专题01 特殊平行四边形（知识&考点&公式&6高频&4易错&4重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

专题01 特殊平行四边形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 菱形的性质 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质定理： 1. 边：菱形的___________都相等 2. 对角线：菱形的对角线互相___________，并且每条对角线平分一组___________ 3. 对称性：菱形是___________图形，有___________条对称轴（对角线所在直线） 4. 共性：具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分） 菱形的面积公式： · 底 × 高（平行四边形面积公式） · 对角线乘积的一半：S =______________________，（菱形） 知识点02 菱形的判定 判定定理： 1. 定义法：一组___________相等的平行四边形是菱形 2. 对角线法：对角线互相___________的平行四边形是菱形 3. 四边法：四条边___________的四边形是菱形 判定思路： · 已知是平行四边形 → 证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 · 已知是任意四边形 → 证四条边都相等 知识点03 矩形的性质 定义：有一个角是___________的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质定理： 1. 角：矩形的四个角都是___________ 2. 对角线：矩形的___________相等 3. 对称性：矩形是___________图形，有2条对称轴（过对边中点的直线） 4. 共性：具有平行四边形的所有性质 直角三角形斜边中线定理： · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的___________ · 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 知识点04 矩形的判定 判定定理： 1. 定义法：有一个角是___________的平行四边形是矩形 2. 对角线法：对角线___________的平行四边形是矩形 3. 三角法：有三个角是___________的四边形是矩形 判定思路： · 已知是平行四边形 → 证一个角是直角 或 对角线相等 · 已知是任意四边形 → 证三个角是直角 知识点05 正方形的性质 定义：有一组邻边___________，并且有一个角是___________的平行四边形叫做正方形。 性质定理： 1. 边：四条边都相等，对边平行 2. 角：四个角都是直角 3. 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 4. 对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴 正方形用于菱形与矩形的所有性质 知识点06 正方形的判定 判定定理： 1. 从矩形出发： · 有一组邻边相等的___________是正方形 · 对角线互相垂直的___________是正方形 2. 从菱形出发： · 有一个角是直角的___________是正方形 · 对角线相等的___________是正方形 3. 从平行四边形出发： · 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 知识点07 三角形中位线定理 定义：连接三角形两边___________的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的___________。 符号语言： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 ∴ DE ∥ BC，DE = BC 注意： · 中位线 ≠ 中线（中位线是两边中点的连线，中线是顶点到对边中点的连线） · 一个三角形有3条中位线 知识点08 中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边___________所得的四边形，叫做中点四边形。 规律总结： 原四边形对角线关系 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 证明依据：三角形中位线定理 考点01 菱形的性质与计算 考查形式：已知菱形的边长或对角线长，求周长、面积、角度；利用菱形性质证明线段相等或垂直。 解题关键： · 菱形四边相等 → 周长 = 4 × ___________ · 对角线互相垂直 → 分成4个全等的直角三角形，用勾股定理计算 · 面积 = 对角线___________的一半 典型考法： · 菱形两条对角线长分别为6和8，求周长和面积 · 菱形一个内角为60°，边长为a，求较短对角线长 考点02 菱形的判定 考查形式：给出一个四边形，证明它是菱形；在平行四边形基础上添加条件证明是菱形。 解题思路： · 先证是平行四边形 → 再证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 · 或直接证四条边都相等 考点03 矩形的性质与计算 考查形式：已知矩形的边长或对角线，求角度、边长；利用矩形性质计算。 解题关键： · 矩形四个角都是直角 → 内含直角三角形，用___________定理 · 对角线相等且互相平分 → 对角线把矩形分成四个___________三角形 · 对角线交点到各顶点距离相等 典型考法： · 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，∠AOD=120°，AB=4，求对角线长 · 矩形ABCD中，AB=6，OA=4，求BD和AD 考点04 直角三角形斜边中线定理 考查形式：直角三角形中，已知斜边求中线；或已知中线求斜边；证明直角三角形。 解题关键： · 直角三角形斜边中线 = 斜边的___________ · 看到直角三角形 + 斜边中点 → 连中线，得___________三角形 考点05 矩形的判定 考查形式：证明一个四边形是矩形；在平行四边形基础上添加条件证明是矩形。 解题思路： · 先证是平行四边形 → 再证一个角是直角 或 对角线相等 · 或直接证三个角是直角 考点06 正方形的性质与判定 考查形式：正方形中线段、角度、面积的计算；证明一个四边形是正方形。 解题关键： · 正方形 = 菱形 + 矩形的所有性质 · 对角线与边的夹角是45° · 判定：先证是矩形再证邻边相等，或先证是菱形再证有直角 考点07 三角形中位线定理的应用 考查形式：已知三角形两边中点，求第三边长度；证明线段平行或倍分关系。 解题关键： · 见中点 → 想中位线 · 中位线平行于第三边且等于第三边的一半 考点08 中点四边形形状判断 考查形式：给出原四边形，判断中点四边形是什么形状；或反过来，已知中点四边形形状，判断原四边形对角线关系。 解题关键： · 中点四边形形状只与原四边形的对角线有关 · 对角线相等 → 中点四边形是菱形 · 对角线垂直 → 中点四边形是矩形 · 对角线相等且垂直 → 中点四边形是正方形 序号 公式/结论 说明 1 菱形周长 = 4 × 边长 四条边都相等 2 菱形面积 = 底 × 高 平行四边形面积公式 3 菱形面积 = 对角线乘积 ÷ 2 S = (AC × BD) / 2 4 矩形周长 = 2(长 + 宽) 5 矩形面积 = 长 × 宽 6 矩形对角线 = 勾股定理 7 直角三角形斜边中线 = 斜边 ÷ 2 8 正方形周长 = 4 × 边长 9 正方形面积 = 边长² = 对角线² ÷ 2 10 正方形对角线 = 边长 × √2 11 三角形中位线 = 第三边 ÷ 2 且平行于第三边 12 中点四边形形状由原四边形对角线决定 相等→菱形，垂直→矩形 辨析01 菱形与矩形的定义与性质辨析 对比项 菱形 矩形 定义 一组邻边相等的平行四边形 有一个角是直角的平行四边形 边的性质 四条边都相等 对边相等（邻边不一定等） 角的性质 对角相等（不一定是直角） 四个角都是直角 对角线 互相垂直，平分每组对角 相等，互相平分 对称轴 2条（对角线所在直线） 2条（过对边中点的直线） 相同点 都是平行四边形，对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 辨析02 菱形与矩形的判定辨析 判定路径 菱形 矩形 从平行四边形出发 一组邻边相等 / 对角线互相垂直 一个角是直角 / 对角线相等 从任意四边形出发 四条边相等 三个角是直角 关键词 边相等、对角线垂直 角是直角、对角线相等 易错：对角线相等的四边形不一定是矩形！必须是平行四边形 + 对角线相等才是矩形。 辨析03 正方形判定的两种路径 路径 条件 结论 从矩形出发 邻边相等 / 对角线垂直 正方形 从菱形出发 有一个角是直角 / 对角线相等 正方形 口诀：矩形找边或对角线垂直，菱形找角或对角线相等。 辨析04 中位线与中线的概念辨析 对比项 中位线 中线 连接的是 两边中点 顶点 + 对边中点 数量 3条 3条 性质 平行于第三边，等于第三边一半 把三角形面积平分 辨析05 中点四边形的概念辨析 原四边形 对角线关系 中点四边形 易错提醒 任意四边形 平行四边形 最基础的结论 平行四边形 互相平分 平行四边形 不是菱形！ 矩形 对角线相等 菱形 注意：原矩形→中点是菱形 菱形 对角线垂直 矩形 注意：原菱形→中点是矩形 正方形 相等且垂直 正方形 等腰梯形 对角线相等 菱形 易错：原四边形是矩形，中点四边形是菱形（不是矩形！）；原四边形是菱形，中点四边形是矩形（不是菱形！）。 辨析6 菱形面积公式的选择 已知条件 用哪个公式 知道边长和高 底 × 高 知道两条对角线 对角线乘积 ÷ 2 知道边长和一个内角 边长² × sinθ 易错：不要和矩形面积公式混淆！菱形面积 = 对角线乘积的一半，不是乘积。 【题型一】菱形的性质与计算 【例1-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在菱形中，E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【变式1-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型二】矩形的性质与计算 【例2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【例2-2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么的长度等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】正方形的性质与计算 【例3-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接．若，则的长度为_____． 【变式3-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点E在正方形的边上，，点F为正方形所在平面内一点，连接，下列结论：①连接，则；②连接，则的最小值为；③的最大值为6；④当点F在上时，四边形面积为7；其中结论正确的序号有______． 【题型四】菱形的判定 【例4-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【例4-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【变式4-2】（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，当对角线满足什么条件时四边形为菱形．（不需要说明理由） 【题型五】矩形的判定 【例5-1】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【例5-2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【变式5-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知，中，，作，平行于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 【变式5-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 【题型六】正方形的判定 【例6-1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【例6-2】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【变式6-1】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，D是的边的中点，，，垂足分别为点E，F，且．求证： (1)； (2)当时，四边形是正方形． 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知：如图，四边形是矩形，，M是的中点，N是矩形外一点，且，．求证：四边形是正方形． 【题型一】直角三角形斜边中线等于斜边一半 【例1】（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为48，则的长为______． 易错警示 · 定理双向都成立：直角三角形→斜边中线=斜边一半；中线=对应边一半→该三角形为直角三角形 · 使用前必须确认：该三角形是直角三角形，且这条边是斜边 · 斜边中线把原三角形分成两个等腰三角形 · 斜边中线 = 斜边一半 = R（外接圆半径） · 斜边上的高 = 两直角边乘积 ÷ 斜边，一般不等于斜边一半 · 只有等腰直角三角形中，中线和高才重合 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为24，则的长为_________． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为_____ 【题型二】菱形的判定与性质综合 【例2】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 易错警示 · 判定菱形的三条路： ① 平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形 ② 平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形 ③ 四条边都相等的四边形 → 菱形 · 对角线互相垂直不一定是菱形，必须再加"平行四边形"前提 · 菱形对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 · 菱形对角线不相等（相等就是正方形了） · 菱形面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 【变式2-1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为40，，求菱形的面积． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于两点，作直线，分别交于点．在上取点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式2-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型三】矩形的判定与性质综合 【例3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 易错警示 · 判定矩形的三条路： ① 平行四边形 + 一个角是直角 → 矩形 ② 平行四边形 + 对角线相等 → 矩形 ③ 三个角是直角的四边形 → 矩形 · 对角线相等不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等 · 矩形对角线：相等且互相平分，不垂直 · 矩形对角线不平分对角（平分对角就是菱形/正方形了） · 矩形四个角都是直角，对边平行且相等 【变式3-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，中，D，E分别为的中点，于点F，点G在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点F，线段与有怎样的关系？请说明理由． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【题型四】正方形的判定与性质综合 【例2】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 易错警示 · 正方形 = 菱形 + 矩形，必须同时满足两者特征 · 判定路径： ① 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 → 正方形 ② 菱形 + 一个角是直角 → 正方形 ③ 矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 · 对角线：相等、垂直、平分，三者缺一不可 · 正方形 = 特殊菱形 + 特殊矩形，所有菱形和矩形的性质它都有 · 对角线：相等 + 垂直 + 平分对角 + 互相平分 · 面积 = 边长² = 对角线乘积的一半 【变式2-1】（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 【题型一】动点问题中的特殊四边形存在性问题 【例1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图，从运动开始，当t为何值时，； (2)如图，从运动开始，当t为何值时，； (3)如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． (1)___________，___________．（用含的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)如图2，将沿翻折，得，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值，并求出此时菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【题型二】特殊四边形与折叠问题 【例2-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【例2-2】（25-26九年级上·山东东营·期中）问题探究： 老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论．如图，在边长为m的正方形中，点E，F分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处． (1)【问题解决】 小明同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长m为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，请直接写出的最小值． 【变式2-1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． (1)【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 【题型三】中点四边形问题 【例3-1】25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【例3-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，我们把依次连接任意四边形各边中点所得四边形叫中点四边形． (1)若四边形是菱形，则它的中点四边形一定是 ； A．菱形   B．矩形   C．正方形   D．梯形 (2)若四边形的面积为，中点四边形的面积记为，则与的数量关系是＝ ； (3)在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形． 【题型四】四边形中的线段最值问题 【例4-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 【例4-2】（25-26九年级上·广西河池·期中）综合与实践 (1)如图，已知正方形，点在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的数量关系为________，位置关系为________． (2)如图，若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、 ①请判断线段和有怎样的关系，并说明理由； ②连接，若，求长． (3)在（2）的条件下，点在边上运动时，则的最小值为________（直接写答案） 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且． (1)如图，若，则的度数为________； (2)如图，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为________． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【题型一】菱形60°角等边三角形模型 【模型解读】 当菱形有一个内角是 时，较短的对角线把菱形分成两个等边三角形。因为菱形四条边相等， 的等腰三角形就是等边三角形。这个模型在菱形角度和边长计算中非常常见。 【结论】 已知：菱形 中， 则： - ① 连接 是等边三角形 - ② 较短对角线 （等于边长） - ③ 较长对角线 - ④ 菱形面积 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）在菱形中，，则菱形的面积为（     ） A． B． C．4 D． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，两条等宽的长方形纸条倾斜地重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（     ）． A． B． C．4 D． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（P为的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D．24 【题型二】直角三角形斜边中线模型 【模型解读】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。看到直角三角形 + 斜边中点，就要想到连中线，得到等腰三角形。这个模型在矩形、菱形、正方形的计算中经常用到，因为这些图形里藏着很多直角三角形。 【结论】 已知：，， 是 中点 则： 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 使用场景： - 矩形对角线交点 四个等腰三角形 - 菱形对角线交点 四个直角三角形 - 折叠问题中 找斜边中点连中线 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，点分别是的中点，连接．，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【题型三】矩形折叠问题模型 【模型解读】 矩形折叠是中考高频题型。折叠前后对应边相等、对应角相等，本质是轴对称。折叠后会产生新的直角三角形，通常用勾股定理列方程求解。 【结论】 折叠问题三要素： - ① 折叠前后对应边相等（找等量关系） - ② 折叠前后对应角相等（找角度关系） - ③ 折叠后隐藏直角三角形（用勾股定理列方程） 常用设元： 设某段未知边长为 ，用 表示直角三角形的三边 勾股定理列方程 解方程求 。 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点与点重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为________． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，将沿翻折至，若的延长线经过点C，则的长为___________． 【题型四】正方形对角线45°角模型 【模型解读】 正方形的对角线与边的夹角是 ，所以正方形里藏着很多等腰直角三角形。对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小等腰直角三角形。 【结论】 已知：正方形 则： - ① 对角线 与边 的夹角 - ② 是等腰直角三角形 - ③ 两条对角线把正方形分成 个全等的小等腰直角三角形 - ④ 小三角形直角边 对角线的一半 - ⑤ 正方形面积 【例4】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在正方形中，连接，E，F是边，上的点．已知E是的中点，． （1）的长为________． （2）若，则的长为________． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型五】中点四边形形状判断模型 【模型解读】 任意四边形的中点四边形形状，只由原四边形的对角线决定。记住规律：原四边形对角线垂直，中点四边形就是矩形；原四边形对角线相等，中点四边形就是菱形；两者都满足就是正方形。 【结论】 原四边形对角线 中点四边形形状 推导依据 任意（既不相等也不垂直） 平行四边形 中位线平行且等于第三边一半 对角线相等 菱形 中位线都等于对角线一半 邻边相等 对角线互相垂直 矩形 中位线分别平行于两条对角线 邻边垂直 对角线相等且垂直 正方形 既是菱形又是矩形 记忆口诀： 垂直出矩形，相等出菱形，既垂又等出正方形 常见原四边形对应： - 平行四边形 中点四边形是平行四边形 - 矩形 对角线相等 中点四边形是菱形 - 菱形 对角线垂直 中点四边形是矩形 - 正方形 中点四边形是正方形 - 等腰梯形 对角线相等 中点四边形是菱形 【例5】（25-26八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形           B．矩形              C．菱形                D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：      反思交流： (1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ；依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： (2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； (3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【题型六】动点问题中的特殊平行四边形模型 【模型解读】 动点问题是本章压轴题型。一个点或两个点在边上运动，问何时图形是菱形、矩形或正方形。解题关键是抓住特殊平行四边形的判定条件，把它转化为方程求解。 【结论】 解题四步法： - ① 设时间为 ，用 表示各线段长度 - ② 找出动点运动过程中的不变量 - ③ 抓住目标图形的判定条件，列方程 - ④ 解方程，检验解是否在取值范围内 常见转化： - 何时是菱形？ 邻边相等列方程 - 何时是矩形？ 一个角是直角列方程（用勾股定理逆定理） - 何时是正方形？ 既是菱形又是矩形，两个条件同时满足 【例6】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)______________；______________（用含的代数式表示）； (2)当四边形为矩形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． (1)如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； (3)如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 【变式6-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题． (1)______________．（用含的代数式表示） (2)当点停止运动时，的长度为______________． (3)当四边形为矩形时，求此时的值． (4)当时，直接写出此时的值． 技巧 一句话要点 菱形边长计算——"对角线半值勾股法" 两条对角线先取一半，再用勾股定理求边长；菱形对角线互相垂直平分。 菱形面积速算——"对角线乘积一半法" 已知两条对角线直接相乘再除以2，不用算底和高。 菱形60°角速算——"等边三角形法" 有60°角的菱形，短对角线等于边长，长对角线等于边长乘√3。 矩形对角线计算——"等腰三角形法" 矩形对角线相等且平分，交点到四顶点距离相等；夹角60°时短边等于对角线一半。 直角三角形求中线——"斜边一半法" 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反过来中线等于边一半就是直角三角形。 矩形折叠问题——"折叠勾股方程法" 折叠前后对应边相等，找隐藏直角三角形，设未知数列勾股方程求解。 正方形对角线计算——"边长乘法" 正方形对角线 = 边长 ×；已知对角线求边长就除以。 正方形面积速算——"对角线平方一半法" 正方形面积 = 对角线² ÷ 2，不用算边长。 正方形判定——"两步判定法" 先证是矩形再证邻边相等，或先证是菱形再证有直角，两步走就是正方形。 中点四边形形状——"对角线决定法" 原四边形对角线垂直→中点是矩形；对角线相等→中点是菱形；都满足就是正方形。 三角形中位线求长——"中点连线法" 见两个中点连起来，就是中位线，平行于第三边且等于第三边的一半。 菱形判定——"垂直邻边法" 已知平行四边形，证对角线垂直或一组邻边相等；已知任意四边形，证四条边相等。 矩形判定——"直角等角法" 已知平行四边形，证一个直角或对角线相等；已知任意四边形，证三个角是直角。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊平行四边形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 菱形的性质 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 性质定理： 1. 边：菱形的四条边都相等 2. 对角线：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 3. 对称性：菱形是轴对称图形，有2条对称轴（对角线所在直线） 4. 共性：具有平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分） 菱形的面积公式： · 底 × 高（平行四边形面积公式） · 对角线乘积的一半：S =，（菱形） 知识点02 菱形的判定 判定定理： 1. 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3. 四边法：四条边相等的四边形是菱形 判定思路： · 已知是平行四边形 → 证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 · 已知是任意四边形 → 证四条边都相等 知识点03 矩形的性质 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。 性质定理： 1. 角：矩形的四个角都是直角 2. 对角线：矩形的对角线相等 3. 对称性：矩形是轴对称图形，有2条对称轴（过对边中点的直线） 4. 共性：具有平行四边形的所有性质 直角三角形斜边中线定理： · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 · 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 知识点04 矩形的判定 判定定理： 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2. 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形 3. 三角法：有三个角是直角的四边形是矩形 判定思路： · 已知是平行四边形 → 证一个角是直角 或 对角线相等 · 已知是任意四边形 → 证三个角是直角 知识点05 正方形的性质 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质定理： 1. 边：四条边都相等，对边平行 2. 角：四个角都是直角 3. 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角 4. 对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴 正方形用于菱形与矩形的所有性质 知识点06 正方形的判定 判定定理： 1. 从矩形出发： · 有一组邻边相等的矩形是正方形 · 对角线互相垂直的矩形是正方形 2. 从菱形出发： · 有一个角是直角的菱形是正方形 · 对角线相等的菱形是正方形 3. 从平行四边形出发： · 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 知识点07 三角形中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 符号语言： ∵ D、E分别是AB、AC的中点 ∴ DE ∥ BC，DE = BC 注意： · 中位线 ≠ 中线（中位线是两边中点的连线，中线是顶点到对边中点的连线） · 一个三角形有3条中位线 知识点08 中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形。 规律总结： 原四边形对角线关系 中点四边形形状 任意四边形 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线互相垂直 矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 证明依据：三角形中位线定理 考点01 菱形的性质与计算 考查形式：已知菱形的边长或对角线长，求周长、面积、角度；利用菱形性质证明线段相等或垂直。 解题关键： · 菱形四边相等 → 周长 = 4 × 边长 · 对角线互相垂直 → 分成4个全等的直角三角形，用勾股定理计算 · 面积 = 对角线乘积的一半 典型考法： · 菱形两条对角线长分别为6和8，求周长和面积 · 菱形一个内角为60°，边长为a，求较短对角线长 考点02 菱形的判定 考查形式：给出一个四边形，证明它是菱形；在平行四边形基础上添加条件证明是菱形。 解题思路： · 先证是平行四边形 → 再证一组邻边相等 或 对角线互相垂直 · 或直接证四条边都相等 考点03 矩形的性质与计算 考查形式：已知矩形的边长或对角线，求角度、边长；利用矩形性质计算。 解题关键： · 矩形四个角都是直角 → 内含直角三角形，用勾股定理 · 对角线相等且互相平分 → 对角线把矩形分成四个等腰三角形 · 对角线交点到各顶点距离相等 典型考法： · 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，∠AOD=120°，AB=4，求对角线长 · 矩形ABCD中，AB=6，OA=4，求BD和AD 考点04 直角三角形斜边中线定理 考查形式：直角三角形中，已知斜边求中线；或已知中线求斜边；证明直角三角形。 解题关键： · 直角三角形斜边中线 = 斜边的一半 · 看到直角三角形 + 斜边中点 → 连中线，得等腰三角形 考点05 矩形的判定 考查形式：证明一个四边形是矩形；在平行四边形基础上添加条件证明是矩形。 解题思路： · 先证是平行四边形 → 再证一个角是直角 或 对角线相等 · 或直接证三个角是直角 考点06 正方形的性质与判定 考查形式：正方形中线段、角度、面积的计算；证明一个四边形是正方形。 解题关键： · 正方形 = 菱形 + 矩形的所有性质 · 对角线与边的夹角是45° · 判定：先证是矩形再证邻边相等，或先证是菱形再证有直角 考点07 三角形中位线定理的应用 考查形式：已知三角形两边中点，求第三边长度；证明线段平行或倍分关系。 解题关键： · 见中点 → 想中位线 · 中位线平行于第三边且等于第三边的一半 考点08 中点四边形形状判断 考查形式：给出原四边形，判断中点四边形是什么形状；或反过来，已知中点四边形形状，判断原四边形对角线关系。 解题关键： · 中点四边形形状只与原四边形的对角线有关 · 对角线相等 → 中点四边形是菱形 · 对角线垂直 → 中点四边形是矩形 · 对角线相等且垂直 → 中点四边形是正方形 序号 公式/结论 说明 1 菱形周长 = 4 × 边长 四条边都相等 2 菱形面积 = 底 × 高 平行四边形面积公式 3 菱形面积 = 对角线乘积 ÷ 2 S = (AC × BD) / 2 4 矩形周长 = 2(长 + 宽) 5 矩形面积 = 长 × 宽 6 矩形对角线 = 勾股定理 7 直角三角形斜边中线 = 斜边 ÷ 2 8 正方形周长 = 4 × 边长 9 正方形面积 = 边长² = 对角线² ÷ 2 10 正方形对角线 = 边长 × √2 11 三角形中位线 = 第三边 ÷ 2 且平行于第三边 12 中点四边形形状由原四边形对角线决定 相等→菱形，垂直→矩形 辨析01 菱形与矩形的定义与性质辨析 对比项 菱形 矩形 定义 一组邻边相等的平行四边形 有一个角是直角的平行四边形 边的性质 四条边都相等 对边相等（邻边不一定等） 角的性质 对角相等（不一定是直角） 四个角都是直角 对角线 互相垂直，平分每组对角 相等，互相平分 对称轴 2条（对角线所在直线） 2条（过对边中点的直线） 相同点 都是平行四边形，对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 辨析02 菱形与矩形的判定辨析 判定路径 菱形 矩形 从平行四边形出发 一组邻边相等 / 对角线互相垂直 一个角是直角 / 对角线相等 从任意四边形出发 四条边相等 三个角是直角 关键词 边相等、对角线垂直 角是直角、对角线相等 易错：对角线相等的四边形不一定是矩形！必须是平行四边形 + 对角线相等才是矩形。 辨析03 正方形判定的两种路径 路径 条件 结论 从矩形出发 邻边相等 / 对角线垂直 正方形 从菱形出发 有一个角是直角 / 对角线相等 正方形 口诀：矩形找边或对角线垂直，菱形找角或对角线相等。 辨析04 中位线与中线的概念辨析 对比项 中位线 中线 连接的是 两边中点 顶点 + 对边中点 数量 3条 3条 性质 平行于第三边，等于第三边一半 把三角形面积平分 辨析05 中点四边形的概念辨析 原四边形 对角线关系 中点四边形 易错提醒 任意四边形 平行四边形 最基础的结论 平行四边形 互相平分 平行四边形 不是菱形！ 矩形 对角线相等 菱形 注意：原矩形→中点是菱形 菱形 对角线垂直 矩形 注意：原菱形→中点是矩形 正方形 相等且垂直 正方形 等腰梯形 对角线相等 菱形 易错：原四边形是矩形，中点四边形是菱形（不是矩形！）；原四边形是菱形，中点四边形是矩形（不是菱形！）。 辨析6 菱形面积公式的选择 已知条件 用哪个公式 知道边长和高 底 × 高 知道两条对角线 对角线乘积 ÷ 2 知道边长和一个内角 边长² × sinθ 易错：不要和矩形面积公式混淆！菱形面积 = 对角线乘积的一半，不是乘积。 【题型一】菱形的性质与计算 【例1-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，在菱形中，E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例1-2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接，交轴于点，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的性质可得，，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 【题型二】矩形的性质与计算 【例2-1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形得到，，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点O， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【例2-2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在矩形中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用；连接，过点作，由作图可知，是的垂直平分线，可得，四边形是矩形，可得，四边形是矩形，可得，，设，则，在中利用勾股定理即可求出，最后在中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：连接，过点作， 由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么的长度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，可知旋转中心为点，旋转角，，根据对应点到旋转中心的距离相等可知，，先在中用勾股定理求，再在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵将矩形绕点顺时针旋转后，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 【题型三】正方形的性质与计算 【例3-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出是解答的关键． 由旋转性质得，再根据全等三角形的性质得到，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 故选：B． 【例3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）正方形与正方形的面积分别为和，顶点在同一直线上，点在边上，连接交于点，则四边形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质得，，，即得，进而由可得，再根据四边形面积解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的面积分别为和， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴四边形面积， 故选：． 【变式3-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，旋转性质，由四边形是正方形，得，又绕点顺时针旋转得到，所以，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点E在正方形的边上，，点F为正方形所在平面内一点，连接，下列结论：①连接，则；②连接，则的最小值为；③的最大值为6；④当点F在上时，四边形面积为7；其中结论正确的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解决此题的关键是合理运用隐圆的存在； ①根据正方形的性质得到线段相等和直角，再根据勾股定理即可得到答案； ②先根据圆外一点到圆上最短距离确定点F的位置，再根据勾股定理得到线段的长度即可； ③先根据圆外一点到圆上最长距离确定点F的位置，再根据勾股定理得到线段的长度即可； ④先根据正方形的性质和等腰三角形的性质得到直角梯形，进而计算出面积可得； 【详解】解：①在正方形中，， ∵ ∴ ∵， ∴， 在中， ， 故①正确； ②如图， ∵点F为正方形所在平面内一点，， ∴点F在以点E为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点在同一条直线上时，最短， 在中，， ∴最短， 故②正确； ③如图； 由②中过程可知，当三点在同一条直线上时，最长， ∴最长， 故③正确； ④如图， 在正方形中，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为 故④错误； 综上可知：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③． 【题型四】菱形的判定 【例4-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∴菱形的面积为． 【例4-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 【变式4-2】（25-26九年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，当对角线满足什么条件时四边形为菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1) 证明：在平行四边形中，，， ， 又， ， (2)当时，四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定． （1）根据平行四边形的性质得到，，推出，利用证明即可； （2）当时，四边形是菱形．证明得出，，得到四边形是平行四边形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）解：当时，四边形是菱形，理由： ， ，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，即， ∴四边形是菱形． 【题型五】矩形的判定 【例5-1】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，在四边形中，，．对角线、相交于点O，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形ABCD是矩形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线相等即可得出平行四边形是矩形． （2）先利用矩形的性质得出，，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质求得，从而可求得四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，， 则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了是矩形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【例5-2】（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】略 【变式5-1】（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知，中，，作，平行于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． （1）证明，根据平行四边形的定义即可得证； （2）根据，，得到四边形是平行四边形，再由即可得证四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，对角线与相交于点O，过点O作一条直线分别交，于点E、F． (1)求证：； (2)已知，连结，．求证：四边形为矩形． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【题型六】正方形的判定 【例6-1】（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在和中，，，，为边上一点． (1)求证： (2)若点是的中点，求证：四边形是正方形． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ； (2) 证明：中，D是中点的，， ， 又， ， 四边形是菱形． 又， 四边形是正方形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质： （1）只需要证明，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 【例6-2】（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】略 【变式6-1】（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，D是的边的中点，，，垂足分别为点E，F，且．求证： (1)； (2)当时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明：，， ． 是的中点， ． ， ． (2)证明，， ． ， ∴四边形是矩形． 由（1）得， ， ∴矩形是正方形． 【分析】（1）利用证明即可． （2）先证明四边形是矩形，由全等三角形的性质得出，即可得出矩形是正方形． 【详解】（1）略； （2）略； 【变式6-2】（25-26九年级上·湖北十堰·期中）已知：如图，四边形是矩形，，M是的中点，N是矩形外一点，且，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明： ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ， M是的中点， 又，， 、都是等腰直角三角形 是菱形 又是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 四边形是正方形． 【分析】根据已知条件先证明四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），再证明四边形是菱形，最后证明四边形有一个内角是直角，根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）得出证明． 【详解】略 【题型一】直角三角形斜边中线等于斜边一半 【例1】（25-26九年级上·山东枣庄·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为48，则的长为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵菱形的面积为48， ∴， ，， ． 易错警示 · 定理双向都成立：直角三角形→斜边中线=斜边一半；中线=对应边一半→该三角形为直角三角形 · 使用前必须确认：该三角形是直角三角形，且这条边是斜边 · 斜边中线把原三角形分成两个等腰三角形 · 斜边中线 = 斜边一半 = R（外接圆半径） · 斜边上的高 = 两直角边乘积 ÷ 斜边，一般不等于斜边一半 · 只有等腰直角三角形中，中线和高才重合 【变式1-1】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为24，则的长为_________． 【答案】5 【分析】首先根据菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，可得，进而可得，结合菱形的面积公式解得的长度，进而可得，然后在中，由勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵菱形的面积为24，即， ∴，解得， ∴， ∴在中，． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，D是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】5 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，D是的中点，， ， 根据勾股定理可得． 【变式1-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为_____ 【答案】/ 【分析】先根据中位线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴． 【题型二】菱形的判定与性质综合 【例2】（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，对角线交于点O，点E是的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，即点是中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， 又， ， 平行四边形是菱形； (2)的长为 【分析】（1）平行四边形对角线互相平分，得到是中点；为中点，所以是的中位线，结合已知条件，可推出平行四边形一组邻边相等，依据菱形判定定理完成证明； （2）由四边形为菱形，菱形对角线互相垂直且平分，利用三角形中位线求出长，在直角三角形中用勾股定理求出，再求得即可； 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 是中位线，， 在中， ， ， 答：的长为． 易错警示 · 判定菱形的三条路： ① 平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形 ② 平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形 ③ 四条边都相等的四边形 → 菱形 · 对角线互相垂直不一定是菱形，必须再加"平行四边形"前提 · 菱形对角线：互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 · 菱形对角线不相等（相等就是正方形了） · 菱形面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 【变式2-1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为40，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； (2)96 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然后由菱形面积计算公式得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为40， ， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于两点，作直线，分别交于点．在上取点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：由题意，得是线段的垂直平分线， ∴，． 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由题意，得是线段的垂直平分线，可知，，根据可证四边形是菱形； （2）计算，设，则，，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴． 【变式2-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2)48 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 【题型三】矩形的判定与性质综合 【例3】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，菱形中，对角线交于点O，点F是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：点F是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据直角三角形的性质和勾股定理求解，然后求解菱形的对角线长，再由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ∴ ， 四边形的面积为． 易错警示 · 判定矩形的三条路： ① 平行四边形 + 一个角是直角 → 矩形 ② 平行四边形 + 对角线相等 → 矩形 ③ 三个角是直角的四边形 → 矩形 · 对角线相等不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等 · 矩形对角线：相等且互相平分，不垂直 · 矩形对角线不平分对角（平分对角就是菱形/正方形了） · 矩形四个角都是直角，对边平行且相等 【变式3-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，中，D，E分别为的中点，于点F，点G在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵D、E分别是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和判定证明四边形是平行四边形，再结合垂直的定义，即可证明四边形是矩形； （2）根据三角形内角和定理，以及等腰三角形性质推出，再结合矩形性质，以及三角形中位线性质求出，进而求出，利用勾股定理求出，进而即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点F，线段与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，，平分， ∴，即， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； (2)解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，即点F为中点， ∵在中，，平分， ∴，即点D为中点， ∴是的中位线， ∴，． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合平角的定义可得，利用等腰三角形三线合一可得，再结合垂直的定义可得，即可证明结论； （2）由四边形为矩形可得，利用等腰三角形三线合一可得，易得是的中位线，最后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，，理由略． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，为边上一点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由和，得四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是矩形． （2）根据两直线平行得内错角相等，，又有平分，所以得，等量代换得，由等角对等边得 ，所以得，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）略 （2） 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形． ∴，即， 在中，有， ∴． 【题型四】正方形的判定与性质综合 【例2】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ，， 又∵， ， ． (2)（i）证明：如图，作于点M，于点N， ， ∴四边形是矩形， ． ∵点E是正方形对角线上的点， ， ． ， ， ． 又∵， ， ， 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （ii） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，然后证明，即可得到； （2）（i）作于点M，于点N，利用角平分线的性质得到，证明，得到，即可证明矩形是正方形； （ii）证明，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：（i）略； （ii）∵四边形和四边形是正方形， ，． ， ． ， ，． 又， ， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ， ∵， ． ∴在中，由勾股定理得，． 易错警示 · 正方形 = 菱形 + 矩形，必须同时满足两者特征 · 判定路径： ① 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个直角 → 正方形 ② 菱形 + 一个角是直角 → 正方形 ③ 矩形 + 一组邻边相等 → 正方形 · 对角线：相等、垂直、平分，三者缺一不可 · 正方形 = 特殊菱形 + 特殊矩形，所有菱形和矩形的性质它都有 · 对角线：相等 + 垂直 + 平分对角 + 互相平分 · 面积 = 边长² = 对角线乘积的一半 【变式2-1】（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标，满足． (1)求点的坐标． (2)求证：四边形为正方形． (3)若点为正方形边上的动点，连接，过E点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可得点的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴矩形为正方形； (3)的大小为定值，恒为 【分析】（1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）由（1）可得，再结合正方形的判定定理证明即可； （3）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； （2）略 （3）解：的大小为定值，恒为， 如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为定值，恒为． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：如图，作交于点，交于点． 四边形为正方形， ∴平分，， ∵点在对角线上，，， ， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ． 在和中， ， ， ， 矩形是正方形． (2) (3)或 【分析】（1）作于交于点，交于点，通过证明，得到，从而根据正方形的判定定理证明； （2）通过计算发现点是中点，点与点重合，结合矩形是正方形的结论求得的长； （3）分与的夹角为和与夹角为两种情形考虑问题即可． 【详解】（1）略． （2）解：在中，， ， ， 点是中点，点与点重合， 由（1）可知，矩形是正方形， ． （3）解：①当与的夹角为时，点在边上，，如图所示， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得 ． ②当与夹角为时，点在的延长线上，，如图所示， ，，由三角形内角和定理， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式2-3】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点B，D恰好都和点G重合， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 (2) 【分析】（1）由题意得，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）根据，得到，根据勾股定理得到的长，进而得到即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型一】动点问题中的特殊四边形存在性问题 【例1-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图，从运动开始，当t为何值时，； (2)如图，从运动开始，当t为何值时，； (3)如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用两组对边分别平行得到平行四边形，对边相等列方程求解即可； （2）过D、Q作垂线构造矩形，利用等腰三角形三线合一，F是的中点建立等式解方程即可； （3）对的直角顶点分两种情况讨论，分别构造直角，利用矩形性质、勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形， ， ，解得； （2）解：如图，过点D作，过点Q作， ， ，， ， 四边形和均为矩形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得； （3）解：①如图，当时， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ，解得； ②如图，当时，过点D作， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得； 综上所述，或． 【例1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，四边形中，，，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点作于点，连接交于点，连接．设运动时间为秒． (1)___________，___________．（用含的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求的值； (3)如图2，将沿翻折，得，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值，并求出此时菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，的值为，此时菱形的面积为 【分析】（1）根据题意，可得，，进而可知，，证明四边形为矩形，结合矩形的性质可得，然后由，即可获得答案； （2）当四边形为平行四边形时，可得，进而可得，求解即可获得答案； （3）连接，结合翻折的性质以及菱形的性质可得，且，进而解得的值；在中，由含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理确定，的长度，进而可得，然后根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，且，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，， 当四边形为平行四边形时，可得， ∴，解得（秒）， 即的值为3； （3）解：存在，当的值为时，四边形为菱形．理由如下： 如下图，连接， ∵将沿翻折，得， ∴， 当四边形为菱形时，可得， ∵， ∴， ∵， ∴，解得（秒）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【变式1-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)，见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，四边形是菱形； (3)分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】(1) (2) (3)周长为，面积为 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； （3）解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 【题型二】特殊四边形与折叠问题 【例2-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【答案】3 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 【例2-2】（25-26九年级上·山东东营·期中）问题探究： 老师带领同学们，以“折叠过程中蕴含的数学知识”为主题，开展数学活动．活动课上，老师发给每个学习小组一些正方形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出数学问题或结论．如图，在边长为m的正方形中，点E，F分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处． (1)【问题解决】 小明同学观察思考后提出了两个问题，如图①，连接，则与折痕的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)【问题探究】 希望小组的同学继续折叠纸片，提出了一个有趣的问题，如图②，当正方形边长m为定值时，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由； (3)【拓展延伸】 最后，老师提出一个问题，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1)， (2)的面积为定值 (3) 【分析】（1）由折叠的性质得到；过F作于M，设与交于点I，证明四边形是矩形，得到，然后证明，即可得到； （2）由折叠得，然后利用角平分线的性质定理得到，然后利用三角形内角和公式求解； （3）作点C关于的对称点Q，连接，，，得到，由折叠得，当点B，G，Q三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵将正方形沿翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在边的点G处 ∴； ∴ 如图，过F作于M，设与交于点I ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵当正方形边长m为定值 ∴ 由折叠得， 如图，过点C作于点N ∵平分， ∴ ∴的面积； （3）解：如图，作点C关于的对称点Q，连接，，， ∴垂直平分 ∴ 由折叠得， ∴ ∴当点B，G，Q三点共线时，取得最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为． 【变式2-1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于________________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据折叠的性质和含的直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由折叠的性质知，，，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． (1)【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________； (2)【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质证明，进而得解； （2）先证，过点作，垂足为点，证明，进而得解； （3）设上点的对应点为点，连接，，交于点，则，，从而得四边形是平行四边形，有，；设，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿翻折得到， ∴垂直平分， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，由于线段 恰好经过点，故设上点的对应点为点，连接，，交于点， 由翻折知，垂直平分，垂直平分， ∴，． ∴． ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴，； 设，则； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型三】中点四边形问题 【例3-1】25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 【例3-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形 【探究一】 （1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程） 【探究二】 （2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究三】 （3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________． 【探究四】 （4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形． 【答案】 （1）证明：∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形． （2）相等，菱形 （3）垂直，矩形 （4）相等且垂直 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理，是解题的关键： （1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，作答即可； （3）根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，作答即可； （4）根据有一个角为直角的菱形是正方形，作答即可． 【详解】解：（1）略 （2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形； 由（1）知：中点四边形是平行四边形，， ∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴中点四边形是菱形； （3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形； 由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴中点四边形是矩形； （4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形； 由（2）可知：中点四边形是菱形； 由（3）可知：， ∴中点四边形是正方形． 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、． （1）若，则四边形的周长为 ． （2）图③，若，且，则四边形的面积为 ． 【答案】证明：如图①， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线，   ，， ， ， ． 应用：（1）①四边形的周长为；（2） 【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】证明略； 应用： （1）如图②， 、、、分别是、、、的中点， ，，   ， ， 四边形的周长为16； （2）：如图③， 、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，，   ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）如图，我们把依次连接任意四边形各边中点所得四边形叫中点四边形． (1)若四边形是菱形，则它的中点四边形一定是 ； A．菱形   B．矩形   C．正方形   D．梯形 (2)若四边形的面积为，中点四边形的面积记为，则与的数量关系是＝ ； (3)在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形． 【答案】(1)B (2) (3)四边形是平行四边形；，， 【分析】（1）连接、．先根据三角形中位线的性质得出，，，，则四边形为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出，从而证明是矩形； （2）由E为中点，且平行于，平行于，得到与相似，与相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到面积与面积之比为，且与面积相等，进而确定出四边形面积为的一半，同理得到四边形面积为面积的一半，四边形面积为面积的一半，四边形面积为面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形面积的一半； （3）利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形． 【详解】（1）解：（1）如图1，连接、． ∵E、F、G、H分别是菱形各边的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是矩形； 故选：B． （2）如图2，设与、分别交于点N、P，与、分别交于点K、Q， ∵E是的中点，， ∴，， ∴，， ∴，同理可得，，， ∴， ∴四边形的面积为，中点四边形的面积记为，则与的数量关系是； （3）如图3，四边形是平行四边形； ，，． 【点睛】此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质和矩形的判定以及菱形的性质等知识，利用三角形中位线的性质得出是解题关键． 【题型四】四边形中的线段最值问题 【例4-1】（25-26九年级上·福建厦门·期中）【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，点E、F分别是、边上的动点，连接，点M是的中点，连接、．若，． ①的长为______； ②求的最小值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某农场的示意图，是一条小路，的中点O处有一口灌溉水井，现要在该农场内修一个蔬菜储藏室P，再沿、分别修两条小路，沿铺设地下水管，要求，且地下水管的长度尽可能地短．已知，，求地下水管长度的最小值．（小路、地下水管的宽度和水井、储藏室的大小均忽略不计） 【答案】(1)①17；②的最小值为13 (2)地下水管长度的最小值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，三角形中位线，斜边中线定理及三角形三边不等关系是解题的关键； （1）①由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解； （2）取的中点，连接，由题意易得，，，则根据三角形中位线可得，然后可得，根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当且仅当三点共线时取等号， ∴的最小值为13； （2）解：取的中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，当且仅当三点共线时取等号， ∴地下水管长度的最小值为． 【例4-2】（25-26九年级上·广西河池·期中）综合与实践 (1)如图，已知正方形，点在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的数量关系为________，位置关系为________． (2)如图，若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、 ①请判断线段和有怎样的关系，并说明理由； ②连接，若，求长． (3)在（2）的条件下，点在边上运动时，则的最小值为________（直接写答案） 【答案】(1)；． (2)①，． 证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴（）， ∴，． 设与交于点． ∵点、在直线上且位于点的两侧， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． ②． (3)． 【分析】（1）证，得结论． （2）①仿（1）证全等并导角；②作双垂构造“一线三垂直”，全等转移后用勾股定理． （3）由转化为，用将军饮马求最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形，且点在的延长线上， ∴，，，， ∴， ∴（）， ∴，． 设与交于点． ∵点、在直线上且位于点的两侧， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． （2）①略． ②解：作于，交的延长线于，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵，的边长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：∵（②已证）， ∴． 由②可知为定值，即点为定点，， ∴当点在上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交该直线于点，过作，交的延长线于． ∵与关于直线对称， ∴， ∴（两点之间线段最短）， ∵，，点与点关于过且垂直于的直线对称， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）已知线段，点为线段上一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，且． (1)如图，若，则的度数为________； (2)如图，在点的运动过程中． ①直线与的位置关系是否发生变化，请说明理由； ②、分别为对角线，的中点，连接，的最小值为________． 【答案】(1)90 (2) ①的关系不变，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得是等边三角形， ， 四边形是菱形， ∴， ∴， 直线与的位置关系不发生变化； ② 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知可得是等边三角形，计算得出，进而可得，即可求解； （2）①证明，结合菱形的性质，即可得出结论； ②连接，证明，根据勾股定理表示出，进而根据配方法求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，，四边形、是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，连接 ∵分别为对角线，的中点，则分别过点， ∴分别平分，， ∴ ∴， 同（1）可得是等边三角形， 设，则，， ， ∴时，有最小值，最小值为. 【变式4-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】(1) 证明：如图1中， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； (2)2 (3) 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【详解】（1）略 （2）延长到，使得，连接，   ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，，   ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【题型一】菱形60°角等边三角形模型 【模型解读】 当菱形有一个内角是 时，较短的对角线把菱形分成两个等边三角形。因为菱形四条边相等， 的等腰三角形就是等边三角形。这个模型在菱形角度和边长计算中非常常见。 【结论】 已知：菱形 中， 则： - ① 连接 是等边三角形 - ② 较短对角线 （等于边长） - ③ 较长对角线 - ④ 菱形面积 【例1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）在菱形中，，则菱形的面积为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点C作于点E，结合菱形的性质可得为等边三角形，可求出，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，两条等宽的长方形纸条倾斜地重叠着，已知长方形纸条宽为，，则四边形的面积为（     ）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点作，根据题意可证明四边形是平行四边形， cm，再根据等面积法可证明，在中，根据正弦定义求出，代入菱形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图， 过点作于点，根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵长方形纸条宽度相等，且宽为， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（P为的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到． 【详解】解：如图，连接，   四边形为菱形， ∴， ∵， 为等边三角形，， 为的中点， 为的平分线， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D．24 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，，连接，由线段垂直平分线的性质可得，，，由直角三角形的性质并结合勾股定理求出、的长，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，，， 连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【题型二】直角三角形斜边中线模型 【模型解读】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。看到直角三角形 + 斜边中点，就要想到连中线，得到等腰三角形。这个模型在矩形、菱形、正方形的计算中经常用到，因为这些图形里藏着很多直角三角形。 【结论】 已知：，， 是 中点 则： 逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 使用场景： - 矩形对角线交点 四个等腰三角形 - 菱形对角线交点 四个直角三角形 - 折叠问题中 找斜边中点连中线 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得，，求出，设，则，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴，． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，结合菱形的面积公式求出的长，则可利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、交于点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，点分别是的中点，连接．，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交延长线于点．根据题意，证明四边形是矩形，在中解得的长，再利用直角三角形斜边中线定理得出的长，从而得到，，的长，最后在中利用勾股定理求解得到的长． 【详解】解：如图，连接，过点作交延长线于点． ，点是的中点， ， 又即，， 四边形是矩形， ，即， 在中，，， ， ． 点是的中点，， ． ，， ， ， 在中，， ． 在中，， ． 【变式2-3】（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 【题型三】矩形折叠问题模型 【模型解读】 矩形折叠是中考高频题型。折叠前后对应边相等、对应角相等，本质是轴对称。折叠后会产生新的直角三角形，通常用勾股定理列方程求解。 【结论】 折叠问题三要素： - ① 折叠前后对应边相等（找等量关系） - ② 折叠前后对应角相等（找角度关系） - ③ 折叠后隐藏直角三角形（用勾股定理列方程） 常用设元： 设某段未知边长为 ，用 表示直角三角形的三边 勾股定理列方程 解方程求 。 【例3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点与点重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质及折叠的性质在直角中运用勾股定理列方程求出的长，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图所示，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设折叠后点与对角线上的点重合，连接，根据矩形的性质及勾股定理求出，根据折叠性质得出，，，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理，列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，设折叠后点与对角线上的点重合，连接， ∵矩形纸片中，，， ∴，， ∵折叠纸片使边与对角线重合，折痕为， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形纸片中，，，点E为上一点（点E不与B、C重合），将纸片沿翻折得到．点F在上，沿再次折叠纸片，使点C的对应点落在上，若E、、三点在同一直线上，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，，点P是边上一点，连接，将沿翻折至，若的延长线经过点C，则的长为___________． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质得到，，，然后由折叠得到，，，勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】∵在矩形中，，， ∴，， ∵将沿翻折至 ∴，， ∴ 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【题型四】正方形对角线45°角模型 【模型解读】 正方形的对角线与边的夹角是 ，所以正方形里藏着很多等腰直角三角形。对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小等腰直角三角形。 【结论】 已知：正方形 则： - ① 对角线 与边 的夹角 - ② 是等腰直角三角形 - ③ 两条对角线把正方形分成 个全等的小等腰直角三角形 - ④ 小三角形直角边 对角线的一半 - ⑤ 正方形面积 【例4】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在正方形中，连接，E，F是边，上的点．已知E是的中点，． （1）的长为________． （2）若，则的长为________． 【答案】 ； 【分析】（1）通过正方形的性质利用勾股定理先求出正方形边长，再结合E是的中点的条件，得到的长度； （2）将绕点A顺时针旋转到，利用旋转后全等三角形的性质得到，，再证明，得到进而推得的数量关系，设的长为未知数，用含未知数的式子表示出、、的长度，再结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． （2）解：在正方形中，，， 如图，将绕点A顺时针旋转到， ， ，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， 设，则，． ，由勾股定理得， ， 解得， ． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2=DE•BF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可证MO=EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解． 【详解】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°， ∴∠ADM'+∠ADC=180°， ∴点M'在直线CD上， ∵∠MAN=45°， ∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN， ∴∠M′AN=∠MAN=45°， 又∵AN=AN，AM=AM'， ∴△AMN≌△AM′N（SAS）， ∴MN=NM′， ∴M′N=M′D+DN=BM+DN， ∴MN=BM+DN；故①正确； ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'， ∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'， ∴∠D'BE=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE， ∴∠D'AE=∠EAF=45°， 又∵AE=AE，AF=AD'， ∴△AEF≌△AED'（SAS）， ∴EF=D'E， ∵D'E2=BE2+D'B2， ∴BE2+DF2=EF2；故②正确； ∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE， ∴∠BAF=∠AEF， 又∵∠ABF=∠ADE=45°， ∴△DAE∽△BFA， ∴， 又∵AB=AD=BC， ∴BC2=DE•BF，故③正确； ∵∠FBM=∠FAM=45°， ∴点A，点B，点M，点F四点共圆， ∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM， 同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN， ∴∠EOM=45°=∠EMO， ∴EO=EM， ∴MO=EO， ∵∠BAM≠∠DAN， ∴∠BFM≠∠DEN， ∴EO≠FO， ∴OM≠FO，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型五】中点四边形形状判断模型 【模型解读】 任意四边形的中点四边形形状，只由原四边形的对角线决定。记住规律：原四边形对角线垂直，中点四边形就是矩形；原四边形对角线相等，中点四边形就是菱形；两者都满足就是正方形。 【结论】 原四边形对角线 中点四边形形状 推导依据 任意（既不相等也不垂直） 平行四边形 中位线平行且等于第三边一半 对角线相等 菱形 中位线都等于对角线一半 邻边相等 对角线互相垂直 矩形 中位线分别平行于两条对角线 邻边垂直 对角线相等且垂直 正方形 既是菱形又是矩形 记忆口诀： 垂直出矩形，相等出菱形，既垂又等出正方形 常见原四边形对应： - 平行四边形 中点四边形是平行四边形 - 矩形 对角线相等 中点四边形是菱形 - 菱形 对角线垂直 中点四边形是矩形 - 正方形 中点四边形是正方形 - 等腰梯形 对角线相等 中点四边形是菱形 【例5】（25-26八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)证明：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形是菱形． (3)且． 【分析】（1）根据上下文判断依据即可； （2）利用中位线的性质定义判定四边形是平行四边形，继而通过证明邻边相等证明瓦里尼翁四边形是菱形； （3）结合（2）可知只需在的条件下，增加一个条件，使得瓦里尼翁四边形是矩形即可，根据中位线定理可知增加的条件可以是． 【详解】（1）材料中的依据是指：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）略 （3）且，理由如下： 由（2）可知：当时，瓦里尼翁四边形是菱形， 同理可得：，， 又∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形为正方形， 即要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是且． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形           B．矩形              C．菱形                D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】(1)D (2)解：四边形的中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K  ， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ， ，   ∴， ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴四边形中点四边形是正方形； (3)解：①，证明如下： 如图，记、的中点分别为E、F，连接 ∵四边形中，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据各四边形的对角线的性质，进行判断即可； （2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K  ，证明，推出 四边形的对角线相等且平分，即可得证； （3）①记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，由勾股定理得到，再根据三角形中位线定理即可得出结论；②易得当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，根据三角形中位线定理得到的最小值，利用①中结论进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形， 在平行四边形，矩形，菱形和正方形中，只有正方形的对角线互相垂直且相等， 故四边形的中点四边形一定是正方形的是正方形； （2）略 （3）解：①略 ②如图，设交于点O，连接、、，则， ∴当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴； ∴的最小值， 由①知， 又∵， ∴，即， ∴的最小值为. 【变式5-2】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形中，点，，，分别为边，，，的中点．试说明中点四边形是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：      反思交流： (1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据　 ；依据　 　； ②连接，若时，则中点四边形的形状为　 ；并说明理由； 创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究： (2)如图（2），点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，猜想中点四边形的形状为 ，并说明理由； (3)若改变（2）中的条件，使，其它条件不变，则中点四边形的形状为　 　． 【答案】(1)①三角形的中位线定理；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②菱形；理由如下： 如图1中，    根据题意可知，四边形为平行四边形， ，， ， ∵，， ， ∵， ， 四边形是菱形． (2) 解：结论：四边形是菱形． 理由：如图，连接，，   ， ， 即：， ，， ∴， ， ， 由问题情境可知：四边形是平行四边形 四边形是菱形． (3)正方形 【分析】（1）①根据三角形中位线定理解答即可； ②根据菱形的判定方法进行解答即可； （2）连接，，证明，得出，再根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （3）连接，，交于点O，交于点K，交于点J，证明，再证明，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线定理； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ②略 （2）略 （3）解：结论：正方形． 理由：如图，连接，，交于点O，交于点K，交于点J．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： 下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________． A．平行四边形            B．矩形        C．菱形        D．正方形 性质探究： 如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论； 问题解决： 如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用： 如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， （1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由． （2）若AC=2，求AB+CD的最小值． 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K， ∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L， ∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线， ∴MNBG，MN=BG， RLBG，RL=BG， RNCE，RN=CE， MLCE，ML=CE， ∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML， ∴四边形MNRL是平行四边形， ∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°， 又∵∠BAC=∠BAC， ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC， 即∠EAC=∠BAG， 在△EAC和△BAG中， ， ∴△EAC≌△BAG（SAS）， ∴CE=BG，∠AEC=∠ABG， 又∵RL=BG，RN=CE， ∴RL=RN， ∴▱MNRL是菱形， ∵∠EAB=90°， ∴∠AEP+∠APE=90°． 又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK， ∴∠ABG+∠BPK=90°， ∴∠BKP=90°， 又∵MNBG，MLCE， ∴∠LMN=90°， ∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”； 拓展应用：（1），理由如下： 如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， ∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点， ∴四边形ENFM是正方形， ∴FM=FN，∠MFN=90°， ∴MN===FM， ∵M，F分别是AB，BC的中点， ∴FM=AC， ∴MN=AC； （2） 【分析】概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≌△BAG（SAS），推出▱MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（1）如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，再结合（1）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①AC=BD，②AC⊥BD； 理由如下：如图1， ∵四边形ABCD是“中方四边形”， ∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC， ∴AC⊥BD，AC=BD， 故答案为：AC⊥BD，AC=BD； 问题解决：略 拓展应用：（1）略 （2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME， 连接BD交AC于O，连接OM、ON， 当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长， ∴2（OM+ON） 2MN， 由性质探究②知：AC⊥BD， 又∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB=2OM，CD=2ON， ∴2（OM+ON）=AB+CD， ∴AB+CD2MN， 由拓展应用（1）知：MN=AC； 又∵AC=2， ∴MN=， ∴AB+CD的最小值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 【题型六】动点问题中的特殊平行四边形模型 【模型解读】 动点问题是本章压轴题型。一个点或两个点在边上运动，问何时图形是菱形、矩形或正方形。解题关键是抓住特殊平行四边形的判定条件，把它转化为方程求解。 【结论】 解题四步法： - ① 设时间为 ，用 表示各线段长度 - ② 找出动点运动过程中的不变量 - ③ 抓住目标图形的判定条件，列方程 - ④ 解方程，检验解是否在取值范围内 常见转化： - 何时是菱形？ 邻边相等列方程 - 何时是矩形？ 一个角是直角列方程（用勾股定理逆定理） - 何时是正方形？ 既是菱形又是矩形，两个条件同时满足 【例6】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)______________；______________（用含的代数式表示）； (2)当四边形为矩形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在； 解：不存在； ∵， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴， ∴四边形不可能为平行四边形． 【分析】（1）由运动过程可得线段长度，根据线段之间的关系，即可求解； （2）根据当四边形为矩形时，，列出方程，解方程即可得的值； （3）先证明，根据当时，四边形为平行四边形，得出，求出，根据，得出不符合题意，即可得出，从而得出四边形不可能为平行四边形． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵于点， ∴， 由题意得，，， ∴，． （2）解：∵，， ∴， 当四边形为矩形时，， ∴， 解得：； （3）略 【变式6-1】（25-26九年级上·吉林长春·期中）已知，在平行四边形中，一动点P在边上以的运动速度从点A向终点D运动． (1)如图①，若，运动过程中，当平分时，判断的形状并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若长为，的面积为______； (3)如图③，另一个动点Q在边上，以的速度从C点出发，在间进行往返运动，当点P运动停止时，点Q也随之停止．若长为，请直接写出t为何值时，以A、P、B、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：为等边三角形，理由如下： ∵平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形； (2) (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边推出，即可得出结论； （2）由四边形是平行四边形，推出，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图中，过作于点， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， 点的运动时间为，点从点运动到点所用时间为， ① 当时，，故， ∴， 解得； ② 当时，， ∴， 解得； 综上：或． 【变式6-2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以/的速度向点运动；点从点同时出发，以/的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)____________，____________（用含的代数式示）； (2)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查列代数式，平行四边形、矩形的性质，关键是熟练掌握矩形的判定． （1）由运动的速度即可表示长，的长； （2）根据矩形的判定列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：，； （2）解：存在， 在四边形中：， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． 【变式6-3】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题． (1)______________．（用含的代数式表示） (2)当点停止运动时，的长度为______________． (3)当四边形为矩形时，求此时的值． (4)当时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解． （1）根据时间乘以速度即可解答； （2）求点停止运动时的时间，即可解答； （3）当四边形为矩形时，，列方程即可解答； （4）分类讨论，当四边形为平行四边形或等腰梯形，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：， 则， 故答案为：； （3）解：， 当四边形为矩形时，， 可得， 解得； （4）解：如图，当四边形为平行四边形时，此时， ， 则， 可得方程， 解得； 如图，当四边形为等腰梯形时，此时，过点作交于点， ， 则四边形都为矩形， ，， ， ，， ， ， 根据，可列方程， 解得， 综上所述，或． 技巧 一句话要点 菱形边长计算——"对角线半值勾股法" 两条对角线先取一半，再用勾股定理求边长；菱形对角线互相垂直平分。 菱形面积速算——"对角线乘积一半法" 已知两条对角线直接相乘再除以2，不用算底和高。 菱形60°角速算——"等边三角形法" 有60°角的菱形，短对角线等于边长，长对角线等于边长乘√3。 矩形对角线计算——"等腰三角形法" 矩形对角线相等且平分，交点到四顶点距离相等；夹角60°时短边等于对角线一半。 直角三角形求中线——"斜边一半法" 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反过来中线等于边一半就是直角三角形。 矩形折叠问题——"折叠勾股方程法" 折叠前后对应边相等，找隐藏直角三角形，设未知数列勾股方程求解。 正方形对角线计算——"边长乘法" 正方形对角线 = 边长 ×；已知对角线求边长就除以。 正方形面积速算——"对角线平方一半法" 正方形面积 = 对角线² ÷ 2，不用算边长。 正方形判定——"两步判定法" 先证是矩形再证邻边相等，或先证是菱形再证有直角，两步走就是正方形。 中点四边形形状——"对角线决定法" 原四边形对角线垂直→中点是矩形；对角线相等→中点是菱形；都满足就是正方形。 三角形中位线求长——"中点连线法" 见两个中点连起来，就是中位线，平行于第三边且等于第三边的一半。 菱形判定——"垂直邻边法" 已知平行四边形，证对角线垂直或一组邻边相等；已知任意四边形，证四条边相等。 矩形判定——"直角等角法" 已知平行四边形，证一个直角或对角线相等；已知任意四边形，证三个角是直角。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $