专题02 菱形、矩形、正方形中的折叠、旋转、新定义型问题9大题型30题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02菱形、矩形、正方形中的折叠、旋转、新定义型问题 题型图谱导航总览 题型1菱形中的折叠问题（重点） 基础固本强基 题型2矩形中的折叠问题（重点） 题型3正方形中的折叠问题（重点） 题型4菱形中的旋转问题（难点） 提升·进阶突破 题型5矩形中的旋转问题（难点） 题型6正方形中的旋转问题（难点） 题型7菱形中的新定义型问题（难点） 拔高·压轴破难 题型8矩形中的新定义型问题（难点） 题型9正方形中的新定义型问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1菱形中的折叠问题（共5小题） 【模型】菱形沿折痕折叠，利用四边相等和对角线垂直平分，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用菱形边等找等量，设未知数在直角三角形中，用勾股定理列方程 求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，菱形对角线垂真平分俱不相等：，勿把折痕当对角线，设未知数时选准 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直角三角形，注意边等条件。 1. (25-26八年级下·山东济南期末)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使得点B恰好落在边AD的中点B' 处， 折痕为EF.若菱形ABCD的边长为lcm,∠A=120°，则CF=cm, E B 2.(23-24八年级下河北邢台期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°. D (1)∠C= (2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C',且DC是AB的垂直平分线， 则∠DEC的大小为 3.(25-26八年级下·浙江杭州·期未)在菱形纸片ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得△FBE, 点A的对应点F落在CD边上， D D B (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠A=70°，求∠ABE的度数： (②)如图2，连接AC,若AB=BE,求证：EFI‖AC: (3)如图3，若F是CD的中点，求DE:DF的值. 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下广东广州期末)数学活动课上，同学们以菱形ABCD纸片开展“折纸”活动.已知 ∠ABC=60° D A M D E B B 图1 图2 (I)如图1，折叠后，使点C落在对角线BD上的点E处，得到折痕BF,连接EF,证明：∠EFC=9O°； (②)如图2，折叠后，使点C落在边AD上的点M处，折痕与对角线BD交于点N处，连接CM,CN, MN ①求∠MNC的度数： ②若菱形ABCD的边长为6，则△CMN的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由. 5.(25-26八年级下广西南宁期末)【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折 叠”为主题开展小组数学活动。 己知菱形纸片ABCD,∠BCD=60° B R A D 图1 图2 图3 【成果展示】 ()第一小组：如图1，连接AC,折叠菱形纸片ABCD,使点A落在对角线AC上的点P处，折痕分别交 AB,AD于点F,E.判断四边形AFPE的形状，并加以证明. (2)第二小组：将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P,折痕交 AD于点E,EP交CD于点G】 ①判断DG和PG的数量关系，并加以证明. ②将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中BP交CD于点M.若M恰好是CD 的中点，且AB=4,求线段AE的长， 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2矩形中的折叠问题（共5小题） 【模型】矩形沿折痕折叠，利用对边相等和四角直角，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用矩形直角找直角三角形，设未知数表示线段，用勾股定理列方程 求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，矩形四角为直角；勿把折痕当边，设未知数时选准直角三角形，注意 对边相等条件。 6. (25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E,AE 与CD交于点F,其中AB=3,AD=2,则DF的长为一 D ----------------B 7.(25-26八年级下·辽宁抚顺期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,将△ABC沿对角线AC折叠得到 AAB'C B'C AD △CDE CE D' △ABC 与 边交于点E,再将沿折叠得到 力卫，若点恰好落在心 的边上，则 BC的长为 D A B 8.(25-26八年级下江苏徐州期中)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C 处，折痕为EF. 4/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：BE=BF: (②)若AB=6,AD=8,求AE的长. 9.(25-26八年级下广东广州期中)宽与长的比是 5,(约为061g)的还形叫位黄金矩形.现有一张 矩形纸片ABCD,宽AB=2.如图1，折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接EF, 然后将纸片展开得黄金矩形CDEF(DE<EF). D A F 图1 图2 (1)求证：四边形ABFE是正方形： (2)求AD的长； (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折痕为FP,过点 P作P№⊥EF于点.四边形BFP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由. 10.(25-26八年级下·重庆·期中)利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变 化，及其蕴含的数学思想和方法.已知矩形纸片MBCD的边MB=V5,B为BC边上的动点(B不与B,C 重合)，将矩形纸片ABCD沿着AE对折，点B落在点F处 D A D D B B B E 图1 图2 图3 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的对角线交点处，求AD的长. (②)如图2，若EF的延长线恰好经过点D,AD=6,求BE的长. (3)如图3，若AD=AB,连接DF,CF,当△DFC是等腰三角形时，求BE的长 题型3正方形中的折叠问题（共5小题) 【模型】正方形沿折痕折叠，利用四边相等和四角直角，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用正方形直角找直角三角形，设未知数表示线段，用勾股定理列方 程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，正方形四角为直角且四边相等；勿把折痕当边，设未知数时选准直 三角形，注意对角线性质。 11. (25-26八年级下·四川巴中期中)将一组张矩形纸片MNP9按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的 一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB；第二步，如图2，把这个正方形沿CD折成两个全等的矩形， 再把纸展平；第三步，折出内侧矩形ABCD的对角线BD,并把BD折到图3中的DE处：第四步，展平纸 AE 片，按所得的点E折出EF,即得到矩形AEFB,则AB的值为 M B MC B M B N D E 图1 图2 图3 图4 12.(25-26八年级下·湖北武汉期中)如图，将矩形ABCD沿AE按图1的方式折叠，点B的对应点B落 在AD上；再按如图2所示将所得梯形纸片AECD沿AG折叠，边AD恰好与折痕AE完全重合.已知 AD=√2ABCE, 的长为.下列结论：O∠GMD=2.50,。CE=CG AECG ,3+2W2 ② ；③四边形的面积为 DG:CG-2:1 其中一定正确的结论有一（填写序号即可）， 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D D G E E(D)C 图1 图 13.(25-26八年级下广东广州期中)如图，已知正方形ABCD,AB=6,E为BC的中点，连接DE, 把△CDE沿DE折叠得到△CDE,连结BC交MAB于点F D B (I)求证：△ADF≌aCDF: (2)求AF,BF的长， 14.(25-26八年级下·江苏无锡·期中)综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学 习活动，具体探究过程如下. E P 图① 图② 图③ (1)【操作判断】 操作一：对折矩形ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：在BC上取一点P,沿着AP折叠，使点B落在矩形内部点Q处，把纸片展平，连接AP, 根据以上操作，如图1，当点Q落在EF上，则∠BAP=； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照上述操 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作，点Q在EF上，延长PO交CD于点M,如图2. ①求证：QM=DM: ②求PM的长度. (3)【拓展应用】 小敏在(2)的操作基础上继续探究，连接AF,当点Q落在AF上，如图3，过P点作PN⊥AD于点N, 求AN的长度， 15.(25-26八年级下·河南南阳期末)综合与探究 问题情境 FD EM D EC B G 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动.老师先提出一个问题：如图1，将矩形ABCD 沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在BC边上，折痕与AD交于点F,试判断四边形ABEF的形 状，并说明理由，请解答老师的问题. 动手实践 (②)如图2，点E是AD的中点，勤学小组的同学将矩形ABCD沿直线BE折叠，点A的对应点为F,连接 DF,并延长，交BC于点G. ①试判断四边形BGDE的形状，并说明理由： ②如图3，过点F作直线MN⊥BC,分别交AD,BC于点M,N.若点F是线段MN的三等分点， AB=6,直接写出BN的长. 提升进阶突破 题型4菱形中的旋转问题（共2小题) 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】菱形绕某点旋转，利用四边相等和对角线垂直平分，结合全等或勾股求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用菱形边等找全等，设未知数用勾股或方程 求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等；菱形对角线垂直平分但不相等；勿把旋转角当菱形内 角，注意对应点连线与旋转中心。 16. (25-26八年级下广西南宁·期末)综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点A,大型钢架为菱 形ABCD,小型钢架为菱形AEFG,设计图纸规定两个菱形顶角∠BAD=∠EAG,BE、DG是钢架支撑杆」 施工时小型钢架AEFG锁死固定不动，大型钢架ABCD可绕支点A自由旋转调整摆放角度，工程人员需要 测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题. 图1 图2 【操作发现】 (1)如图1，调整大型钢架，使得大型钢架边AD与小型钢架边AE重合.请直接写出钢架支撑杆BE与DG 之间的数量关系。 【探究验证】 (2)按图2方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点D落在小型钢架的侧边EF上，请问(1)中的结论是否仍然 成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 【拓广探究】 (3)现场实测：图1摆放状态下∠ABE=45°，∠BAD=60°，大型钢架边长AB为6米. ①求小型菱形钢架AEFG的边长， ②旋转调整大型钢架菱形ABCD,当A、B、F三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆CG, 请直接写出CG的长度， 17.(2026河南南阳·一模)如图(1)，点M在菱形ABCD的对角线AC上，MN∥BC交CD于点N, ” 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MG∥CD交BC于点G,∠ABC=120° 初步感知 图(1) 图(2) 备用图 (I)①连接GN.求证：△MWG为等边三角形： AM ②BG的值为 深入探究 (2)将四边形MNCG绕点C顺时针旋转(O°<旋转角<360°)，连接AM,BG,CM,如图(2)，在旋 转过程中，试探究AM与BG之间的数量关系是否发生变化，并说明理由. 拓展运用 (3)连接GN,AM,CM.若AC=8,CM=2,则在四边形MNCG绕点C旋转的过程中，当GN∥AB时， 直接写出AM的长. 题型5矩形中的旋转问题（共2小题） 【模型】矩形绕某点旋转，利用对边相等和四角直角，结合全等或勾股定理求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用矩形直角找直角三角形，设未知数用勾股 或方程求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等；矩形四角为直角但对角线不一定垂直；勿把旋转角当矩 形内角，注意对应点与旋转中心连线。 18.(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG,且点E落在 AD边上，连接BE,BG,BG交CE于点H. 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B (1)求证： ①BE平分∠AEC: ②H是BG的中点： (②)连接FH,若FH平分∠EFG,CH=2,求AE的长. 19.(25-26九年级上：广东东莞期中)在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,以点A为旋转中心，逆时针旋转 矩形MBCD,旋转角为 (0°<a<180) 得到矩形4EFG,点B、点C、点D的对应点分别为点B、点 F、点G. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E落在DC边上时，写出线段DE的长度为. (2)如图2，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H,连接AC, ①求证：△ACD≌ACAE: ②计算线段AH的长度， (3)如图3，设点P为边FG的中点，连接PB,PE,在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大 值？并说明理由. 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6正方形中的旋转问题（共5小题) 【模型】正方形绕某点旋转，利用四边相等和四角直角，结合全等或勾股定理求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用正方形直角找直角三角形，设未知数用勾 股或方程求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等：正方形对角线垂直平分且相等：勿把旋转角当内角，注 意对应点与旋转中心连线。 20. (25-26八年级下·广西贵港期中)如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°，将Rt△CBE 绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到△CDE(点B的对应点为点D),延长BE交DE'于点F,连接AE. E B 图1 图2 (I)四边形CE'FE是 (填：平行四边形、矩形、正方形中最合适的一个)； (2)如图2，若AB=AE,猜想线段DF与FE的数量关系，并证明 21.(25-26七年级下·贵州贵阳期未)特殊化是解决数学问题时常用的一种策略.有一个正方形ABCD和 △EOF∠EOF=90°E0=FO(EO>CO ,其中正方形的中心为点0，AB=4.现将△BOF绕着点O进 行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积， B A B 0 D N 图① 图② (1)特殊情形，如图①，当点C,D分别在边OE,OF上时，求重叠部分的aOCD的面积： 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)一般情形，如图②，当边OE,OF分别交边BC,CD于点M,N时，求重叠部分的四边形OMCN的 面积. 22.(25-26九年级上福建莆田·期中)综合与探究 问题情境：如图1，正方形ABCD与正方形CEFG的点C重合，点E在CD边上，点G在BC边的延长线上. 连接AF,取AF的中点M,连接DM,EM. A 图1 图2 备用图1 观察论证： (1)请写出图1中DM与EM的数量关系和位置关系并证明. 操作探究：将正方形CEFG绕点C逆时针旋转一周， (2)在旋转过程中，(1)中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； (3)在旋转过程中，当点D,E,F在同一条直线上时，若AB=13,CE=5,请直接写出线段AF的长. 23.(25-26九年级下山东菏泽·期中)综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征.某数学小组对角平分线定理、线段垂直平 分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示 D E E B B B B B 图1 图2 图3 【归纳总结】 (I)定义：四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD则称该四边形为筝形.请写出筝形的两条性质（不需证 明)： ① 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ② 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形AB'CD',边B'C'与CD交于点E.求 证：四边形ABED是筝形； 3)若将(2)中“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其余条件不变，如图2，(2)中的结论是否仍然 成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形AB'ED正确结论 【拓展延伸】 (4)如图3，在(2)的正方形旋转图形中，连接AE、B'D交于点O.若正方形边长为6，求CO的最小值. 24.(25-26八年级下·河南新乡·期末)【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正 方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形MBCD ABCO 的对角线相交于点O,点O又是正方形 的一个项点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分.正方形可绕点O旋 转. D D A A D B C 图1 图2 图3 备用图 【问题发现】 (I)图1中，连接EF,线段AE、CF、EF之间的数量关系是 【类比迁移】 2)如图2，矩形ABCD ABCO AO 的对角线相交于点O,点O是矩形 的一个顶点， 与边AB 相交于点E, Co BC 与边 相交于点R,连接EF,判断线段4E、CF、BF之间的数量关系，并说明理由. 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,∠DAB=90°，点E为梯形对角线AC的中点，四边形EFGH 为矩形，∠HEF的两边分别与直线AB、BC相交于点N、M,矩形EFGH可绕点E旋转.己知AB=6, 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=8,当AW=5时，请直接写出线段CM的长. 拔高压轴破难 题型7菱形中的新定义型问题（共2小题) 【模型】按新定义规则，结合菱形四边相等、对角线垂直平分的性质进行判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合菱形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否符 合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；菱形对角线垂直平分但不相等；注意新定义中的限制条 件，勿漏验证。 25. (24-25八年级下·四川成都期中)定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个项点的距离都等 于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”， D 图1 图2 ()在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是一；（填序号） (2)①：如图1，在菱形ABCD中，AB=8,∠A=60°，BE⊥CD于点E,点F是菱形ABCD边上的一点，顺次 连接B、E、D、F,若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长： ②：将①中条件改为∠A=45°，其余条件不变，请画出图形，并求出以EF为边的正方形面积. (③)如图2，在平行四边形ABCD中，AD=CD=12,AB=AC,点P是△ABC内任意一点，在AB、BC、CA 上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三 个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由 26.(25-26八年级下·湖南长沙期末)定义：在菱形ABCD中，若直线MN平行于菱形ABCD的一条对角 线，其中点M,N为凸四边形ABCD边上的点（异于顶点），则称线段MN为菱形ABCD中关于此对角线 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的“中轴弦”.如图1，若MN∥AC,则称线段MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”. 图1 图2 图3 (I)若HB=&,BD=8 2,线段MW为菱形4BC 中关于 C的“中轴弦”，且M、N分别是各边上的中点， ∠B的度数为；MN的长度为 (②)如图2，在菱形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，连接AN、CM相交于点O,连接BO, ∠ABO=∠OBC,求证：MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”. (3)如图3，EF、GH是菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”，且位于AC异侧，AC与BD交于点I,连接 E、P、H、G、EH、FG,记凸四边形EFGH,aBF,aG 的面积依次为S,,9 四边形 EGH的照长为C,若8+829，试用含C与5的式子表示E+1G, 题型8矩形中的新定义型问题（共2小题) 【模型】按新定义规则，结合矩形对边相等、四角直角、对角线相等的性质判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合矩形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否符 合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；矩形对角线相等但不垂直；注意新定义中的限制条件， 勿漏验证。 27. (25-26八年级下·山东德州期末)定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重 叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形. 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D E HF F D 图1 图2 图3 (I)操作发现：将平行四边形纸片ABCD按图1所示折叠成完美矩形AEFG(折痕分别为AE,GF),若 平行四边形ABCD的面积为30，BC=6,则EF= _,AE= (2②)类比探究：将三角形纸片△ABC按图2所示折叠成完美矩形EFGH(折痕分别为EF,HG,EH), 若DE=25,DH=5,FG=5,求△MBC 的面积； 3)拓展延伸：将平行四边形纸片ABCD按图3所示折叠成完美矩形EFGH(折痕分别为EF,FG,GH, HE),若EF:EH=3:4,AD=10,求完美矩形EFGH的面积. 28.(26-27九年级上广西南宁·开学考试)定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三 角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是直等四边形，这条对角线叫做直等线. E G 图1 图2 图3 (I)如图l,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE∥AC,AE∥BD,求证：四边形ABDE是直等 四边形： (2)如图2，菱形ABCD中，AB=I0,AC=12,点O是对角线的交点，在CD右侧有一点E,使得四边形 OCED为直等四边形，其中CE=DE,且CD为直等线.若四边形OCED的面积为54，请求出CE的长； (③)如图3，在菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=120°，E为AB边上一点，点F在BC边上运动，连接 DF,点G是DF的中点，作FH⊥CE于H,连接GH,若四边形ADCE为直等四边形，请求出GH的最 小值. 题型9正方形中的新定义型问题（共2小题) 17/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】按新定义规则，结合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分的性质判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合正方形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否 符合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；正方形对角线垂直平分且相等；注意新定义中的限制条 件，勿漏验证。 29. (25-26九年级上河南郑州期中)定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四 边形叫作“奋进四边形”， A B M 图1 图2 ()下列四边形中，是“奋进四边形”的是 ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形： (②)正方形ABCD中，点M,N分别为BC,CD上一点，且BM=DN,如图1，连接MN,过点M作 PM⊥MN于点M,连接AW,PW,AM,若四边形APMN为“奋进四边形”. ①求证：PN=AW; ②若AB=3,求CN的值： (3)如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=1,点P为AB右侧平面内一点，且四边形ACBP为 “奋进四边形”，过点P作PO⊥BC于点Q,交CB的延长线于点Q,若△ABC与△BPO是相似三角形，请 直接写出CQ的长。 30.(25-26八年级下·广东广州期中)我们定义：对角线互相垂直且长度之比为k的四边形叫做“k一神 奇四边形” 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M H BO E 图1 图2 图3 (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“1一神奇四边形”的是一（填 序号)； (2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G,连 接AG、EG.点MN、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点.证明：四边形MNPO是“1-神奇四边 形”： (3)如图2，点R、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边 B'C'恰好经过点A,过点A作AO LFR于点O. ①请画出点T,使四边形AFTR为“1一神奇四边形”（不需要证明）； ②若AB-2,正方形的边长为6，求线段OF的长： (④如图3，将图1中的正方形ABCD压扁成为（菱形ABCD,点E,G分别为边BC,CD上的点， 2 ∠BGC=60°，且满足四边形ABEG为“3-神奇四边形”·若BE=5√3，求神奇四边形ABEG的面积. 19/19专题02 菱形、矩形、正方形中的折叠、旋转、新定义型问题 基础·固本强基 题型1 菱形中的折叠问题（重点） 题型2 矩形中的折叠问题（重点） 题型3 正方形中的折叠问题（重点） 提升·进阶突破 题型4 菱形中的旋转问题（难点） 题型5 矩形中的旋转问题（难点） 题型6 正方形中的旋转问题（难点） 拔高·压轴破难 题型7 菱形中的新定义型问题（难点） 题型8 矩形中的新定义型问题（难点） 题型9 正方形中的新定义型问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 菱形中的折叠问题（共5小题） 【模型】菱形沿折痕折叠，利用四边相等和对角线垂直平分，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用菱形边等找等量，设未知数在直角三角形中，用勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，菱形对角线垂直平分但不相等；勿把折痕当对角线，设未知数时选准直角三角形，注意边等条件。 1．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，将菱形纸片折叠，使得点恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形性质和证明是等边三角形，利用等腰三角形三线合一性质得出，结合平行线性质得出，设，利用折叠性质和勾股定理列方程求解． 【详解】解：连接、， 四边形是菱形，， ，，， 是等边三角形， 点是边的中点， ，， 在中，， ， ，即， 设 ，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴． 2．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1）________． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为________． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】由四边形是菱形，则，，，所以，通过折叠性质可知，，所以，根据等边对等角得，所以，最后由角度和差即可求解； 由四边形是菱形，则，，所以，由折叠性质可得，，，，证明，所以，可得，则，得，所以，通过平行线的判定方法即可求证； 延长，交于点，证明，所以，，设，，则，，则有，，求得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）略； （3）解：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 4．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， (2)①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 5．（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片， ， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； (2)①， 证明：如图，连接， ∵菱形， ， ∴， ∴是等边三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可； 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，， ∵， ， ∵恰好是的中点， ， ， ∵， ， ， 根据①可得， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ． 题型2 矩形中的折叠问题（共5小题） 【模型】矩形沿折痕折叠，利用对边相等和四角直角，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用矩形直角找直角三角形，设未知数表示线段，用勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，矩形四角为直角；勿把折痕当边，设未知数时选准直角三角形，注意对边相等条件。 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形和折叠的性质得到，，结合，得到，得到，据此根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在矩形中，，将沿对角线折叠得到，与边交于点E，再将沿折叠得到，若点恰好落在的边上，则的长为______． 【答案】或 【分析】利用折叠性质挖掘角度和线段的等量关系，并根据点落在不同边上的情况进行分类讨论． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴，，，，，， 由题意分情况讨论： ①如图，当点落在边上时： ∵点在上， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图，当点落在边上时： ∵点在上，， ∴， ∵矩形中，， 即， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，， 在中，，， ∴， ∵点E在上， ∴， 即， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 综上所述，的长为或． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 9．（25-26八年级下·广东广州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张矩形纸片，宽．如图1，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开得黄金矩形（）． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的长； (3)如图2，点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形是黄金矩形，证明见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，结合矩形的性质可得，则，结合，因此四边形是正方形； （2）由正方形的性质可得，根据黄金矩形的定义可得，计算出后，与相加即可； （3）连接，设，由折叠的性质可得，，，，由勾股定理可得，则．利用勾股定理可得，从而求出，容易证明四边形是矩形，结合，因此四边形是黄金矩形． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形是黄金矩形， ∴， ∴， ∴； （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： 如图，连接，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处． (1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长． (2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长． (3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)的长为1或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到点是的中点，，求得；根据勾股定理得到，得到； （2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论； （3）①当时，过点作于，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到求得，进而求解；②当时，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，求得； 【详解】（1）解：如图，连接， 将矩形纸片沿对折，点落在点处，点恰好落在矩形的对角线交点处， 点是的中点，， ， ， ； （2）解：将矩形纸片沿着对折， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：①当时，过点作于，如图， 正方形沿着对折， ， ， 是等边三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当时，如图， ， 点在的垂直平分线上， 点在的垂直平分线上， ， 正方形沿着对折， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴在中，， ， 综上所述：的长为1或． 题型3 正方形中的折叠问题（共5小题） 【模型】正方形沿折痕折叠，利用四边相等和四角直角，结合勾股定理求线段。 【步骤】先标折叠前后对应边角，利用正方形直角找直角三角形，设未知数表示线段，用勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，正方形四角为直角且四边相等；勿把折痕当边，设未知数时选准直角三角形，注意对角线性质。 11．（25-26八年级下·四川巴中·期中）将一组张矩形纸片按如下操作折叠：第一步，在矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形；第二步，如图，把这个正方形沿折成两个全等的矩形，再把纸展平；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中的处；第四步，展平纸片，按所得的点折出，即得到矩形，则的值为______． 【答案】 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理得，然后根据图折叠方式得出，即得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：按图方式折叠，可得正方形， 按图方式折叠，可得， ∴， 按图方式折叠，则， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，将矩形沿按图1的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图2所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合．已知，的长为．下列结论：①；②；③四边形的面积为；④．其中一定正确的结论有______（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】先利用矩形和第一次折叠的性质，求出的度数；再结合第二次折叠的性质，得到，从而判断；利用折叠性质和角度关系得到是等腰直角三角形，进而判断②、④；设，根据和求出的值，再利用折叠性质和勾股定理求出、的长度，最后用割补法计算四边形的面积，即可判断． 【详解】解：由矩形知，，，， 由第一次折叠知，，，， ∴， 四边形是矩形， ∵， 矩形是正方形， ∴， 由第二次折叠知，与重合， ， ，故①正确； 由第二次折叠知，落在上的点， ，，， 由①得， 则， ∴， 又， 是等腰直角三角形， ，，②正确， ∴，④正确； 设，则， 由①知， ， ，， ， ， 解得， ，， ∴ ，③错误． 13．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】(1)30 (2) ①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ② (3) 【分析】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∴． ． 是等边三角形． ． ． （2）解：①略； ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． （3）解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 15．（25-26八年级下·河南南阳·期末）综合与探究 问题情境 (1)数学活动课上，老师带领同学们利用矩形纸片开展活动．老师先提出一个问题：如图1，将矩形沿过点B的直线折叠，使得点A的对应点E落在边上，折痕与交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由．请解答老师的问题． 动手实践 (2)如图2，点E是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点A的对应点为F，连接，并延长，交于点G． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②如图3，过点作直线，分别交，于点，．若点是线段的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)四边形为正方形；    理由如下： 矩形， ， ∵折叠， ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形．   (2)①四边形为平行四边形；    理由如下： 四边形为矩形， 点是的中点， ， 将矩形沿直线折叠，点的对应点为， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形；    ②或（由于没学二次根式，所以若写或也可） 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②分两种情况进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵过点作直线，分别交，于点，． ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 当是靠近点的三等分点时， ， ∴在中，； 当是靠近点的三等分点时， ， ∴在中，． 提升·进阶突破 题型4 菱形中的旋转问题（共2小题） 【模型】菱形绕某点旋转，利用四边相等和对角线垂直平分，结合全等或勾股求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用菱形边等找全等，设未知数用勾股或方程求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等；菱形对角线垂直平分但不相等；勿把旋转角当菱形内角，注意对应点连线与旋转中心。 16．（25-26八年级下·广西南宁·期末）综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 17．（2026·河南南阳·一模）如图（1），点在菱形的对角线上，交于点，交于点，． 初步感知 (1)①连接．求证：为等边三角形； ②的值为__________． 深入探究 (2)将四边形绕点C顺时针旋转（旋转角），连接，，，如图（2），在旋转过程中，试探究与之间的数量关系是否发生变化，并说明理由． 拓展运用 (3)连接，，．若，，则在四边形绕点旋转的过程中，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)不发生变化．理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明四边形是菱形，利用菱形的性质可得，，即可得证；证明，得到，，再由菱形的性质得到，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得的度数，解直角三角形得到与的数量关系，即可得解； （2）由（1）可得，由旋转的性质可得，，分两种情况讨论，当，，三点不共线时，当，，三点共线时，根据线段之间的数量关系求解即可； （3）分两种情况讨论．当，两点位于两侧，当，两点位于同侧，先通过平行线的性质证明，，三点共线，过点作的垂线，通过解直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，． 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形．                     解：，， ， ，． 四边形是菱形， ， ， ， ．    （2）解：不发生变化．理由如下： 在题图（1）中，， ， ， ， 当，，三点不共线时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ．         当，，三点共线时，． 综上，在旋转过程中，．               （3） 解：由（2）可知， ，， ，． 是等边三角形，． 分两种情况讨论． 当，两点位于两侧，且时，如图（1）． ， ， ， ， ，，三点共线．过点作于点，连接， ，， ， ， ． 当，两点位于同侧，且，如图（2）． ， ， ． ， ，，三点共线， ． 过点作于点，连接， 则，， ， ， ． 综上，的长为或． 题型5 矩形中的旋转问题（共2小题） 【模型】矩形绕某点旋转，利用对边相等和四角直角，结合全等或勾股定理求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用矩形直角找直角三角形，设未知数用勾股或方程求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等；矩形四角为直角但对角线不一定垂直；勿把旋转角当矩形内角，注意对应点与旋转中心连线。 18．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． (1)求证： ①平分； ②H是的中点； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，      由旋转性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 证明：如图，过点作于点，      由①可知， 又∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点； (2)1 【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解； 过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可； （）作于点，由（）得出，，再通过全等三角形性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 略 （2）解：如图，作于点，      由()可知，， ∴，， ∵，平分， ∴ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 19．（25-26九年级上·广东东莞·期中）在矩形中，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图1，当点E落在边上时，写出线段的长度为________； (2)如图2，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接， ①求证：； ②计算线段的长度． (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？并说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ② (3)的面积存在最大值， 理由如下： ∵为边的中点， ∴， ∴， 过A作， ∴当，，三点共线时高最大，三角形面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，三角形全等的判定和性质： （1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）①根据旋转及矩形得到，，即可得到证明；②根据得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴； （2）略 ① ②解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴； （3）略 题型6 正方形中的旋转问题（共5小题） 【模型】正方形绕某点旋转，利用四边相等和四角直角，结合全等或勾股定理求解。 【步骤】先标旋转前后对应边角，找旋转中心与旋转角，利用正方形直角找直角三角形，设未知数用勾股或方程求解。 【易错】旋转前后对应边角相等，旋转角相等；正方形对角线垂直平分且相等；勿把旋转角当内角，注意对应点与旋转中心连线。 20．（25-26八年级下·广西贵港·期中）如图1，点为正方形内一点，，将绕点沿顺时针方向旋转，得到（点B的对应点为点D），延长交于点F，连接． (1)四边形是_____（填：平行四边形、矩形、正方形中最合适的一个）； (2)如图2，若，猜想线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2) 解：猜想，证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ ， ∴， 由旋转的性质可得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，则可证明四边形是正方形； （2）连接，证明，得到，设，则，则可求出，由旋转的性质可得，则可证明，进一步证明是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）略 21．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）特殊化是解决数学问题时常用的一种策略．有一个正方形和，，，其中正方形的中心为点，．现将绕着点进行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积． (1)特殊情形，如图①，当点，分别在边，上时，求重叠部分的的面积； (2)一般情形，如图②，当边，分别交边，于点，时，求重叠部分的四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）如图①，连接，，根据全等三角形的判定与性质得到，从而求出结果； （2）先证明，得到，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如图①，连接，， 正方形的边长为4， ． 点是正方形的中心，，点分别在边，上， ，． ， ． 重叠部分的的面积为4； （2）如图②，连接，，由（1）得， ，， ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ． 重叠部分的四边形的面积为4． 22．（25-26九年级上·福建莆田·期中）综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）结论：，， 理由：如图1中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （3）的长为或 【分析】（1）延长交于，由题意易得，，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）①如图3中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； ②如图，作于，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； 综上可得：的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 23．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题背景】数学学习中，很多特殊图形具有共同的结构特征．某数学小组对角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行研究，发现它们都包含一种特殊四边形模型，如图所示． 【归纳总结】 (1)定义：四边形中，若，则称该四边形为筝形．请写出筝形的两条性质（不需证明）： ①_____； ②_____． 【知识迁移】 (2)如图1，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，得到正方形，边与交于点E．求证：四边形是筝形； (3)若将（2）中“正方形”改为“菱形”，其余条件不变，如图2，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形正确结论． 【拓展延伸】 (4)如图3，在（2）的正方形旋转图形中，连接、交于点O．若正方形边长为6，求的最小值． 【答案】(1)①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半（本题答案不唯一，只要正确即可） (2) 证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， 在和中， ， ， ， ∴四边形是筝形． (3) 解：四边形是筝形， 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， ∴四边形是筝形． (4) 【分析】（1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等；（本题答案不唯一，只要正确即可） （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A、E在线段的垂直平分线上， ， ， ∴点O在以线段为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵正方形的边长为6， ∴， ，且M为的中点， ， ∴， ． 24．（25-26八年级下·河南新乡·期末）【实践探究】小明同学在做《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置：如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分．正方形可绕点O旋转． 【问题发现】 (1)图1中，连接，线段、、之间的数量关系是________； 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的对角线相交于点O，点O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【结论应用】 (3)如图3，在直角梯形中，，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点N、M，矩形可绕点E旋转．已知，，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 延长交于点G，连接，，， 矩形的对角线相交于点O， ，，， ，， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ； (3)或10 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （2）延长交于点G，连接，，，先证明，得到，，进一步推得，再结合勾股定理，即可求得答案； （3）设， ①当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点P，连接， 由（2）知，再结合勾股定理列方程求解即可； ②当点N在线段上时，过点C作，交的延长线于点Q，连接，，先证明，并进一步证明，，即可根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，，，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：线段的长为或10．理由如下： 设， ①当点N在线段上时， 过点C作，交的延长线于点P，连接， 由知， ，， ， 由（2）知， ， 在中，， ， ， 解得； ②当点N在线段的延长线上时， 过点C作，交的延长线于点Q，连接，， 点E为梯形对角线的中点， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， 综上所述，线段的长为或10． 拔高·压轴破难 题型7 菱形中的新定义型问题（共2小题） 【模型】按新定义规则，结合菱形四边相等、对角线垂直平分的性质进行判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合菱形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否符合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；菱形对角线垂直平分但不相等；注意新定义中的限制条件，勿漏验证。 25．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)①：如图1，在菱形中，于点E，点F是菱形边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形为“等距四边形”，求线段EF的长； ②：将①中条件改为，其余条件不变，请画出图形，并求出以为边的正方形面积． (3)如图2，在平行四边形中，，点P是内任意一点，在上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，求这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②； (2)①或8； ②如图， 以为边的正方形面积为或； (3)存在，这三个“等距四边形”的周长和为． 【分析】本题考查了矩形、菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“等距四边形”的定义逐一判断即可． （2）①分两种情况：当点F在上且BF⊥AD时，当点在上且时，分别求解即可； ②分两种情况：当点在上且时， 当点在上且时，四边形是等距四边形，分别求解即可； （3）过点分别作于，于，于，先证明四边形是菱形，再得到是等边三角形，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：①根据等距四边形的定义，当点F在上且BF⊥AD时，四边形是等距四边形，如图1，取的中点O，连接， ∵， ， ， 四边形是等距边形， 在菱形中，，，， ， ， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； ②根据等距四边形的定义，当点在上且时，四边形是等距四边形，如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距边形， 在菱形中，，，， ， ， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等腰三角形， 在中，， ， 过作于， ， ， ， ∴以为边的正方形面积为； 当点在上且时，四边形是等距四边形， 连接，，交于点， ∵，， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的正方形面积为； （3）解：过点分别作于，于，于，如图2， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 在中，，， ∵， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形，四边形，四边形的周长的和为． 26．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． (1)若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． (3)如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 【答案】(1) (2)证明：在菱形中，， ∴， ，， ． ， ， 又∵，， ， ， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ，即为菱形中关于的“中轴弦”； (3) 【分析】（1）连接交于P，首先，根据菱形的性质，得，，，再由勾股定理，得，的长，然后，再证得是等腰直角三角形，进而得，可得的度数；再证得是的中位线，即可求得的长； （2）首先，根据菱形的性质及，证得，得，进而得，再证得，得，可得，最后，证得，即可证得结论； （3）首先，证得，得四边形是梯形，再证得，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，则两条平行线与之间的距离，在梯形中，，由，可得，进而得或，记与交于点，与交于点，证得，同理可证，，可得，再证得四边形为平行四边形，均为等腰三角形，证得，，由，，得，四边形为平行四边形，得设，得．在中，，在中，，进而得，再由，化简可得结果． 【详解】（1）解：如图1，连接交于P， ∵在菱形中，交于P，， ∴，，，， 在中，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； ∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）略； （3）解：由题可知，， ， ∴四边形是梯形， 如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点， 则两条平行线与之间的距离， ∵在菱形中， ∴， ∴，， ∴， ，， ∵在梯形中，，， ， 整理，得， 或， ∵在菱形中， ∴， ∴当时，，即， 又∵， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴均为等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴， 设， ， 在中，， 同理可知，在中，， ∵，，即， ∴， ， ． 题型8 矩形中的新定义型问题（共2小题） 【模型】按新定义规则，结合矩形对边相等、四角直角、对角线相等的性质判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合矩形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否符合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；矩形对角线相等但不垂直；注意新定义中的限制条件，勿漏验证。 27．（25-26八年级下·山东德州·期末）定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为，），若平行四边形的面积为30，，则________，________； (2)类比探究：将三角形纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，，）．若，，求完美矩形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，，根据平行四边形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质得出，设，则，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中线平分面积进行求解即可； （3）连接，易得四边形是平行四边形，得到，设，，勾股定理求出，再根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为30，， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：连接， 由折叠可知：为的中点，为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴ ∴解得 ∴四边形的面积为． 28．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是直等四边形，这条对角线叫做直等线． (1)如图，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是直等四边形； (2)如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在右侧有一点，使得四边形为直等四边形，其中，且为直等线．若四边形的面积为，请求出的长； (3)如图，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为直等四边形，请求出的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，又是直角三角形， ∴四边形是直等四边形； (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到是直角三角形，，再证明四边形是平行四边形，推导出，则是等腰三角形，根据题中定义可证得结论； （2）先根据菱形的性质求得，进而可求得，过E作于H，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求得，，在中，利用勾股定理求解即可； （3）连接，当四边形为直等四边形，且为直等线时，延长交于K，连接，证明是等边三角形得到为的中点，进而可得是的中位线，则，故当最小时，最小，利用垂线段最短得到当时，最小，然后利用等边三角形的性质和勾股定理求得的长即可；然后说明当四边形为直等四边形，且为直等线时的情况不存在，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴； ∵四边形的面积为， ∴， 过E作于H， ∵， ∴，， 在中，； （3）解：连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴和都是等边三角形，则，， 当四边形为直等四边形，且为直等线时，是直角三角形，且， 如图，延长交于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，，又， ∴是等边三角形，又， ∴，即为的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故当最小时，最小， 当时，最小，此时， ∴， ∴的最小值为； 当四边形为直等四边形，且为直等线时，连接，如图， ∵， ∴不可能是直角三角形， 当是等腰三角形时，点E与B重合，此时也是等腰三角形，且，不为直角三角形，故此情况不存在， 综上，的最小值为． 题型9 正方形中的新定义型问题（共2小题） 【模型】按新定义规则，结合正方形四边相等、四角直角、对角线垂直平分的性质判断与计算。 【步骤】先读懂新定义含义，再结合正方形性质分析条件，按定义代入计算或推理，最后检验结论是否符合定义。 【易错】须严格按新定义代入，勿套用旧性质；正方形对角线垂直平分且相等；注意新定义中的限制条件，勿漏验证。 29．（25-26九年级上·河南郑州·期中）定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明，② (3)或 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； 故答案为：②④； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②如图1，过点N作，垂足为E， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知， ，即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）解：如图2，过点P作，垂足为D， 中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． 第一种情况： 当时，如图2， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况： 当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 故答案为：或 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，几何综合性较强． 30．（25-26八年级下·广东广州·期中）我们定义：对角线互相垂直且长度之比为k的四边形叫做“k－神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“1－神奇四边形”的是_____（填序号）； (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接．点M、N、P、Q分别是的中点．证明：四边形是“1－神奇四边形”； (3)如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O． ①请画出点T，使四边形为“1－神奇四边形”（不需要证明）； ②若，正方形的边长为6，求线段的长； (4)如图3，将图1中的正方形压扁成为（菱形，点E，G分别为边，上的点，，且满足四边形为“－神奇四边形”．若，求神奇四边形的面积． 【答案】(1)④ (2) 证明：∵点M，N为，中点， ∴，， ∵点P，Q为，中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M，Q为，中点， ∴，， ∴， 如图，设与交点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为正方形， ∴对角线，即，， ∴四边形是“1－神奇四边形”． (3) ①如图所示，点T即为所求， ② (4) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）证明四边形是平行四边形，进一步证得，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （3）①延长交于点T，则四边形为“1－神奇四边形”； ②设，，由勾股定理得，解得，得到和的长度，再设，则，，由勾股定理求得，利用勾股定理和三角形面积公式即可得解； （4）由题设，，过点C作交于点S，过点C作交于点J，交于点L，利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形及勾股定理求得相关线段的长度，最终利用三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴正方形是“神奇四边形”，即④． （2）略 （3）解：①∵，， 过点B作，交于点G， 由（2）得，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即，， ∴四边形为“1－神奇四边形”； ②设，， 在中，, ∴， 解得， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． （4）解：由题可知，， 设，， 如图，过点C作交于点S，过点C作交于点J，交于点L， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵交点H，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． $