3.1圆与椭圆培优综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆与椭圆培优综合训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为，即，所以圆与圆的位置关系是相交.故选：B 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线；A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误；C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误；B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离，两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 3.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 【详解】对于椭圆C：，，，，对于A，当位于椭圆的上、下顶点时，的面积最大，所以的面积最大值为，故A错误； 对于B，设，则，在中，， 即，解得或，根据对称性，不妨设，则，，，又，所以，解得，故B正确；对于C，以为直径的圆方程为，若存在点，使得，则点在以线段为直径的圆上，联立，方程组无解，故不存在点，使得，故C错误；对于D，设点，，因为，所以，故D错误.故选：B 4.（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆，则由椭圆的定义可知，且，设外接圆的半径为,内切圆的半径为，则，得，所以，在中，由正弦定理有，即，即，所以，即，在中，由余弦定理有， 又，即，化简得，解得，所以的面积为．故选：A 5.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆，圆心为原点，半径.在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，切点为，连接，则，又，所以，即，则， 即，解得，故，所以，点的纵坐标的取值范围为.故选：A 6.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【详解】设，由得，因此.根据椭圆的定义，，，由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理，得，展开并化简： 因，两边除以得，由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形，由勾股定理，得，得，所以，因此离心率. 故选：B 7.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，解得，则， ,三点共线，设弦的中点为，连接，则，即， ∴，，，所以点E的轨迹方程为， 即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，则到的最小距离为，过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形是直角梯形，且R是的中点， 则是直角梯形的中位线，∴， 即，即， 所以的最小值为．故选：B 8.（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】 设，，， 所以，由，且在椭圆上，而在以为圆心，半径为1的圆上，对于椭圆，，，设， 则椭圆上点到直线：的距离， 的振幅为，， ，当时，取最大值， 所以边界上的点到直线：的距离的最大值．故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.选项A： 因为关于点的对称点是，所以圆关于点对称的圆的方程为：，即，故A正确；选项B： 因为圆心距无解，所以不存在，使得圆与圆内含，B错误.选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切，此时，所以公切线的长为，C正确； 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为，两式相减得公共弦所在直线方程为， 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2），此时直线过圆心， 代入得，解得.验证圆心距，满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确.故选：ACD 10.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 【详解】由已知得：球直径，太阳光线与地面夹角为，影子为椭圆， 为椭圆长轴，球心到地面距离，由平行投影得：椭圆长半轴 ，短半轴 ， 则焦半距：，选项A：椭圆长轴长 ，A错误；选项B：离心率，B正确；选项C：为椭圆中心，，，，则，所以， 点在长轴上，到椭圆中心距离等于半焦距，故是椭圆一个焦点，C正确；选项D：设的内切圆半径为，所以，化简：，所以椭圆上点纵坐标最大值 ，代入得： ，D正确..故选：BCD 11.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（    ） A． B．的最小值为5 C． D．四边形的面积的取值范围为 【详解】联立，得，则两条曲线在轴上方的两个交点为和. 设直线，联立消去得， 因为直线与椭圆相切，所以，又，得， 化简得，所以，即直线.对于A，因为，，，直线的斜率，直线的斜率， ；错误；对于B，联立，得或，不妨设，，则，同理，则，因为在椭圆上，，即 所以，由于，所以，即，又，所以， 则，，所以；当时，取等号；正确；对于C，因为平行轴，所以，对于有一个顶点在原点的三角形，另外两点分别是，，有如下面积公式：， 对于，，，，则，同理，所以；正确；对于D，，且，在曲线上，到的距离，，所以，总面积.正确.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 【详解】因为，所以，所以，，所以椭圆方程为，设，联立直线与椭圆方程得，消去y得，所以，由，得，由弦长公式得：，所以解得，满足，所以. 13.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【详解】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆，设存在点对于圆上任意一点都满足，，则点到点的距离为点到点的距离的两倍，点到点的距离为点到点的距离的两倍，， 对圆上的点任意一点，都有相似三角形关系（两边成比例，共角），因此则圆上的点满足: ，所以，因为， 所以. 14.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点，在直线上，顶点，在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围为________. 【详解】因为菱形有一个内角为，所以或为等边三角形，不妨设为等边三角形，如图： 动圆，其圆心为，半径为， 圆心为到直线的距离为，因为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，设，则直线与的距离， 又圆心到直线的距离为，故，因为为等边三角形，所以点到的距离为，因为在直线上，所以点到的距离等于直线与的距离，即，即，因为，所以，或，又，而函数在区间、区间内分别单调递减，当时，，当时，，当时，，则或故菱形的面积的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 【详解】（1）设，，则，所以，， 又，所以，即解得. 又点在圆上，所以，即，故动点的轨迹的方程为． （2）由题可设，，．联立，消去整理得， ，即，所以，， ，    令，则， 所以.当且仅当，即时，等号成立.故面积的最大值为. 16.（满分15分） （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）设线段的中点为，则，代入中得，即，故曲线的方程为； （2）设，，则，则，， 则，令，则，即，得，则，设，则，得或，则或； （3）存在，或，设，，， 因为，所以， 则，因为点是曲线上任意一点，所以，得或，即或 17.（满分15分） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为，所以，解得， 所以，椭圆的方程为； （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得，由韦达定理得，若点为线段的中点，此时，解得，将代入判别式，满足题意；所以，直线的方程为，即； （3）斜率不存在的情况：直线，代入椭圆得交点，此时，原点在以为直径的圆外，不符合条件；所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立方程，整理得 所以，因为原点在以为直径的圆内，所以，     整理得：进一步整理得：，解得综上，直线斜率的取值范围为. 18.（满分17分） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． （1）求点的轨迹方程； （2）已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将圆的方程配方得：，所以圆的圆心为，半径，设点的坐标为，因为点在圆外，所以，连接并延长交圆于两点，如图所示， 则的最大值为，最小值为 。由题意知，即，解得，由两点间距离公式得，两边平方得：故点的轨迹方程为. （2）（i）由（1）知，圆的“伴生点”轨迹方程为，对于圆，其圆心为，半径，设点为圆的“伴生点”，则点到圆心的距离 满足，代入的值，，所以圆的“伴生点”轨迹方程为：，因为均为圆“ ”的“共生点”，所以是方程 ① 和 ② 表示的两个圆的交点，两式相减得，展开并化简，得，故直线的方程为； （ii）设直线过点，斜率存在且不为，设轴上的定点为，如图所示， 联立直线与的轨迹方程，即，消去得， 整理得，解得，对应的，不妨设，线段的中点为原点，且，所以圆的圆心为，半径，方程为，假设存在定点 满足条件，设直线的方程为，联立，消去得，整理得，设，则是上述方程的两根，恒成立，由韦达定理得，，此时 ，令，解得或或，当时，取定值；当时，取定值；当时，取定值；综上所述，当点的坐标为时，取定值；当点的坐标为时，取定值；当点的坐标为时，取定值. 19.（满分17分） （26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，圆，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段MF的垂直平分线和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：直线l过定点； （ⅱ）若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）易知，所以点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且长轴长，焦距，则，故曲线C方程为； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，联立，消去x并整理得，此时，由韦达定理得， 所以， 则，整理得，解得或，当时，直线方程为，此时直线过点，不符合题意；当时，直线方程为， 此时直线过定点，综上所述，直线l过定点； （ⅱ）设，因为，，所以，因为点P在椭圆上，所以，故，所以，又，则， 同理得，因为，，由（ⅰ）知，，所以 ，可得，所以， 则，整理得， 解得或，又，所以，将代入曲线方程中，解得，即， 则存在满足题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆与椭圆培优综合训练 满分150分，用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆与圆的位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 2.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 3.（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知椭圆C：的左右两个焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大面积为3 B．若，则点的纵坐标为 C．存在点，使得 D．的取值范围为 4.（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上异于长轴端点的动点．若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点在直线上.若圆上存在两点，使得是等边三角形，则点的纵坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 7.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线恒过定点，圆上的两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，圆，下列说法正确的是（    ） A．圆关于点对称的圆的方程为： B．存在，使得圆与圆内含 C．若圆与圆恰有三条公切线，则其外公切线长度为 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 10.（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点．已知太阳光线与地面的夹角为，如图，球的一条直径，、为、在地面的影子，点在线段上，当时，篮球的影子为一椭圆，线段为椭圆的长轴，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的长轴长为 B．该椭圆的离心率为 C．恰好为椭圆的一个焦点 D．设、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则内切圆半径的最大值为 11.（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（    ） A． B．的最小值为5 C． D．四边形的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（26-27高三上·福建福州·阶段检测）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相交于，两点，，则________． 13.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 14.（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知直线，动圆，菱形的一个内角为，顶点，在直线上，顶点，在圆上.当变化时，菱形的面积的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）过圆上的动点向轴作垂线，垂足为，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且斜率不为的动直线与相交于，两点，点，求面积的最大值． 16.（满分15分） （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点，动点在圆上运动.设线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设点为直线上的一动点.过点作曲线的两条切线，切点为，若的面积为，求点的坐标； （3）点是曲线上任意一点，点，是否存在定点，使得恒为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 17.（满分15分） （26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于，两点，若原点总在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围. 18.（满分17分） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． （1）求点的轨迹方程； （2）已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 19.（满分17分） （26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，圆，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段MF的垂直平分线和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：直线l过定点； （ⅱ）若P在x轴上方，直线PE与圆E交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $