2026-2027学年北师大版数学九年级上册10月份考试模拟卷

· 期中复习卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2－2x－3＝0 B．x2－2y－1＝0 C．x2－x(x＋3)＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 2．一元二次方程x(x－3)＝3－x的根是(　　) A．－1 B．0 C．1和3 D．－1和3 3．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是(　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A．45° B．25° C．30° D．40° 5．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( ) A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C.＝ D.＝ 7．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( ) 8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为(　　) A．4＋2 B．12＋6 C．2＋2 D．2＋或12＋6 9．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　　) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 10．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( ) 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 12．如果关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根为1，则另一根为________． 13．如图，菱形的对角线，相交于点，点，分别是，边上的中点，连接，若，．则菱形的周长为 ． 14．如图是一个正方体的展开图，标注字母A的面是正方体的正面，标注字母G的面为底面，如果正方体的左、右两面标注的代数式的值相等，则x＝ ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，线段EF＝10.在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD.则矩形EMNH的面积的最大值是________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解下列方程： (1)x2－x－5＝0； (2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 17．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值． 18．如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G. (1)求证：BD∥EF； (2)若＝，BE＝4，求EC的长． 20．如图，矩形，，，过对角线中点O的直线分别交、边于点E，F．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，求菱形的边长． 21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和点D且点D在网格的格点上．    (1)以点D为位似中心，将在点D上方画出位似变换且缩小为原来的得到． (2)将（1）中的绕点D顺时针旋转得到，画出． (3)的面积是___________． 五．解答题（三）（22题13分，23题14分） 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点E在边BC上，与点B，C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F.设DF＝x，EC＝y. (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当CF＝1时，求EC的长； (3)若直线AF与线段BC的延长线交于点G，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长． 23．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A D D C A A C 11. 平行 12. 4 13．20 14．1或2 15． 16．(1)x2－x－5＝0； 解：x＝， ∴x1＝，x2＝. (2)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7， x2－6x＋8＝0， (x－2)(x－4)＝0， ∴x1＝2，x2＝4. 17．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根， ∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0， 解得m≤2. (2)∵方程x2－6x＋(4m＋1)＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，即32－16m＝16， 解得m＝1. 18．(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 19．(1)证明：∵， ． ． ． ． (2)证明：， ． 由（1）可知：， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 20．（1）证明：∵四边形是矩形，O是的中点， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形是菱形时，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴即菱形的边长为． 21．(1)如图所示：即为所求；    (2)如图所示：即为所求； (3)3 【分析】（1）利用位似图形的性质，即可得出对应点位置，即可得出； （2）利用旋转的性质，即可得出对应点位置，即可得出； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积是； 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了位似变换作图，根据题意得出对应点位置是解题关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换． 22．解：(1)易证△ADF∽△DCE，可得y＝x(0＜x＜8) (2)DF＝1或DF＝3，相应地，EC＝或EC＝　 (3)由∠DEC＝∠AFD得，∠BED＝∠DFG. 设DF＝x，则FG＝，DE＝，BE＝4－x， 当∠DBE＝∠GDF时，x·＝·(4－x)，解得x＝； 当∠BDE＝∠GDF时，x(4－x)＝·，解得x＝(x＝－4舍去)． 综上可知，DF的长为或 23．(1)的投影是，的投影是点，的投影是 (2)证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． (3)①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ② 【分析】（1）根据投影的定义，即可求解； （2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证； （3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）略 （3）①略 ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键． 答案第4页（共5页） 答案第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $