精品解析：广东深圳市南方科技大学附属中学2026-2027学年高二上学期综合测评（一）数学试题

南科大附中2026年秋季学期高二年级综合测评（一） 数学 命题人：裴大新 审题人：许祎祺 （本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 . 亦可由 . 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10， 数据的平均数为. 故选：D. 4. 已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行得直线斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】与直线即平行的直线斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为即. 故选：B 5. 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率. 【详解】， ， ， . 6. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆的相交弦长最小时，定点与圆心所在直线与AB垂直，最后利用几何法求解弦长即可. 【详解】根据题意，圆，则圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 由，得点在圆内， 又定点到圆心的距离， 要使弦最小，则定点与圆心所在直线与AB垂直， 此时， 即的最小值为. 故选：D 8. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；对C，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，根据条件可得，即可求解；对D，利用C中结果，可得，由三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知， 所以 ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，设， 而，所以， 当时，的最大值为5，故C正确； 对于D，由C知，， 则，又， 则，整理得到， 所以， 当时，取到最大值，最大值为，故D正确. 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定定义得到的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D即可. 【详解】设，由可得， ，即， 所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为． 对于A选项，，选项A正确； 对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上， 直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点， 由题可知，， 由角分线定理逆定理得，故， 又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确； 对于C选项，当时，， 而，则为等腰三角形， 过作于，则， 则，由垂径定理可得，选项C错误； 对于D选项，当直线与圆相切时，连接， 得到，此时，，由勾股定理得， 由锐角三角函数的定义得， 由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知， 得到直线斜率的取值范围为，选项D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理运算求解. 【详解】∵，且， ∴. 故答案为：. 13. 二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将拆分为三段向量之和，利用垂直条件消去无关点积，通过模长平方反解向量点积，最终求出二面角平面角的余弦值． 【详解】如图： ，因为， 故， ， 故，解得， 设二面角的平面角为，则． 14. 已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由， 所以或， 解得：或，故所有m构成的集合为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是．现3人各投篮1次，求： （1）3人都投进的概率； （2）3人中恰有2人投进的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，利用相互独立事件的概率公式计算作答. （2）将给定的事件分拆成3个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率和互斥事件的概率公式求解作答. 【小问1详解】 记“甲投进”为事件，“乙投进”为事件，“丙投进”为事件，则， 3人都投进的事件为，其概率为. 【小问2详解】 设“3人中恰有2人投进”为事件B，由（1）知， 因此 ， 所以3人中恰有2人投进的概率为. 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案； （2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值. 【小问1详解】 因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称点为， 则，故只需求出即可. 由（1）知直线的方程为，其斜率为， 则，解得，即. 所以， 所以的最小值为10. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，，. 因为底面是菱形，， 所以是正三角形，所以. 又为正三角形，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质求得和，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面底面，，平面底面，平面， 所以底面，底面， 所以，，又，可得，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，则，，，， 所以，，， 所以. 设平面的法向量为， 则得可取. 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且． （1）求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）设O点在平面上的射影是H，求证：； （3）求点P到平面的距离． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先证明即为所求的线面角，求出长，即可算出其正切值； （2）先证，再证面，得到，则证明出面，则有. （3）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示直角坐标系，写出相关点坐标，得到面的一个法向量为，利用距离公式代入数据即可得到答案. 【小问1详解】 连接，由正方体的性质知面， 所以即为所求的线面角， ,由勾股定理知， ， . 【小问2详解】 证明:由已知面面,, 连接,由于是上底面的中心,故， 由正方体的性质知面，且面，故， 又，且,平面 面，又面， 又面， 面，面，. 【小问3详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示直角坐标系，则由已知 ,，，所以 如图, 令面的法向量为 故有,即 令,则,故 故点到面面的距离， 点到面面的距离为. 19. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对于求圆的方程，我们需要确定圆心坐标和半径，根据已知条件，利用圆过的点、圆心所在直线以及直线与圆相切的关系来建立方程组求解圆心坐标和半径. （2）在求直线方程时，先根据中点关系设出点的坐标，再代入圆的方程求出点的坐标，然后分情况根据两点确定直线斜率求出直线方程. 【小问1详解】 首先设圆M的方程为。. 因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①. 又因为圆心M在直线上，所以②. 由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③. 联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③. 把代入①得， 展开可得，进一步展开得到. 把代入③得. 因为. 由，解得. 把代入得. 再把，代入①可得，所以. 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以， 因为A，B在圆M上，所以， 对第一个方程展开得， 即④， 对第二个方程展开得， 即⑤， 由④⑤得：， 展开得化简得，即， 把代入④得， 即， 解得或， 当时，；当时，， 当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为； 当时，由可得直线的斜率， 根据直线的点斜式方程，这里， 所以直线的方程为，整理得， ，即. 综上所得，直线的方程为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年秋季学期高二年级综合测评（一） 数学 命题人：裴大新 审题人：许祎祺 （本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟．） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知直线过点且与直线平行，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量、、一定共面 C. 向量在基底下的坐标是 D. 对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10. 如图，为边长为的等边三角形，以的中点为圆心，为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则_________． 13. 二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知,该二面角的余弦值为______． 14. 已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是．现3人各投篮1次，求： （1）3人都投进的概率； （2）3人中恰有2人投进的概率． 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 在棱长为4的正方体中，O是正方形的中心，点P在棱上，且． （1）求直线AP与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）设O点在平面上的射影是H，求证：； （3）求点P到平面的距离． 19. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $