广东东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期第一次阶段测试数学试题

东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期数学阶段测试 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系Oxz中,已知A(1,1,1),B(2,-1,0),若点P与点A关于Oz平面对称,则BP= () A.(-3,2,1) B.(-1,0,1) C.(-1,0,-1) D.(3,-2,-1) 2.已知直线1与平面a垂直,直线l的一个方向向量 =(2,3,-1),向量b=(m,1,5)与平面x平行, 则=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.已知向量a=(0,1,1),b=1,1,0),则向量五在向量a上的投影向量为() A.(0,-1,-1) B.(-1,0,-1) c. D 4.直线1的方程为x-y+2k-2=0(k∈R),若直线I不经过第二象限,则k的取值范围为() A.k≤1 B.k≥0 C.0≤k≤1 D.k≥1 5.直线1过点P1,0)与以A(2,1),B(0,√3)为端点的线段有公共点,则直线1倾斜角的范围是() A.45 ≤a≤120 B.45 ≤≤1809 C.120 ≤<180 D.45 ≤a≤120 或120 ≤<180 6.若两平行直线x+y+2=0与2.x-4y+n=0(n>0)之间的距离是√5,则m+n=() A.-2 B.-12 C.12 D.14 7.在正四面体ABCD中,M,N分别为AB,AD的中点,连接CM,BN,若正四面体的边长为2,则直 线CM与直线BN所成角的余弦值为() A.3 6 B. 1 C.-1 D. 1 6 6 8.如图所示的实验装置中,两个互相垂直的正方形框架的边长均为1,活动弹子 M M,N分别在对角线CA,BF上移动,且CM=BN,则MN的取值范围是() 31 22 答案第1页 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.过点A(1,0)和B(0,1)的直线1的一个方向向量为 B.过点(5,4)且倾斜角为90 的直线方程为x-5=0 C.过(5,),(:,)两点的直线方程为y-4- y3-3-x1 D.过点(1,1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y-2=0 10.对于直线4:x+2y+3a=0和直线2:3x+(a-1)y+3-a=0,以下说法正确的有() A.直线4一定过定点(-3,0) B.若⊥1,,则a= 2-5 C.1/儿2的充要条件是a=3 D.点P(1,3)到直线的距离的最大值为5 D C 11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中,E为BC的中点,若 A B D 一点P在底面ABCD内(包括边界)移动,且满足BP⊥DE,则() 1 A.DE与平面CCDD的夹角的正弦值 3 B.A点到D,E的距离为4V2 C.线段BP的长度的最大值为2√2 D.PA与PE的数量积的范围是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.若d=(2,m,n),b=(1,2,-1),a1/b,则d= 13.已知a=(1,0,1),b=(1,1,0),c=(1,t,2),若a,万和c共面,则实数t= 14.己知点P(x,y)在直线1:x+2y=0上,则V(x-1)2+y2+Vx2+0y-)2的最小值为 ,共6页 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分) 已知直线m:2x-y-3=0与直线:x+y-3=0的交点为P. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1,4),B(-3,-1),C(3,2) (1)若直线1过点P,且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,求直线1的方程; (1)求 ABC边AB上的高所在直线方程 (2)若直线马过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于C,D两点,求 CDO面积的最小值及此时直线 (②)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标以及四边形ABCD的面积 的方程 B 16.(本小题满分15分) 如图,在平行六面体ABCD-AB'CD中,AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90 , ∠BAA'=∠DAA=60 D (I)以AB,AD,AA为基底向量,表示向量BD、AC: (2)求证:BD⊥AC; 19.(本小题满分15分) (3)求AC的长. 如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点, OCD是边长为1的 等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA. (1)证明:OA⊥BC: (2)若平面BCD与平面BCE所成角的大小为45 ,求三棱锥B-ECD的体积. 17.((本小题满分17分) 如图,ABCD是边长为4的正方形,DE⊥平面ABCD,AF/IDE, 且DE=3AF=3. (I)证明:BF/I平面DC: D (2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值, ③)线段4C上是否存在一点P,使得点P到平面B8F的距离为VI?若存在,求线段AP的长:若不 21 存在,请说明理由」 答案第2页,共6页 东莞市万江中学2026-2027学年度高二第一学期数学阶段测试答案 C(0,0,1)设CM=1CA,则M(,0,1-),B(0,0,0),F(l,0),BN=BF,N(1,0), 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A B A D B AB ABD ABD 则MN=P+0-=2r-2+101≤1y=2-2+1ue0单调递减,1单调递增,所 12.2W6; 13.-1: 14.3v0 5 .故选B 2 4.法一:y=c+2k-2,斜率存在,且直线1与y轴的交点为(0,2k-2), 当k=0时,y=-2,满足题意;当k≠0时,点(0,2k-2)在y轴非正半轴上,且斜率k>0,即 9对A丽=D,所以持引丽所以 (2'22 是直线1的一个方向向量,A正确: 对B,过点(5,4)且倾斜角为90 的直线方程为x=5,即x-5=0,B正确: [k>0 2k-2≤0'解得0<k≤1.综上可得,k的取值范国为0≤k≤1.故选:C 对C,两点式方程-A=-三中,x≠,出≠为,过(,),(5,)两点的直线不一定能表示为 y3-乃1x2-x1 法二:方程化为点斜式为y+2=k(x+2),1都过定点P(-2,-2) 两点式方程,C错误: 作直线I经过定点P且平行于x轴,直线I,经过定点P和O,如图所示, 对D,过点(1,1)且在x轴、y轴上截距相等且等于0时,直线方程为x-y=0: 因为直线1不经过第二象限,所以(和,是符合条件的临界位置,即 过点(,)且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时,设方程为+y=1, aa 0=k,≤k≤k,=1, 则上+上=1,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0,D错误: aa 所以k的取值范围为0≤k≤1.故选:C 7.建立如图空间直角坐标系,由正四面体的边长为2,则底面 BCD的外接圆半径 (2=0,解得-3 10.对于A,4:a+)+2y=0,令+30. 得=0,4一定过定点Q(-30),A正确: 025,则由易得高40-2-2 2V6 B 对于B,若414,则3a+2a-)=0,解得a-号B正确: 3 3 D 对于C,当{与马不相交时,a(a-1)-2 3=0,解得a=3或a=-2, AB、 当a=3时,直线:3x+2y+9=0与12:3x+2y=0平行, 当a=-2时,直线1:-2x+2y-6=0与l2:3x-3y+5=0平行,当/1l时,a=3或a=-2,C错误; 对于D,直线4:m+2y+3a=0恒过点Q(-3,0),点P1,3)到直线的距离 CM= CM.BN 623 CM BN √3x√ 6 的最大值为P,2间距离,而P9=V1+3)}'+32=5,D正确 11.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD分别为x,y,z轴,建立空间 A B 方法2基底法方法3放到正方体中求解 直角坐标系,则 D 8.以BA为x轴,BE为y轴,BC为z轴建立空间直角坐标系,A(1,0,0), A(2,0,0),E(1,2,0),4(2,0,2),B(2,2,2),D(0,0,2),设 答案第3页,共6页 P(x,y,0),xy∈[0,2],可得B,P=(x-2,y-2,-2),DE=(1,2,-2),若BP⊥DE,则 B,P.D,E=x-2+2(y-2)+4=0,可得x=2-2y, 0≤2-2y≤2解得0≤y≤1,即P2-2,y0,ye0,1小 则0≤y≤2 对于选项A:可知平面CCD,D的法向量n=(1,0,0), 则o(a.DE= i.DE 1 1 DE 1x33所以DE与平面CCDD的夹角的正弦值为3,故A正确; 对于选项B:因为D4=(2,0,0),所以A点到DE的距离为 42 故B正确: 3 对于选项C:因为B,P=(x-2,y-2,-2)=(-2y,y-2,-2), 6-+(0-24-5(-+5且e.当议音y=1时 最大值3,所以线段BP的长度的最大值为3,故C错误: 对于选项D:因为PA=(2y,-y,0),PE=(2y-1,2-y,0): 2 则m.压=2(2y-少-(2-)=5)号且yD则小可知当y号时,PA.PE取到 最小值-专:当y=1时,PA.PE取到最大值1:PA与PE的数量积的范国是 故D正确 14.x-)2+y2+V2+0y-)2=x-12+0y-02+Vx-02+y-12,表示直线 x+2y=0上 的点到定点A(I,0)和B(0,1)的距离和,假设点A(1,0)关于直线x+2y=0的对称点为 A(x,y), 1++20+y=0 2 2 且AA交直线I于点P,则有 解得y=因 答案第4页 用到尽引以+网=Pm-官小(可-图+- ,当 90310 4,PB三点共线时,IPA+PB最小,最小值为3i0 5 -1-45 15.(1)依题意,直线AB的斜率ks= -3-(1)2 ………2分 2 则 ABC边AB上的高所在直线的斜率为- …3分 于是有:y-2=- …4分 即2x+5y-16=0.所以 ABC边AB上的高所在直线的方程为2x+5y-16=0 …5分 (2)口ABCD的顶点A(-1,4),B(-3,-1),C(3,2),则对角线AC中点为(1,3),于是得对角线BD的中 点是(1,3), ……………6分 设D以.因此有号3-1,分3,解得: 2 v=),所以平行四边形ABCD的顶点 D(5,7) …8分 因B-3-),c62,即有直线BC斜率k-2-分直线BC的方程:y-2x-),即 6 2 x-2y+1=0, …9分 因此,点A到直线BC的距离为 -1-8+18 5 …1分而8C6+3=35…12 面得9如 3524,所以四边形ABCD的面积为 ………13分 16.(1)在 ABD中,根据空间向量的减法运算可得BD=AD-AB, …2分 AC-AC+CC-AB+AD+AA: …4分 (2)(1)BD:AC=(AD-ABAB+AD+AA=ADAB+AD+ADAA-AB-AB-AD-AB-AA =0+4+2x3 号4-0-2 3 1=0, 2 2 所以BD⊥AC,则BDL AC'; ……………10分 (3)由(1)AC=AB+AD+AA, 所以AC=AB+AD+AA+2ABAD+2ABAA+2ABAA ,共6页 =4+4+9+0+2 2x3 +2x2 3x}=29, ……14分 2 所以AC=√29,即AC的长为√29. …………15分 17.(1)在DE上取点P,使DP=AF=1,连接FP,PC,如下图: 因为AF/DE,即AF/DP,且AF=DP,故四边形AFPD是平行四边形, ……2分 则有FP/IAD且FP=AD,因为ABCD是正方形,则有BC/IAD且BC=AD, 故FP//BC且FP=BC,即四边形FPCB是平行四边形,则有BF//PC, ……4分 因为BFE平面DEC,PCC平面DEC,故BFII平面DEC ……5分 (2)由题意可设D为原点,DA,DC,DE为x,,z轴建立空间直角坐标系,如 E 下图: 则D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,3),F(4,0,1),…6分 D BE=(-4,-4,3),BF=(0,-4,1), …7分 m.BE=-4-4y+3z=0 设平面BEF的法向量i=(x,y,),则有 ,令y=1,则x=2,z=4,即 m.BF=-4v+z=0 i=(2,1,4), …9分 直线BC的方向向量为下=(-4,0,O),设直线BC与平面BEF的夹角为日,则有 sin= F._(-4) 2+0x1+0 4_221 园 4 V22+12+42 21 故直线BC与平面BEP所成角的正弦值为2W2I …12分 21 (3)己知B(4,4,0),平面BEF的法向量i=(2,1,4),且=√21, 设P是线段AC上一点,由A(4,0,0),C(0,4,0)可设P(t,4-t,0),t∈[0,4], 则BP=(t-4,-t,0), ………14分 点P到平面BEF的距离d= Fm_-0 2+(0x1+0x41-8 ……15分 今 √21 v21 令d=② 解得t=13>4(舍)或t=3,故存在满足条件的点P(3,1,0), …16分 21 答案第5页 则AP=V3-4)+1-02=√2,故线段AP长√2 …17分 2x-y-3=0 X=2 18.(1)由 x+y-3=0 解得 即交点P(2,1), ……2分 由点A(1,3)和点B(3,2)到直线I的距离相等,直线l过AB的中点或∥AB, 5 当直线I过AB的中点时,AB中点为 则直线1:x=2; …5分 当直线WAB时,由AB的斜率k= 3-2 得1方程为-1=-2). 1-32 即x+2y-4=0, ……8分 故所求直线1方程为x=2或x+2y-4=0, ……9分 (2)由题意知,直线l的横、纵截距a,b都存在,且a>0,b>0, 则可设直线4:+-1,由直线过P(2,),则2+=1, ……………11分 a b a b 2,1、 a=4 由基本不等式得1= 2 2 ab≤2 解行a:8。当且仅当后-方分 即b=2时,等号成 立 …15分 则ACD0的面积S=b≥4,即ACDO面积的最小值为4, …16分 此时,直线方程为分1,即x+2y-4=0, ……17分 19.(1)证明:因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD, …2分 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD, ……4分 又BCc平面BCD,所以AO⊥BC; ………5分 (2)取OD的中点F,因为 OCD为正三角形,所以CF⊥OD, 过O作OM/1CF与BC交于点M,则OM⊥OD, 所以OM,OD,OA两两垂直, 以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA所在直线为x轴,y 共6页 0CD是边长为1的等边三角形,0是BD中点,所以OB=0D=1,BD=2,CD=1, 轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,B(0,-1,0),C ∠BDC=60 在 BCD中,由余弦定理: ………6分 BC2=BD2+CD2-2 BD CD c0s60 =4+1-2=3 设4Qa0>0,则0》 …………7分 得BC=V5,∠CBD=30 。 因为OA⊥平面BCD,故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,), …8分 BC=0 因为DE=2BAEF1A0,所以器=器-号又0D=1,故DF= 设平面BCE的法向量为元=(x,y,),又BC= (m丽=0'得 BF=BD-DF=2-专= 53 号+20,令5,则y=1,异做i- ………10分 在Rt BFM中,FM=BF sin30-言 号所以EF=FM=号 底面 BCD的面积: 因为二面角E-BC-D的大小为45,所以cos元OA= .0A2√5 1 oAt4+ ,42, ……12分 5n-7DG0-如0-x2x1x9-号 由等体积法:VB-EcD=VB-BcD,EF是点E到平面BCD的高: 解得t=1, ……13分 所以OA=1, 又Sm-x1x1x55,所以 Vg-Bm=Vg-8co=Sa8co EF=x9x号=号 ……15分 24 …………14分 2 故三棱锥E-BCD的体积SocD= x1x1x5-V5 2 24 ,211x32-5 …………15分 ggm=8m-3.m3-3x2 号9 方法2 过点E作EF⊥BD,垂足为F。由AO⊥平面BCD,得EF‖AO,故EF⊥平面BCD。 过F作FM⊥BC于M,连接EM。 因为EF⊥平面BCD,BCC平面BCD,所以EF⊥BC。又FM⊥BC,EFOFM=F,EF,FMC 平面EFM,所以BC⊥平面EFM,故EM 1 BC。 因此LEMF就是平面BCE与平面BCD所成二面角的平面角,LEMF=45 。在Rt EFM中, EF=FM. …9分 答案第6页,共6页