精品解析：山西晋中市平遥县部分学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学学试题

九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把A、B、C、D各选项的方程能化简的化简后，再根据一元二次方程的定义对各选项方程进行判断即可得答案. 【详解】解：A.方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故A错误. B.方程含有1个未知数，未知数最高次数是2，是一元二次方程，故B正确. C.方程分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，故C错误. D.方程化简后为，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，故D错误. 2. 如图，在菱形中，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合菱形性质证明是等边三角形，即可求出结论． 【详解】解：在菱形中，， ， 是等边三角形， ． 3. 如图，在正方形中，连接，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及平行线的性质可得，再由，以及三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项移到方程的右边，方程两边再加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解： 移项，得：， 配方，得：， 即． 故选：A 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法．配方法解一元二次方程的方法：将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方． 5. 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是正方形 C. 若，则是菱形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A、若，则，故是矩形，故本选项不符合题意； B、若，则是菱形，故本选项不符合题意； C、若，无法证明是菱形，故本选项不符合题意； D、若，则是矩形，故本选项符合题意． 6. 如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用旋转性质得到，在中求出，再算出，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 由勾股定理得： ． ∴． 在中，，， 由勾股定理得： ． 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各方程化为一元二次方程的一般形式，利用根的判别式判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：，，∴无实数根． B选项：将移项整理得，，∴有两个不相等的实数根． C选项：将展开整理得，，∴有两个不相等的实数根． D选项：，，∴有两个不相等的实数根． 8. 某公司自主研发储能电池，技术不断迭代，成本逐年下降．该款储能电池2024年市场指导价为每台3600元，2026年市场指导价为每台2916元．若设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为,2025年的市场指导价为每台元，2026年的市场指导价为每台元，2026年市场指导价为每台2916元，解答即可． 【详解】解：根据题意，得． 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线得出相等的线段，然后根据菱形的性质以及勾股定理求出相关线段的长度． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， ∴的周长为． 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用判别式求出m的取值范围，再结合根与系数的关系和已知条件建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴ ． 整理得，即． 由根与系数的关系，得，． ∵ ， ∴ ． 代入得， 整理得， 解得． ∵ ，不符合题意，舍去， ∴ ． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根． 根据方程根的定义，将代入求解即可. 【详解】解：将代入方程，得 ，即， 整理得， 解得． 故答案为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点在第一象限．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理求出菱形边长，再根据菱形对边平行且相等，轴，确定点纵坐标与相同，横坐标为的长度． 【详解】解：∵，， ∴，，． 在中，由勾股定理得： ． ∵四边形是菱形， ∴，． 又∵在轴上， ∴平行于轴， ∵点坐标为， ∴点的纵坐标为，横坐标为． ∴点的坐标为． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，即得，再根据中点的性质求出和即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵点为的中点， ∴． 14. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知最大的数为， ∵最小数与最大数的乘积为105， ∴． 15. 如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形边长为，利用正方形和折叠的性质可得，，，，即得，设，则，利用勾股定理可得，设，则，连接，又由勾股定理可得，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，即得，最后根据勾股定理构建方程求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵折叠， ，，，，  ，  ，  设，则，  ， 在中，，  ， 整理得，  设，则，  ，  连接，   在中，，  在中，，  ，  整理得，  过点作于点，则四边形为矩形， ，，  ，  在中，，  ，  ，  ，  ，  解得或（不合题意，舍去）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． 或． 所以； 【小问2详解】 解： 移项，得． 配方，得， 即． 两边开平方，得， 即或． 所以． 17. 如图，在四边形中，，连接，且平分． （1）尺规作图：作线段的中点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，点E即为所求． （2）证明：，点为的中点， ． ， 平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 是菱形． 【解析】 【分析】（1）作边垂直平分线交于点E即可； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，进而得到四边形是平行四边形，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 宜纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当每刀宣纸的销售价格定为120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸每降价2元，平均每天可多售出4刀．现该商家计划降价销售，且尽可能让利于顾客，若该商家想通过销售这批宣纸平均每天盈利432元，则每刀宣纸的销售价格应降低多少元？ 【答案】每刀宜纸的销售价格应降低8元 【解析】 【分析】设每刀宣纸纸的销售价格应降低元．根据题意列出关于的一元二次方程，求解并结合尽可能让利于顾客选择合适的x即可． 【详解】解：设每刀宣纸纸的销售价格应降低元． 根据题意，得． 化简，得． 解得． 要尽可能让利于顾客， ． 答：每刀宣纸纸的销售价格应降低8元． 19. 如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）已知菱形的周长为，面积为，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明； （2）先由菱形的周长求出，再由菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，最后算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 菱形的周长为， ， ， ， 菱形的面积， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为，，当，求的值． 【答案】（1）证明：将原方程化为一般形式为 ∵ ∴ 又∵ 对任意实数， ∴ ，即 ∴ 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程一般形式，计算判别式，根据，证得，得到方程总有两个不相等实数根； （2）根据根与系数的关系写出与，利用恒等式代入等式，解方程求出． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得 ，． ， 代入， ， ． 把，代入： ， ， ， ， ， 解得． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 垂等四边形 【概念理解】 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形叫作垂等四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为垂等四边形． 【问题解决】 如图2，在正方形中，点分别是，，上的点，且，连接，求证：四边形为垂等四边形． 证明：如图3，取的中点，连接． 四边形为正方形， ． ， ． ， ，即． ． ； ． 在和中，， ． ，点为的中点， ． ．．．．．． 任务： （1）下列四边形中，一定是垂等四边形的是___________（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）请将材料中的证明过程补充完整． （3）如图4，在的正方形网格中，点都在格点（小正方形的顶点）处，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作出一个垂等四边形，使点也在格点处． 【答案】（1）②④ （2）四边形为正方形、 ． 四边形是平行四边形． 又， 是矩形． ． ． 又． ． ． ． 四边形为垂等四边形 （3）答案不唯一，如图1或图2，四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据垂等四边形的定义结合矩形，菱形，平行四边形以及正方形的性质求解即可． （2）结合垂等四边形的定义完成证明即可． （3）根据垂等四边形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 解：∵矩形和正方形对角线相等，且四个角都是直角， ∴②矩形，④正方形一定是垂等四边形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 项目式学习 项目主题 制作雨水收集储水箱 项目背景 为推进海绵城市建设，山西多地开展雨水资源化利用工程．综合实践活动小组的同学，准备利用硬塑料板制作长方体雨水收集储水箱，用于收集校园屋面雨水 工具 长为，宽为的长方形硬塑料板，尺子，防水胶 设计方案 方案甲 如图1，在长方形塑料板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体储水箱，箱子的底面是长方形 方案乙 如图2，在长方形塑料板的四个直角处，裁掉四个长均为，宽均为的小长方形，再沿虚线折成如图3所示的一个有盖的长方体储水箱，和两边恰好重合且无重叠部分，箱子的底面是长方形 任务： （1）用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖储水箱的底面长为________，底面宽为________． （2）若方案甲制作出的无盖储水箱的底面积为，求裁去小正方形的边长的值． （3）若方案乙制作出的有盖储水箱的底面积为，求裁掉的小长方形的长的值． 【答案】（1）； （2）裁去小正方形的边长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图形结合题意可得结论； （2）根据底面积为列一元二次方程解答即可； （3）根据题意得，，，，，再由底面积为列一元二次方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴不合题意， ∴， 所以，裁去小正方形的边长为； 【小问3详解】 解：如图，根据题意得，，，， ∵和两边恰好重合且无重叠部分， ∴， ∴， ∴， ∵底面积为， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，符合题意， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． （1）推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． （2）猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． （2）．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到边、角相等，推导出两组角相等，然后用证明三角形全等； （2）连接、，借助旋转和等腰三角形的性质得到相等线段，利用证三角形全等，得出； （3）分两种情况讨论，算出，由等腰条件得，求出，在中用勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是以为底边的等腰三角形时，有两种情况： 如图，当点落在线段上时， 根据题意可知，，，， ， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时， 同上可知，， ，， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，连接，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，在正方形中，连接，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是正方形 C. 若，则是菱形 D. 若，则是矩形 6. 如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 某公司自主研发储能电池，技术不断迭代，成本逐年下降．该款储能电池2024年市场指导价为每台3600元，2026年市场指导价为每台2916元．若设该款储能电池这两年的年平均降价百分率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 13 D. 14 10. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，．若，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在使得成立 B. 的值为或 C. 的值为 D. 的值为 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是方程的一个根，则的值为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点在第一象限．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 13. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接．若，则的面积为______． 14. 如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 15. 如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程 （1）． （2）． 17. 如图，在四边形中，，连接，且平分． （1）尺规作图：作线段的中点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 18. 宜纸是我国国家级非物质文化遗产，是中华传统文化中一张亮眼名片．某文具商家以每刀（宣纸单位）100元的价格购进一批宣纸，当每刀宣纸的销售价格定为120元时，每天可以售出20刀．经市场调查发现：每刀宣纸每降价2元，平均每天可多售出4刀．现该商家计划降价销售，且尽可能让利于顾客，若该商家想通过销售这批宣纸平均每天盈利432元，则每刀宣纸的销售价格应降低多少元？ 19. 如图，四边形是菱形，于点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）已知菱形的周长为，面积为，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的两个实数根为，，当，求的值． 21. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 垂等四边形 【概念理解】 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形叫作垂等四边形．例如，如图1，在四边形中，，，则四边形为垂等四边形． 【问题解决】 如图2，在正方形中，点分别是，，上的点，且，连接，求证：四边形为垂等四边形． 证明：如图3，取的中点，连接． 四边形为正方形， ． ， ． ， ，即． ． ； ． 在和中，， ． ，点为的中点， ． ．．．．．． 任务： （1）下列四边形中，一定是垂等四边形的是___________（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）请将材料中的证明过程补充完整． （3）如图4，在的正方形网格中，点都在格点（小正方形的顶点）处，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作出一个垂等四边形，使点也在格点处． 22. 项目式学习 项目主题 制作雨水收集储水箱 项目背景 为推进海绵城市建设，山西多地开展雨水资源化利用工程．综合实践活动小组的同学，准备利用硬塑料板制作长方体雨水收集储水箱，用于收集校园屋面雨水 工具 长为，宽为的长方形硬塑料板，尺子，防水胶 设计方案 方案甲 如图1，在长方形塑料板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体储水箱，箱子的底面是长方形 方案乙 如图2，在长方形塑料板的四个直角处，裁掉四个长均为，宽均为的小长方形，再沿虚线折成如图3所示的一个有盖的长方体储水箱，和两边恰好重合且无重叠部分，箱子的底面是长方形 任务： （1）用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖储水箱的底面长为________，底面宽为________． （2）若方案甲制作出的无盖储水箱的底面积为，求裁去小正方形的边长的值． （3）若方案乙制作出的有盖储水箱的底面积为，求裁掉的小长方形的长的值． 23. 综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． （1）推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． （2）猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $