第一章 特殊平行四边形（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北师大版

第一章 特殊平行四边形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 菱形的性质和判定 考点二 矩形的性质和判定 考点三 正方形的性质和判定 05 重难题型突破 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 题型二 菱形的性质与判定综合问题 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 题型四 矩形的性质与判定综合问题 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 题型六 正方形的性质与判定综合问题 题型七 菱形、矩形、正方形中作图问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九年级上册第一章“特殊平行四边形”在期中考试中约占15—20分，是几何板块的核心考查内容，难度中等偏上，易、中、难比例大致为5∶3∶2。考点集中在菱形、矩形、正方形的性质与判定及其综合运用。题型上，选择填空多考概念辨析、对角线性质、折叠求值及中点四边形判断；解答题以证明题为主，常结合三角形中位线、勾股定理、直角三角形斜边中线等知识考查判定与性质的综合应用。压轴题常以正方形或矩形折叠、动点问题、坐标系中的存在性问题为背景，对综合能力要求较高。 识记 准确说出菱形、矩形、正方形的定义，记住菱形四边相等、对角线垂直，矩形四角为直角、对角线相等，正方形兼具二者性质。 理解 厘清三者与平行四边形的从属关系，掌握判定定理的差异，如“对角线相等的平行四边形是矩形”“对角线垂直的平行四边形是菱形”。 应用 能综合运用性质与判定进行几何证明与计算，如菱形面积、折叠问题、中点四边形形状判断，期中考试中常与相似、动点问题结合出现。 考点一 菱形的性质和判定 1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 3.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四边相等，对角线垂直平分；判定：四边等或对角线垂直平分。 ❌避坑：对角线相等是矩形，对角线互相平分且相等才是矩形，别与菱形混淆。 考点二 矩形的性质和判定 1.矩形的概念：有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）三个角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四角为直角，对角线相等且互相平分；判定：三角直角或对角线相等且平分。 ❌ 避坑：对角线垂直是菱形，别混淆；对角线相等且垂直是正方形，非矩形独有。 考点三 正方形的性质和判定 1.正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 3.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）有一个角是直角的菱形是正方形。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四边相等、四角直角，对角线垂直、平分且相等；判定：既是矩形又是菱形。 ❌避坑：对角线垂直平分且相等才是正方形，仅垂直是菱形，仅相等是矩形。 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 典例1 （2026·江苏淮安·中考真题）菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 💡破题要诀 1. 连对角线：互相垂直且平分，构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 看边角：四边相等，对角相等、邻角互补，结合内角和求角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 【答案】/26度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角相等，对角线平分对角，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， 故答案为：． 2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的判定与性质．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图知， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 题型二 菱形的性质与判定综合问题 典例2 （25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 💡破题要诀 1. 判定优先：先找四边相等或对角线垂直平分，证出菱形再套性质。 2. 性质跟进：用对边平行、四边相等、对角线垂直平分，转化求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接． (1)证明： (2)若，试证明四边形是菱形； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据边边边证明两个三角形全等； （2）根据平行线的性质可知，进而根据等边对等角可知，再根据四条边相等可知为菱形； （3）证明，可知，进而可知是等腰三角形，设，根据所对的直角边等于斜边的一半可知，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， , ∴， ∴ （2）解：∵ ∴, ∵ ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形 （3）解：由（2）可知四边形是菱形， ∵， ∴, 在和中， , ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ , ∴, ∴， 设， ∴, ∴, 在等腰三角形中， ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①如图1，过点作于点，过点作于点，证明，得出，进而得出，根据，即可求解； ②如图2，连接交于点．证明是菱形．设，则．由勾股定理，得，得出，再根据菱形的性质，即可求解； （2）如图3，连接．根据等底同高，得，，得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：①如图1，过点作于点，过点作于点． ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵，∴， ∴． ②如图2，连接交于点． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是菱形． ∴，， ∴． 设，则． 由勾股定理，得， ∴，解得， ∴． ∴菱形的周长． （2）证明：如图3，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据等底同高，得，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用两组对边平行证明四边形为平行四边形，再结合直角三角形斜边中线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形； （2）利用旋转前后图形全等、菱形的边与角的性质，结合角度关系证明为等腰三角形，四边形是平行四边形，从而得到； （3）结合已知角度、菱形性质和（2）的结论，求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ，点D是的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）证明：由旋转的性质可知：，，， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ，， ，， ， 设，， 解得，（舍去） ， ． 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 典例3 （2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 【答案】75 【分析】根据矩形性质可得，进而求出，，再根据三角形内角和求出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴. 💡破题要诀 1. 抓直角：四角为直角，构造直角三角形，用勾股定理求线段。 2. 用对角线：相等且互相平分，结合等腰三角形求角度。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 【答案】/105度 【分析】先证明为等边三角形，得到，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质与勾股定理可得，设，则，由可得，利用直角三角形的性质可得，从而得到，因此，进而求出的长． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点P，证明得，，进而得，再求出，在中，由勾股定理得，然后证明是的中位线，再根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，并延长交于点P，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴． 题型四 矩形的性质与判定综合问题 典例4 （25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，已知，延长到，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，且， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，即可证明结论； （2）结合平行四边形的性质以及矩形的性质，可得，，且，然后在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵四边形为平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 💡破题要诀 1. 判定先行：找三角为直角或对角线相等且平分，证出矩形再套性质。 2. 性质转化：用四角直角、对角线相等，化归直角三角形求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，、分别是中线，相交于点O，F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ①求证：四边形是矩形； ②若，，则的长度是_____． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）①证明，得出，，根据等角对等边得出，进而得出，根据平行四边形的性质可得出，最后根据矩形的判定即可得证； ②根据勾股定理求出，，根据平行四边形的性质和线段中点的定义可求出 ，然后在中根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①证明：∵、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵，、分别是中线， ∴，， 又， ∴，， ∵四边形是平行四边形，F是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； (2)的长为． 【分析】（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）由与等高，求得，在中，，则，由勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，且与等高， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得（负值已舍去）， 答：的长为． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①证明：如图，连接， 由折叠的性质，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即四边形是菱形； ②；理由如下： 由折叠知，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即线段与的数量关系为； (3)或5 【分析】（1）由矩形及折叠的性质得四边形是矩形，再结合折叠的性质得四边形是正方形； （2）①连接，由折叠的性质易得，由线段垂直平分线的性质得，再由等腰三角形的判定证明即可证明结论； ②由折叠的性质、等腰三角形的性质可得四边形是平行四边形，得，即可得线段与的数量关系； （3）分三种情况考虑，利用折叠的性质、等腰三角形的性质及勾股定理即可完成． 【详解】（1）解：在矩形纸片中，, 由折叠知， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）①略； ②略 （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴，四个内角均为直角， 由折叠知，， 如图，当时，过点M作于点G，交于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， 即； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴点M在上， 由（1）知，四边形是正方形， ∴； 当时， 如图，连接， 由勾股定理得， 而， ∴， ∴不可能等于； 综上，或5． 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 典例5 （25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M．若，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质，易得均为等腰直角三角形，求出的长，证明，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：． 💡破题要诀 1. 抓四边等与四角直角：构造等腰直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 用对角线：相等、垂直且平分，结合45°角关系转化求角度。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，连接，根据三角形中位线定理得，证明，根据全等三角形的性质推出，最后根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴， ∵点、分别是、的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为． 题型六 正方形的性质与判定综合问题 典例6 （25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）略 （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 💡破题要诀 1. 判定先行：找四边等且一角直角，或对角线相等、垂直且平分，证出正方形。 2. 性质转化：用四边等、四角直角、对角线垂直平分，化归直角三角形求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，再结合，，可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴垂直平分， ∴． 2．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图1：正方形中，点E、F分别在边上，，连接交于点O． (1)求证：； (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的角平分线交于N，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，连接，若四边形BENF的面积是25，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据平行四边形的面积可得，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图： ∵四边形是平行四边形，且面积是25，， 故， ∴， ∵正方形中，， ∴， 在中，． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析；的长为． 【分析】（）由四边形与四边形都是正方形，三点共线，则，，所以，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形是正方形，得，，由题意可得，则，然后通过对顶角相等，等角的余角相等得出，再由等角对等边得； 过点作于点，交于点，连接，，，同理可得，又四边形，是正方形，则，，，平分，平分，证明，故有，，再证明，所以，，然后证明，所以，则有，即为中点，可得是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形都是正方形，三点共线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过点作于点，交于点，连接，，， 同理可得：， ∵四边形，是正方形， ∴，，，平分，平分， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型七 菱形、矩形、正方形中作图问题 典例7 （25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，是边的中点，连接． (1)在边上确定一点，使得（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点H即可； （2）过点A作交的延长线于点F，求出，然后证明是等腰直角三角形，得到，，求出，然后利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，是边的中点 ∴ 由作图得， ∴ ∵在菱形中， ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）解：如图，过点A作交的延长线于点F ∵菱形的边长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 💡破题要诀 1. 依判定作图：按边等、直角、对角线垂直平分等条件，确定关键点位置。 2. 借性质验证：用四边相等、直角、对角线关系，检验作图并求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； (2) 如图所示，点即为所求： 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到，，进而证明和均为等边三角形，得到，，证明，即可得到； （2）连接、交于点O，连接并延长，交边于点G即可． 【详解】（1）略； （2）解：证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 【答案】(1) 解：如图，点即为所求； (2) 解：如图，点即为所求． 【分析】本题考查无刻度直尺作图，全等三角形的判定及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题关键． （1）连接，并延长交于，通过证明得到，然后证明，从而确定点满足条件； （2）连接，并延长交于，先证明，则，然后证明得到，从而确定点满足条件． 【详解】（1）解：连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， 故点即为所求； （2）连接，并延长交于， ∵四边形和四边形 都是正方形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． (1)如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； (2)如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； (3)当点E在的延长线上时，求的长． 【答案】(1)①；②； (2) 解：①分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线交于点，则直线即为所求； (3). 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，证明，得到，得到，即可得出结果；②利用折叠的性质，全等三角形的性质，等量代换求出的周长为即可； （2）分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点， 即可，易得得到，进而得到的周长等于，即正方形周长的一半； （3）根据题意，画出图形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：∵正方形，边长为， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴的周长； （2）略 （3）解：当点E在的延长线上时，如图， ∵折叠， ∴， 同（1）法可得：， ∴， 设，则,，， ∵， ∴，即， ∴， ∴. 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得的长，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】在矩形中，对角线，交于点，， ，， 在中，． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是正方形，点E在对角线上，过点E作交于点F．若，，则正方形的边长为（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出相等的边和相关角的度数，然后利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：， ． ∵四边形是正方形， ∴，，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵在中，， 即， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 【答案】 2 【分析】根据菱形的性质得出，结合垂直平分得出，从而判定是等边三角形，求出，利用菱形对角线平分对角得出，分别在和中利用与勾股定理求出和的长，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，为中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， 在中，，， ， 则， 在中，，， 设，则， 则，即， 则有，解得（负值舍掉）， ， ． 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，是矩形的对角线，，，过作，交延长线于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，证明，得到，证明四边形为正方形，得到，再证明，得到，设设，，则，证明，得到，求出，证明，得到，求出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 解得或（舍去） ∴； 故答案为：． 8．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线上不与端点重合的一动点，当为等腰三角形时，的长是__________． 【答案】或/或2 【分析】由矩形的性质，可得，，，根据已知可得或，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，当时，点与点重合，． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵点为对角线上不与端点重合的一动点，为等腰三角形， ∴或， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 当时，， 当时，点与点重合，， 综上，的长是或． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，结合D为中点，可证，即可结合证明结论； （2）过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H，先求出，，根据勾股定理可求得，再分别求出，，即可根据勾股定理求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，D为中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点D作于点G，过点F作，交的延长线于点H， 为中点，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 10．（25-26九年级下·吉林·期中）如图，点、分别在的边上，，． (1)仅用圆规和无刻度直尺，在图中作的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） (2)利用（1）中所画图形，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)解：所求图形如图所示． (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义与平行线的性质得到，因此，进而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形，进而可证明． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的对角线，相交于点O，且，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 【答案】(1)见详解 (2)，，，的面积都等于四边形的面积的． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形． （2）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步得出，设，，根据勾股定理求出，连接交于点K，利用菱形的性质得出，进而可得出，先求出，根据同高等底可知，再证明，，由全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，， ∴， 连接交于点K， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， ∴，负值舍去， ∴， ∴， 根据同高等底可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 综上，，，，的面积都等于四边形的面积的． 12．（25-26八年级下·四川南充·期中）正方形中，E为射线上一点． (1)如图1，F为对角线上一点，过点F作于点E，连接，若，，那么________； (2)如图2，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求线段的长； (3)如图3，E、G分别为的中点，连接和交于点Q，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：在正方形中，， 分别是的中点， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 是直角三角形，， 取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，则， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 同理，，则， 在中，， 令，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 四边形是正方形， 连接， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 【分析】（1）先根据勾股定理求出，然后证明，然后根据全等三角形的性质证得即可； （2）连接，根据正方形的性质得出，即，根据等腰三角形的性质证得，由内角和为证得从而得到为直角三角形，最后根据勾股定理求得； （3）先证，得，取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，再证四边形是矩形，再证是正方形，由平行线分线段成比例定理证得是的中位线，证得到，令，则；通过勾股定理把用x表示出来，从而得到垂直平分，所以，通过勾股定理求得，而，消去即可得出 【详解】（1）解：在正方形中，， ， ， ，垂足为E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接， 在正方形中，，即 ， 由（1）结论可得， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， （3）略． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】因为，根据菱形的性质可知，而，由M、N分别是的中点，根据中位线的性质即可求得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴． 2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 且、分别是、的中点， ∴在和中， ，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴的周长为． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，过点作，垂足为，连接，则有以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明得出，即可判断①，进而证明是等腰直角三角形，即可判断②，得出，进而得出，即可判断③，根据勾股定理求得，得出，进而得出，根据是等腰直角三角形，即可得求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴， ∴， ∴，结论①正确； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，结论②正确； ∵， ∴是直角三角形． ∵是等腰直角三角形，， ∴是的中点， ∴， ∴，结论③正确； ∵ ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴，结论④正确． 综上，4个结论均正确，故选：D． 二、填空题 4．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 【答案】或 【分析】利用折叠性质挖掘角度和线段的等量关系，并根据点落在不同边上的情况进行分类讨论． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴，，，，，， 由题意分情况讨论： ①如图，当点落在边上时： ∵点在上， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图，当点落在边上时： ∵点在上，， ∴， ∵矩形中，， 即， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， 在中，，， ∴， ∵点E在上， ∴， 即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 综上所述，的长为或． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 【答案】 【分析】先根据函数图象得到、的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后利用三角形中位线的性质即可求得点P运动至的中点处时，的长． 【详解】解：根据函数图象，可得，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵当点P运动至的中点时，是的中位线， ∴此时． 6．（25-26八年级下·天津河北·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，，G为的中点，连接，交于点H，连接． （1）面积为______； （2）线段的长为______． 【答案】 5 【分析】（1）根据三角形面积公式求出面积即可； （2）过点O作交于M，连接，易证，可证，根据点是的中点，可得是的中位线，利用勾股定理可求得的长即可得出答案． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴； （2）过点O作交于M，连接，如图所示： ∵O为正方形对角线和的交点，正方形的边长为4，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 三、解答题 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长； (3)如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形是黄金矩形，证明见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，结合矩形的性质可得，则，结合，因此四边形是正方形； （2）由正方形的性质可得，根据黄金矩形的定义可得，计算出后，与相加即可； （3）连接，设，由折叠的性质可得，，，，由勾股定理可得，则．利用勾股定理可得，从而求出，容易证明四边形是矩形，结合，因此四边形是黄金矩形． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∴； （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： 如图，连接，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 8．（25-26八年级下·河南许昌·期中）解决下列问题： (1)如图①，在正方形中，点，分别是边，上的点，，与交于点．直接写出与的位置关系及数量关系 ； (2)点，分别在边，的延长线上，且．（1）中结论是否也成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出理由； (3)在（2）的基础上，连接，，分别取，，，的中点，，，，请判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)， (2)成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； (3)四边形是正方形，证明如下： ∵，，，是，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）利用正方形的性质容易证明，则，，进而证明； （2）仿照（1）的解法进行证明即可； （3）由中位线的性质可得，，，，，结合，即可证明四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 菱形的性质和判定 考点二 矩形的性质和判定 考点三 正方形的性质和判定 05 重难题型突破 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 题型二 菱形的性质与判定综合问题 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 题型四 矩形的性质与判定综合问题 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 题型六 正方形的性质与判定综合问题 题型七 菱形、矩形、正方形中作图问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九年级上册第一章“特殊平行四边形”在期中考试中约占15—20分，是几何板块的核心考查内容，难度中等偏上，易、中、难比例大致为5∶3∶2。考点集中在菱形、矩形、正方形的性质与判定及其综合运用。题型上，选择填空多考概念辨析、对角线性质、折叠求值及中点四边形判断；解答题以证明题为主，常结合三角形中位线、勾股定理、直角三角形斜边中线等知识考查判定与性质的综合应用。压轴题常以正方形或矩形折叠、动点问题、坐标系中的存在性问题为背景，对综合能力要求较高。 识记 准确说出菱形、矩形、正方形的定义，记住菱形四边相等、对角线垂直，矩形四角为直角、对角线相等，正方形兼具二者性质。 理解 厘清三者与平行四边形的从属关系，掌握判定定理的差异，如“对角线相等的平行四边形是矩形”“对角线垂直的平行四边形是菱形”。 应用 能综合运用性质与判定进行几何证明与计算，如菱形面积、折叠问题、中点四边形形状判断，期中考试中常与相似、动点问题结合出现。 考点一 菱形的性质和判定 1.菱形的概念：有 的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的 ；菱形的对角线 。 3.菱形的判定 （1）有 叫做菱形（概念） （2） 是菱形 （3）对角线 的平行四边形是菱形 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四边相等，对角线垂直平分；判定：四边等或对角线垂直平分。 ❌避坑：对角线相等是矩形，对角线互相平分且相等才是矩形，别与菱形混淆。 考点二 矩形的性质和判定 1.矩形的概念：有 叫做矩形，矩形也叫做长方形。 2.矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线 ，四个角 。直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 3.矩形的判定 （1）有 的平行四边形是矩形。 （2） 的四边形是矩形。 （3）对角线 的平行四边形是矩形。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四角为直角，对角线相等且互相平分；判定：三角直角或对角线相等且平分。 ❌ 避坑：对角线垂直是菱形，别混淆；对角线相等且垂直是正方形，非矩形独有。 考点三 正方形的性质和判定 1.正方形的概念：有 的平行四边形叫做正方形。 2.正方形的性质：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有 的一切性质。 3.正方形的判定 （1）有 并且 的平行四边形叫做正方形。 （2）有一组邻边 的矩形是正方形。 （3）有一个角是 的菱形是正方形。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：四边相等、四角直角，对角线垂直、平分且相等；判定：既是矩形又是菱形。 ❌避坑：对角线垂直平分且相等才是正方形，仅垂直是菱形，仅相等是矩形。 题型一 利用菱形的性质求角度或线段长 典例1 （2026·江苏淮安·中考真题）菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 💡破题要诀 1. 连对角线：互相垂直且平分，构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 看边角：四边相等，对角相等、邻角互补，结合内角和求角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小，（菱形的边长不变）．若，则的度数为________． 2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为_______． 题型二 菱形的性质与判定综合问题 典例2 （25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为18，求菱形的面积． 💡破题要诀 1. 判定优先：先找四边相等或对角线垂直平分，证出菱形再套性质。 2. 性质跟进：用对边平行、四边相等、对角线垂直平分，转化求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接． (1)证明： (2)若，试证明四边形是菱形； (3)若，，求． 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知点是内一点，连接，． (1)当点在对角线上． ①如图1，若的面积为，的面积为，求的面积； ②如图2，若，，，求平行四边形的周长； (2)如图3，对角线与相交于点，点不在对角线上，连接，，与交于点，与交于点．求证：． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 题型三 利用矩形的性质求角度或线段长 典例3 （2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 💡破题要诀 1. 抓直角：四角为直角，构造直角三角形，用勾股定理求线段。 2. 用对角线：相等且互相平分，结合等腰三角形求角度。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分分别交，于点F，E，若，则的度数为____． 2．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 3．（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点E，F分别在上，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为______． 题型四 矩形的性质与判定综合问题 典例4 （25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，已知，延长到，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 💡破题要诀 1. 判定先行：找三角为直角或对角线相等且平分，证出矩形再套性质。 2. 性质转化：用四角直角、对角线相等，化归直角三角形求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，、分别是中线，相交于点O，F、G分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若， ①求证：四边形是矩形； ②若，，则的长度是_____． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． (2)若点M落在矩形内部（包含在边上）． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接，证明：四边形是菱形． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 题型五 利用正方形的性质求角度或线段长 典例5 （25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M．若，，则_________． 💡破题要诀 1. 抓四边等与四角直角：构造等腰直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 用对角线：相等、垂直且平分，结合45°角关系转化求角度。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点、分别在正方形边、上，，线段与相交于点，，分别取、的中点、，若，则正方形的边长为_____． 题型六 正方形的性质与判定综合问题 典例6 （25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 💡破题要诀 1. 判定先行：找四边等且一角直角，或对角线相等、垂直且平分，证出正方形。 2. 性质转化：用四边等、四角直角、对角线垂直平分，化归直角三角形求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 2．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图1：正方形中，点E、F分别在边上，，连接交于点O． (1)求证：； (2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的角平分线交于N，连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，连接，若四边形BENF的面积是25，，求的长． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，且． (1)如图，连接，则 ； (2)将图中的正方形绕着点按顺时针方向旋转一定的角度，得到正方形． 如图，过点作，交于点，求证：； 如图，正方形的对角线，相交于点，与相交于点，求的长． 题型七 菱形、矩形、正方形中作图问题 典例7 （25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，是边的中点，连接． (1)在边上确定一点，使得（尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若菱形的边长为，，求四边形的面积． 💡破题要诀 1. 依判定作图：按边等、直角、对角线垂直平分等条件，确定关键点位置。 2. 借性质验证：用四边相等、直角、对角线关系，检验作图并求角与线段。 迁移应用 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，四边形和四边形 都是正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（只能应用直尺进行连线，并保留画图的痕迹） ． (1)如图1， 过点E， 作线段的垂线； (2)如图2， 在上确定一点P，使． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． (1)如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； (2)如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； (3)当点E在的延长线上时，求的长． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在菱形中，，则菱形的面积是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是正方形，点E在对角线上，过点E作交于点F．若，，则正方形的边长为（     ） A．10 B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，是矩形的对角线，，，过作，交延长线于点，若，则的值为________． 8．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线上不与端点重合的一动点，当为等腰三角形时，的长是__________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，D为中点，连接，E为中点，过点B作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 10．（25-26九年级下·吉林·期中）如图，点、分别在的边上，，． (1)仅用圆规和无刻度直尺，在图中作的角平分线交射线于点，连结；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑） (2)利用（1）中所画图形，求证：四边形是菱形． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）矩形的对角线，相交于点O，且，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，过点O作，交于点F，交于点G，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于四边形的面积的． 12．（25-26八年级下·四川南充·期中）正方形中，E为射线上一点． (1)如图1，F为对角线上一点，过点F作于点E，连接，若，，那么________； (2)如图2，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求线段的长； (3)如图3，E、G分别为的中点，连接和交于点Q，连接，求证：． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形中，对角线相交于点O，M、N分别是的中点，，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（    ）米． A．6 B．7 C．8.5 D．12 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，正方形的边长为4，点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接，过点作，垂足为，连接，则有以下结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 6．（25-26八年级下·天津河北·期中）如图，正方形的边长为4，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，，G为的中点，连接，交于点H，连接． （1）面积为______； （2）线段的长为______． 三、解答题 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长； (3)如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 8．（25-26八年级下·河南许昌·期中）解决下列问题： (1)如图①，在正方形中，点，分别是边，上的点，，与交于点．直接写出与的位置关系及数量关系 ； (2)点，分别在边，的延长线上，且．（1）中结论是否也成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出理由； (3)在（2）的基础上，连接，，分别取，，，的中点，，，，请判断四边形的形状，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $