ∴的取值范围是． 20．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 21．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； (2)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先找出三角点阵前行点数之和的规律进行求解即可． （2）先找出前排盆景总数的表达式，再根据总数为盆来求解的值． 【详解】（1）解：通过观察可知，三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 前n行的点数之和为． （2）解：由题可知，第一排盆，第二排盆，第三排盆，，第排盆， 那么前排盆景的总数为， 由(1)可知， 所以前排盆景的总数为， 令，即， ，， 因为表示排数，为正整数，所以舍去，取． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，点A，D的坐标分别为，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点C的坐标； (3)将沿x轴正方向平移10个单位长度后，判断点能否落在反比例函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点落在反比例函数的图象上．理由如下： 把点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为， 而当时，， ∴平移后点能落在反比例函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据四边形为平行四边形，得到，再根据点的坐标，得到，从而可知，即可求解； （3）先求得点沿x轴正方向平移10个单位长度后得到对应点的坐标为，再将点代入中，即可判定． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形为平行四边形， ， ∵点A，D，B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）略 23．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $