精品解析：江苏无锡市港下中学2026-2027学年九年级上学期10月自主数学试卷

初三数学限时练习卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择（3分×10=30分） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 2. 点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点坐标代入反比例函数一般式，求出比例系数k即可确定解析式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 点在函数图象上， 将，代入解析式，得， 解得， 这个函数的解析式为. 3. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，求出两个解，即可得出漏掉的解． 【详解】解：， 因式分解得， ∴ 或， ∴，， ∴ 他漏掉的解是． 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，属于基础题，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程； 把常数项移到等号右边，方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：把常数项移到等号右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 由完全平方公式得：， 故选：D． 5. 如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，可得结论． 【详解】解：∵的度数为， ∴， ∴的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是理解圆心角的度数与所对的弧的度数相等． 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 60° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ，  ， ，   ， ，   ． 7. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两年藏书的年均增长率是x，先表示出2024年底的藏书量、再表示出2025年底的藏书量，最后根据2025年底的藏书量为万册列出方程即可． 【详解】解：设这两年藏书的年均增长率是x， ∵2023年底藏书为5万册， ∴2024年底藏书量为万册， ∴2025年底藏书量为万册， ∵2025年底藏书为万册， ∴． 8. 已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆锥侧面积为. 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用反比例函数的性质判断k的符号，再根据给定x区间的y最大值求出k的值，最后结合反比例函数性质求出目标区间y的最大值． 【详解】解：当时，y的最大值为， ，， ， 对于反比例函数，当时，每个象限内y随x的增大而减小， 在区间，x取最小值时y取得最大值， 将代入，得，即反比例函数为， 在区间中，x取最小值2时y取最大值． 10. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点O作于点F，过点D作于点E，由垂径定理可得，由圆周角定理和角平分线的定义推出，则可证明，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点F，过点D作于点E， ∴，， ∵半圆O的直径， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空（3分×8=24分） 11. 已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． 12. 方程的解是__________． 【答案】， 【解析】 【分析】原方程左边已分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为0的性质，分别令各因式等于0即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得 ，． 13. 已知反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，任意满足的数都符合要求） 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性确定的取值范围，写出一个范围内符合条件的值即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴（任取一个大于的数即可），例如． 14. 一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 【答案】 2.5 【解析】 【分析】根据图象上的点坐标求出反比例函数的系数，确定函数解析式，再代入的值求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 图象经过点，即当时，， ∴， ∴与的函数关系式为， 当时，， 故的值为 2.5． 15. 已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ， ， 解得：． 故答案为：6． 16. 如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】如图：连接，则，由切线的性质可得，结合可证明可得，同理可得：；再结合，最后运用等量代换以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵分别切于A、C两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 【答案】 ①. 是 ②. 或 【解析】 【分析】先求解第一个方程得到两根，根据“邻根方程”定义判断，再对第二个一元二次方程求解得到两根，根据定义列方程计算的值． 【详解】解：解方程，因式分解得， 解得，， ，满足一个根比另一个根大，符合“邻根方程”定义， 方程是“邻根方程”。 对一元二次方程因式分解得：， 或， 解得或， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 三、解答（共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 分解因式得 ∴或 解得：， 【小问2详解】 解： ∴，， ∴ ∴ 解得：， 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 因式分解得 则或 解得，； 【小问2详解】 解： 因式分解得 整理得 则或 解得，． 21. 已知直线与双曲线都经过点，． （1）求m与a的值； （2）求直线的表达式； （3）直接写出不等式的解集为 ． 【答案】（1） ， （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）先将点代入求出m的值，再把代入反比例函数表达式求解即可； （2）将点，代入，解方程组求出，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入，则， ∴双曲线表达式为， 将点代入，则； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 将，代入，得， 解得， ∴直线表达式为； 【小问3详解】 解：函数图象如下： 当时，或． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，. ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ . ∴ ， ∴ . 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系列不等式求解； （2）根据根与系数的关系结合已知两根的数量关系推导证明. 【小问1详解】 解： ∵ 一元二次方程  有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， 解得 . 【小问2详解】 略 23. 如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）通过圆心角定理的推论得出，再证明，进而即可得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，进而即可得到答案 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 24. 已知：在中，，． （1）画出的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） （2）若的外接圆的圆心O到边的距离为6，，则扇形的面积为 ．（请在备用图上分析） 【答案】（1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）作和的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可； （２）连接，，过作于点，由垂径定理得，由勾股定理得，由圆周角定理得，再用扇形面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，过作于点，如图， ∴， 在中，，， ， ∴的半径， ∵， ∴ ∴． 25. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点P． （1）求证 （2）已知图中阴影部分面积为，求弦的长． 【答案】（1） 证明:连接． ∵大圆的弦与小圆相切于点P ∴ ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到,再利用垂径定理即可得到答案，熟练掌握切线的性质定理和垂径定理是解题的关键； （2）连接．根据及得到得到，即可得到答案．熟练掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 连接． ∵ ∴ ． ∵ ∴ ， 26. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准； （2）20或30 【解析】 【分析】（1）将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，即可求解； （2）根据题意列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：停车场内车道宽度均为x米，将停车位拼合后，形成长为米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∵， ∴车道宽度符合标准； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：当每个车位的月租金上涨20元或30元时，该区域停车场的月租金收入为10120元． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． （1）如果，且，求点的坐标； （2）求证：点在直线上； （3）如果，求证：． 【答案】（1） （2）根据题意设点坐标为，点坐标为， ∵矩形， ∴坐标为，点坐标为， 设直线的函数表达式为，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴点在直线上 （3）连接交于点， ∵矩形 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长交x轴于点G，根据题意得出轴，轴，确定轴，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，设点坐标为，它在反比例函数图像上，代入函数解析式求解即可； （2）根据题意设点坐标为，点坐标为，得出坐标为，点坐标为，设直线的函数表达式为，确定直线的函数表达式为，将点B代入即可判断； （3）连接交于点，根据矩形的性质得出，确定，，再由等边对等角得出，，利用三角形外角的性质及等量代换得出，再由平行线的性质结合图形即可证明． 【小问1详解】 解：延长交x轴于点G，如图所示： ∵将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形， ∴轴，轴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， 设点坐标为，它在反比例函数图像上， ∴， 解得（负数舍去）， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 28. 定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； （2）当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； （3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）理解新定义，按照新定义的要求求出距离； （2）按照新定义的要求，得出求出即可． （3）如图3所示，当点B落在上时，m的取值范围为：当，显然线段与线段的距离等于半径，即；当时，作轴于点N，线段与线段的距离等于长． 【小问1详解】 解：当，时，，，如图1， ∴轴， ∴线段与线段的距离等于平行线之间的距离，即为2； 【小问2详解】 解：当，时，B点坐标为，，线段与线段的距离，即为线段的长， 过点B作轴于点N，则，，如图2， 在中，由勾股定理得：； 【小问3详解】 解：如图3所示， 当点B落在上时，m的取值范围为：： 当，显然线段与线段的距离等于半径，即； 当时，作轴于点N，线段与线段的距离等于长， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得： 故． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学限时练习卷 （满分150分，时间120分钟） 一、选择（3分×10=30分） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 2. 点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 60° D. 65° 7. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 9. 设反比例函数（k为常数，）．已知当时，y的最大值为，则当时，y的最大值为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 10. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 18 B. C. D. 二、填空（3分×8=24分） 11. 已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 12. 方程的解是__________． 13. 已知反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值_________． 14. 一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 15. 已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为______． 16. 如图所示，P是外一点，分别切于A、B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于D、E．若的周长为12，则的长为____________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 18. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 三、解答（共96分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 已知直线与双曲线都经过点，． （1）求m与a的值； （2）求直线的表达式； （3）直接写出不等式的解集为 ． 22. 关于的一元二次方程． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果，是这个方程的两个根，且，求证：． 23. 如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 已知：在中，，． （1）画出的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） （2）若的外接圆的圆心O到边的距离为6，，则扇形的面积为 ．（请在备用图上分析） 25. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点P． （1）求证 （2）已知图中阴影部分面积为，求弦的长． 26. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了"通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【问题解决】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10120元？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数图像上，将点先向下平移至点，再向右平移至图像上另外一点，以、为一组邻边作矩形，连接、，点在轴正半轴上． （1）如果，且，求点的坐标； （2）求证：点在直线上； （3）如果，求证：． 28. 定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； （2）当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； （3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $